考向16解三角形

1.12022年甲卷理科卷第11題】將函數(shù)f(x)=sin5-0)的圖像向左平移、個單位長度后得到

曲線C,若C關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是()

1

A

6-B.-C.-

43

【答案】C

【解析】記g(x)為/(X)向左平移/個單位后得到的曲線，則g(x)=∕[x+mJ=sin[s+W3+(J由

^rrJrJr?I

g(x)關(guān)于Y軸對稱，可得：一口+—=版■+—,kez,故有＜y=-+2k,所以0的最小值為一.選C.

,23233

AC

2.【2022年浙江卷】16.已知aABC中，點。在邊BC上，NAoB=I20。，AD=2,CD=IBD.當(dāng)——

AB

取得最小值時，BD=.

【答案】√3-l

【解析】令BO=r,以。為坐標(biāo)原點，DC為X軸建立直角坐標(biāo)系，則C(2t,0),A(l,右)，B(-r,O),

提PJ""

t+?

當(dāng)且僅當(dāng)，+1=百,即戍)=G-1時取等號.

3.【2022年北京卷第16題】在ΔA3C中，sin2C=?ΛsinC.

(1)求NC

(2)若/?=6,且ΔABC的面積為6百，求AABC的周長。

【答案】(1)-(2)66+6

6

∕ξ

【解答】(I)Sin2C=√5sinC2sinCcosC=√3sinCcosC=-NC=土。

，*?A

(2)SΔ4SC=66.?.ifl?sinC=6√3?=4√3,由余弦定理得dCoSC

c=2√3所以ΔABC的周長為64+6

，?

4.【2022年乙卷理科第17題】17.(12分)

記ΔABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

sinCSin(A-B)=sinBSin(C-A).

(1)證明：2a2=b2+c2;

?5

(2)若α=5,cosA=—,求ΔABC的周長.

【答案】⑴見證明過程；(2)14；

［解析】L已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可化簡為

sinCsinAcosB-SinCcosAsinβ=sinβsinC∞sΛ-sinBcosCsinA,

山正弦定理可得(7rcosB—hecosA=hecosA—?Z?cosC,即accosB=2Z?ccosA—ahcosC,由余弦定理可得

b2+c2

aca2+c2-b2=2bc-?-ab^^-即證2/=62+C?,

2ac2bc2ab

.I.?L7h~+c~_er50_252525.

(2)由(zι1x)可J知從+/7=2.29=50，CoSA=---------------=----------=——=——，.?2bc=31

2bc2bc2bc31f

Z?2÷c2÷2bc=(b+c)2=81,.?h+c=9,.?a+h+c=?4,AABC的周長為14

5.【2022年乙卷文科第17題】記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCSin(A—B)=sinβsin(C—A).

(1)若A=2B,求C;

(2)證明：2a2=b2+c2.

【答案】(1)—;(2)略.

8

【解析】(1)解：因為A=28,A+3+C=τt

所以A-B=B,π-C=A+B=3BfC-A=π-2A-B=π-5B

所以sin(A-B)=SinB,sinC=sin38,sin(C-A)=Sin53

代入sinCsin(A一B)=sinBSin(C-A)中得sin3B=Sin53

X0<B<-,所以33+58=兀，所以8=工，所以C=兀-38=2

288

(2)證明:因為sinCsin(A-B)=sinBSin(C-A)

所以sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA)

所以sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA

所以sinAsin(B÷C)=2sinBsinCcosA,又sin(B+C)=sinA

所以sin?A=2sinBsinCcosA

由正弦定理得=2ftccosA①

又由余弦定理得/=62+/-2^CCOSA,所以6+H-片=2?ccosA②

由①@得〃*一a?=/,所以2儲=從+/.

證法2：因為SinCSin(A-B)=sinβsin(C-A)

所以sin(A+3)Sin(A-B)=sin(C+A)Sin(C-A)

乂Sin(A+5)Sin(A-B)=Sin2Acos2B-cos2Asin2B

=sin2A(l-sin2B)-(l-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B

同理sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2所以sin?A-sin?3=sir?C-si??A

由正弦定理得a2-b2=C2-a2^2a1=h2+C2

6.【2022年新高考1卷第18題】記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,已知

cosA_sin2B

1+sinAl+cos2S

兀

(1)若C=巧2,求5；

3

(2)求之殳的最小值.

