高三數(shù)學(xué)試題

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共9小題，共45分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

I.設(shè)集合A={—1,1,2,3,5,6},3={2,3,4},C={xeR∣l≤x<3},貝IJ（AC）B=（）

A.{2}B.{2,3}C.{-l,2,3}D.{1,2,3,4）

2.命題“HxeR,V+2χ+2<0”的否定是()

A.3x∈R,X2+2x+2≥0B.Hx∈R,x2+2x+2>0

C.Vx∈R,x^+2x+2≥0D,Vx/R,+2x+2>0

3.國家射擊運(yùn)動(dòng)員甲在某次訓(xùn)練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7,5,9,7,4,8,9,9,7,5,,則下

列關(guān)于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（）

A.眾數(shù)為7和9B.方差為S?=3

C.平均數(shù)為7D.第70百分位數(shù)為8

（e"—β~x）COSiX

4.函數(shù)y=l_］常二（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的部分圖象大致為（）

5.設(shè)“=θ∣),b

，c=Iog3(log34),則()

54

?.c<h<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

6.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/（x）在［0,+8）上是增函數(shù)，若實(shí)數(shù)α滿足了（log2α）+/（IOgO5。）<2〃1）,則

實(shí)數(shù)。的最小值是（)

1C3C

A.—B.1C.—D.2

22

7.我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件

時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，

除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐

的高相等，且底面邊長均為4,若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是()

AI*?χ≡≡A

IT*∕t>?ɑ

'\一Jh?Nf*,1

L_____-

圖1圖2

A.12乃B.24%C.36πD.48"

8.唐代詩人李頒的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣

的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，

怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為B(-2,0),若將軍從山腳下的點(diǎn)

處出發(fā)，河岸線所在直線方程為則“將軍飲馬”的最短總路程為(

/l［-?,θx+2y=3,)

??>

L713516

A.叵B.5C.-------D.——

333

9.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+e),>0,∣同《J的最小正周期為萬，其圖象關(guān)于直線X=Y■對(duì)稱.給出下面

四個(gè)結(jié)論：

①將“X)的圖象向右平移看個(gè)單位長度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②點(diǎn)［葛'°］為/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；

④/(x)在區(qū)間0,g上單調(diào)遞增.

6

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0BJC.2D.3

第∏卷(非選擇題)

二、填空題(本大題共6小題，共30分)

10.若復(fù)數(shù)z=l-2i,則口=.

2x-9)的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

11.己知

12.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球若從中任取3球，則恰有一個(gè)白球的概率是,若從中不放

回的取球2次，每次任取1球，記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B,則P(BlA)=

13.已知雙曲線￡一看■=1(α>02>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,ZXAOB的面積為由，則P=.

14.如圖，在邊長1為正方形ABCD中，M,N分別是8C,CD的中點(diǎn)，則AM?AC=,若

AC—λAM+ABN,則2+〃=.

15.已知函數(shù)則-若/(x)在XG(α,5)既有最大值又有最小

值，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

三、解答題(本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題14分)

在A4BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且SinA:sin8:SinC=2:1:J5,b=J5.

(1)求α的值；

(2)求CoSC的值；

(3)求sin(ze.)的值.

17.(本小題15分)

如圖，在多面體ABCz)E/中，底面ABC。為菱形，NBAD=60°,ED，平面ABCO,F8_L平面ABCD,

DE=AD=2BF=2.

E

(I)求證：C戶〃平面AC>E；

(II)求直線AE與平面EFC所成角的正弦值；

(III)求平面4￡戶和平面EEC的夾角的余弦值.

18.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(I)求曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程;

(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(In)若對(duì)于任意X∈?,e-,都有/(x)≤ac-1,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

19.(本小題15分)

已知橢圓u∕+*?=l(4">O)過點(diǎn)〃],孚)，且離心率為手.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)A是橢圓。與X軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)、M,N在橢圓C上且不同于點(diǎn)A,若直線A"、AN的斜率分

別是心M、KN，且怎M?3N=6,試判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請

說明理由.

20.(本小題16分)

己知數(shù)列｛%｝中，4=1,%=2，all+2-an=4(neW),數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為S”.

(1)求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式:

?

