§6.4.3.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例第二學(xué)期數(shù)學(xué)教學(xué)課件課件編號：15授課名師：名稱術(shù)語距離問題高度問題角度問題溫故知新1.余弦定理

2.正弦定理

3.三角形面積公式

情境引入在實踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實際問題.解決這類問題，通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測量角和距離的工具進行測量.具體測量時，我們常常遇到“不能到達”的困難，這就需要設(shè)計恰當(dāng)?shù)臏y量方案.下面我們通過幾道例題來說明這種情況.需要注意的是，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件.事實上，這些條件往往隱含著相應(yīng)測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個測量方案，而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案.預(yù)備知識基線【定義】在測量過程中，根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線。仰角【定義】在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水

平線上方時與水平線的夾角。仰角【定義】在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水

平線下方時與水平線的夾角。【圖示】【圖示】方向角【定義】從正北或正南方向到目標(biāo)

方向所形成的小于九十度

的角。【圖示】方位角【定義】從某點的指北方向線起依

順時針方向到目標(biāo)方向線

之間的水平夾角。【圖示】一、距離問題

思考：在上述測量方案下，還有其他計算A，B兩點間距離的方法嗎？

【結(jié)論】在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決

問題的方案，但有些過程較繁復(fù)如何找到最優(yōu)的方法，最

主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最

佳的計算方式為使測量具有較高的精確度，應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的基線長度.一般來說，基線越長，測量的精確度越高.地球上所能用的最長的基線是地球橢圓軌道的長軸

(1)測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，

一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題，從而運用正弦定理去解決.(2)測量兩個不可到達的點之間的距離問題，

一般先把球距離問題轉(zhuǎn)化為運用余弦定理,求三角形的邊長的問題，然后把球未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達的兩點之間距離的測量問題，最后運用正弦定理解決.策略(1)選定或構(gòu)造的三角形，要確定及確定在哪一個三角形中求解.(2)當(dāng)角邊對應(yīng)，且角的條件較多時，一般用正弦定理；

當(dāng)角的條件較少，且角邊不對應(yīng)時，一般用余弦定理.注意點二、高度問題

【分析】

(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細規(guī)劃解題思路.技巧總結(jié)：測量高度問題的解題策略三、角度問題

【分析】

1.如圖,一艘船向正北航行,航行速度的大小為32.2nmile/h，在A處看燈塔S在船的北偏東20°的方向上.30min后，船航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65°的方向上，已知距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎?北A20°SB65°解：在△ABS中,AB=32.2×0.5=16.1(nmile),∠ABS=115°.∴S到直線AB的距離為∴這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行.隨堂練習(xí)2.如圖示，在山腳A測得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走a

m到達B處，在B處測得山頂P的仰角為γ.求證:∴此船應(yīng)該沿北偏東56°的方向航行，需要航行約為113.15海里.3.如圖示，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，那么這艘船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行的距離是多少?北A75°CB32°課堂小結(jié)1．解決應(yīng)用