C

【答案】(I)B=-(2)4√2-5

6

【解析】(1)由己知條件得：sin2B+sinAsin2B=cosA+cosAcos2B

sin2B=cosA+cosA∞s2B—sinAsin2B=cosA+cos(A+28)

=cos[ττ—(8+C?)]+CoSm-(B+C)+28]=—CoS(8+C)+COSm+(B—C,)]

=—2cosBcosC

所以2sinBcosB=-2cosBcosC,即(sinB÷cosC)∞sB=O,

JT

由已知條件：1+COS23W0,則Bw—,可得cos3wO,

2

1TT

所以sin8=-cosC=-,B=—.

26

JTTT

(2)由(1)知SinB=—CoSc>0,貝IJB=C——，sinB=sin(C——)=-cosC,

22

π

sinA=sin(B+C)=sin(2C--)=-cos2C,

a2+b2sin2A+sin2Bcos22C÷cos2C(1-2sin2C)2+(1-sin2C)

由正弦定理

sin2Csin2Csin2C

2+4sin4C-5sin2C2

+4sin2C-5

sin2C

..2.1——?4sin2C-5=4√2-5,

Vsin2C

當(dāng)且僅當(dāng)sin?。=弓時等號成立’所以學(xué)的最小值為4血-5.

7.【2022年新高考2卷第18題】記448C的三個內(nèi)角分別為4、B、C,其對邊分別為〃，b,。，分別

以“，b,，為邊長的三個正三角形的面積依次為4,52,S3,已知S∣-S2+S3=當(dāng),SinB=L

3

(1)求AABC的面積；

(2)若SinASinC="，求b.

3

【答案】(I)—；(2)?

82

【解析】(1)Q邊長為。的正三角形的面積為且

4

2

51-S2+S3-b?+c)=-?-,即accosB=l,

由sin3=1得：COSJB2√213√2

334

gC_1,0」3夜1_&

SΔABC=2aCSinS=2X~4~X3=~8~

3&

b2?-931

(2)由正弦定理得:故b=—SinB=—.

sin2BSinAsinCsinAsinC?∣2422

3

8.【2022年浙江卷第18題】在ΔΛ8C中，角A8,C的對邊分別為α,b,c,已知44=√^c,cosC=-

5

(I)求SinA的值;

(II)若6=11,求ΔA8C的面積.

【答案】(I)(H)22.

ι4

【解析】(D由于cosC=-t,且C是三角形的內(nèi)角，則SinC=

55

由正弦定理知4sinΛ=T5sinC,則sinA=—sinC=—

45

/+121-3/II-Y

2,223

3)由余弦定理，得°。SC=F^_________5___=5

22a2a5

即“2+6α-55=0,解得α=5.

114

所以AABC的面積S=-absinC=-×5×↑?×-=22.

225

份法就?

1.解三角形的常見題型及求解方法

(1)已知兩角A,B與一邊a,由A+B+C=兀及篇=磊=U7,可先求出角C及4

再求出c.

(2)已知兩邊Z?,C及其夾角A,由/=^2+,,2-2。CCOSA,先求出”,再求出角8,C.

(3)已知三邊α,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.

ah

(4)已知兩邊α,匕及其中一邊的對角A,由正弦定理器2^=忑F可求出另一邊人的對角8,

?l??/1??l?LJ

由C=π-(A+B),可求出角C,再由白=舟可求出c,而通過；?=白求角B時，可

Sl∏/1Sl∏VSinZiSl∏D

能有一解或兩解或無解的情況.

2.求三角形面積的方法

(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或

該角的兩邊之積，代入公式求面積.

(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積.總

之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

3.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解.

(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.

4.判定三角形形狀的兩種常用途徑

恒

代數(shù)

通過

邊，

角為

理化

弦定

、余

定理

正弦

判;通過

角化邊

判斷

進(jìn)行

關(guān)系

間的

邊之

邊與

求出

換，

定一;等變

__________

___________

___________

___________

__________

__________

__________

__________

__________

途I_______

變

三角

,利用

為角

化邊

定理

、余弦

定理

正弦

徑，通過

角

邊化

斷

行判

系進(jìn)

的關(guān)

之間

內(nèi)角

角形

出三

;換得

意點

狀的注

形的形

定三角

5.判

形過程

，在變

.另外

條件

隱含

挖掘

注重

一，并

是否唯

注意解

一定要

形狀時

形的

三角

在判斷

,

公因式

要約去

兩邊不

，一般

形中

式變

，在等

的影響

函數(shù)值

對三角

的范圍

B,C

角A,

注意

中要

.

免漏解

，以

因式

取公

項提

應(yīng)移

結(jié)論

I常用

/

r

定理

內(nèi)角和

三角形

1.

C

兀

A+B

=

~2,

2

：