(2)七瓦產(chǎn)?求數(shù)列低｝的前“項(xiàng)和7；；

S2ll+5n

⑶在⑵的條件下，設(shè)S=不益]，求證：6-景<ZLE<8-竽

高三數(shù)學(xué)試題答案

第一卷部分

LD2.C3.D4.A5.B6.A7.C8.A9.C

3338

IO.?[s?1.6012,——13.2?4.——15.—1[-3,-1）

5525

第二卷部分（部分重點(diǎn)步驟分值已在題中標(biāo)出）

16.解：（1）；在ZSABC中，

SirL4:Sin8:SinC=2:1:及，...2

a:b:c=2:\:\/2,

'.'b=>/2,

a=2b=25/2,c=V2?=2.........2

（2）在?A6C中，b=V2,a=2>∕2,c—2,

〃2,_28+2-4_3

由余弦定理可得CoSC=幺3~-2

2ab2×2λ^×√2^4

3

（3）由（2）可知CoSC=―,

4

又C∈（0,萬），則SinC=?/l-Cos2C=乎,.......2

.?.sin2C=2sinCcosC=?-^-,cos2C-2cos2C-I=-.......2

88

則sinf2C-^-?-sin2Ccos--cos2Csin--gH__L2

I6）6616

17.證明：（I）在平面Bb和平面Ar）E中，

?.?BC//AD,BCU面ADE,ADu面AOE,

.?.3C〃面Ar）E,

又BF〃DE,BCU面ADE,DEU面ADE,

.?.M〃面Ar）E,BCBF=B,

.?.平面BeE〃平面AOE,又CFU平面BCF,

.?.b〃平面Ae>￡；……4

解：（H）取AB中點(diǎn)則ZWJ_A3,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

Λλ(√3,-l,θ),E(0,0,2),F(√3,1,1),C(0,2,0),

ΛAF=(0,2,1),EF=(√3,1,-1),EC=(0,2,-2),AE=(-√3,1,2),

設(shè)平面EFC的一個(gè)法向量為％=(工2，乂，Z2)，

Λ∕3X2+y2-Z2=O

=>〃2=(OJI),8

2y2-Iz2=0

AEn23_3

???直線AE與平面EFC所成角的正弦值為1

AE∣∣n2^2√2×√2^4

(III)設(shè)平面AEF的法向量為〃]=(%,y,Z]),

2y}+z1=0

O="],2

>∕3x1+M-4

設(shè)二面角A一切—C平面角為6,ICOSel=凸普=/L=L.?.二面角A-EE-C的余弦值為L

11

nl-?n2√8?√244

18.解:(D因?yàn)楹瘮?shù)F(X)=XInX,

所以/'(X)=Inx+x?L=Inx+1,......2

∕,(l)=lnl+l=l.

又因?yàn)?(1)=0,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=xT.

(II)函數(shù)/(x)=XInX定義域?yàn)?0,+∞),

由(I)可知，/'(X)=InX+1.

令[(X)=0,解得X=；.

X?

?e

r(?)—O+

F(X)極小值T

〃%)與/。)在區(qū)間(0,+8)上的情況如下：

故/(X)的增區(qū)間為1%+oo)減區(qū)間為(OJ)……2

(III)當(dāng)'≤x≤e時(shí)，"/(x)≤αc-1”等價(jià)于“α≥lnx+'”恒成立,

eX

令g(x)=l∏Λ+Lx∈-9e,

1

g<χ)=BX∈_,e

當(dāng)XeJ】)時(shí)，g'(x)<0,所以g")在區(qū)間Jl)單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈(l,e］時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間(l,e］單調(diào)遞增.

而g(，)=-Ine+e=e_1>1.5,g(e)=1+，<1.5,

所以g(x)在區(qū)間Je上的最大值為g(1=e-l.……1

所以當(dāng)αNe-l時(shí)，對(duì)于任意x∈Je,都有/(X)W辦一1.……4

19.解：(1)由題知e='=逅，B∣Jc2=-a2,

a33

又因?yàn)?2=a2-e2-er--O2--a1,

33

272

所以橢圓的方程可化為=v+=r=1,

aa

(λ9r?

又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)M工,3,

33

ι

m3×fτ

所以^~~?+—軍-=1,解得〃=3,

aa

所以橢圓的方程為工+/=1.……2

3

(2)由題可知，直線AM,AN的斜率一定存在且不為0,

設(shè)直線/.：y=L(x-l),

因?yàn)閆AM?kAN=6,

所以直線&√y=?(XT)，

K

y=?(x-l)

聯(lián)立4)2,,得(3+公卜2—2攵2%+公—3=0,

+尤—1

I3

上2—3

所以34=RP

κ,T十?

因?yàn)楣と?1,

k2-3

所以XL='

6k公一36k)

代入y=Z(x-1)，得加=,即M

3+公F+3,-3+P^)

r1

用9代換Z,即得N?2-k12/)

KJ2+k2~?2+k2)

6k(12?A

3+您——12+0=3k

所以ZMN=A2—3(2一二)-左2+6

k2+3[12+k2

??(I2??>r/

所以直線MN的方程為y=x-匚工一一"虧,

H+61k^+3J3+k^

即y=7?(χ-3),……1

κ+6

所以直線MN恒過定點(diǎn)（3,0）.

20.ft?：（1）?.,α∣=l,4=2，a“+2—=4（”eN*）,

.?.當(dāng)“=2"1,々∈N+時(shí)，數(shù)列｛為｝的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,

則4=02卜]=1+4(左_1)=4左_3=2(2攵_1)_1=2〃_1；

當(dāng)∏=2k,左∈N+時(shí)，數(shù)列｛2｝的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,

則α,,=%*=2+4(Z-l)=4攵-2=2?2Z-2=2〃-2,

.為奇數(shù)

..""=[2〃-2,”為偶數(shù)；……4

2〃-1,力為奇數(shù)

②由①得見=<

2〃-2,〃為偶數(shù)

?*?S2〃=G+劣+/+…+。2/1=(4++----。2〃-1)+(%+%"1I------)=

(q÷a2n-?)n(。2+%)〃_(1+4〃-3)幾(2+4幾一2)〃

-^2-+-L=2+2~~

h=1=1=IjI1]

"S2〃+5n4n2+4nn+1)

+?]=UT=q

???7；=4+4+???+%

nn+1)4(/7+Iy4〃+4

%心+3)

（3）證明：由（2）得一一—?jiǎng)tC.2