分類訓(xùn)練19尺規(guī)作圖及用無刻度的直尺作圖命題點(diǎn)1五種基本作圖角度1直接作圖1(2022山西)如圖,在矩形ABCD中,AC是對(duì)角線.(1)實(shí)踐與操作:利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線,垂足為點(diǎn)O,交邊AD于點(diǎn)E,交邊BC于點(diǎn)F(要求:尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡,不寫作法,標(biāo)明字母);(2)猜想與證明:試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.2(2022貴港)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡,不要求寫出作法):如圖,已知線段m,n.求作△ABC,使∠A=90°,AB=m,BC=n.3(2022綏化)已知:△ABC,如圖.(1)尺規(guī)作圖:用直尺和圓規(guī)作出△ABC內(nèi)切圓的圓心O.(只保留作圖痕跡,不寫作法和證明)(2)如果△ABC的周長(zhǎng)為14cm,內(nèi)切圓的半徑為1.3cm,求△ABC的面積.角度2根據(jù)作圖痕跡進(jìn)行判斷或計(jì)算4(2022海南)如圖,在△ABC中,AB=AC,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,交BA于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P,畫射線BP,交AC于點(diǎn)D,若AD=BD,則∠A的度數(shù)是()A.36° B.54° C.72° D.108°5(2022威海)過直線l外一點(diǎn)P作直線l的垂線PQ.下列尺規(guī)作圖錯(cuò)誤的是() ABCD6(2022荊州)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB,AC于D,E,連接CD.若CE=13AE=1,則CD=命題點(diǎn)2轉(zhuǎn)化類尺規(guī)作圖7(2022陜西)如圖,已知△ABC,CA=CB,∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,求作射線CP,使CP∥AB.(保留作圖痕跡,不寫作法)8(2022青島)已知:Rt△ABC,∠B=90°,如圖.求作:點(diǎn)P,使點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,且PB=PC,∠PBC=45°.9(2022福建)如圖,BD是矩形ABCD的對(duì)角線.(1)求作☉A,使得☉A與BD相切(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).(2)在(1)的條件下,設(shè)BD與☉A相切于點(diǎn)E,CF⊥BD,垂足為F.若直線CF與☉A相切于點(diǎn)G,求tan∠ADB的值.10(2022無錫)如圖,△ABC為銳角三角形.(1)請(qǐng)?jiān)趫D(1)中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖:在AC右上方確定點(diǎn)D,使∠DAC=∠ACB,且CD⊥AD;(不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,若∠B=60°,AB=2,BC=3,則四邊形ABCD的面積為.(如需畫草圖,請(qǐng)使用圖(2))

圖(1)圖(2)11(2022揚(yáng)州)【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積?【初步嘗試】如圖(1),已知扇形OAB,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線,使扇形的面積被這條直線平分;【問題聯(lián)想】如圖(2),已知線段MN,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP;【問題再解】如圖(3),已知扇形OAB,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧,使扇形的面積被這條圓弧平分.(友情提醒:以上作圖均不寫作法,但需保留作圖痕跡)圖(1)圖(2)圖(3)命題點(diǎn)3用無刻度的直尺作圖12(2022寧波)圖(1),圖(2)都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上,分別按要求畫出圖形.(1)在圖(1)中畫出等腰三角形ABC,且點(diǎn)C在格點(diǎn)上.(畫出一個(gè)即可)(2)在圖(2)中畫出以AB為邊的菱形ABDE,且點(diǎn)D,E均在格點(diǎn)上.圖(1)圖(2)13(2022江西)如圖是4×4的正方形網(wǎng)格,請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).(1)在圖(1)中作∠ABC的平分線;(2)在圖(2)中過點(diǎn)C作一條直線l,使點(diǎn)A,B到直線l的距離相等.圖(1)圖(2)14(2021仙桃)已知△ABC和△CDE都為正三角形,點(diǎn)B,C,D在同一直線上,請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖,不寫作法,保留作圖痕跡.(1)如圖(1),當(dāng)BC=CD時(shí),作△ABC的中線BF;(2)如圖(2),當(dāng)BC≠CD時(shí),作△ABC的中線BG.圖(1)圖(2)15(2022天門)已知四邊形ABCD為矩形,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖,不寫作法,保留作圖痕跡,(1)在圖(1)中作出矩形ABCD的對(duì)稱軸m,使m∥AB;(2)在圖(2)中作出矩形ABCD的對(duì)稱軸n,使n∥AD.圖(1)圖(2)16(2021武漢)如圖是由小正方形組成的7×5網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn),僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示.圖(1)圖(2)(1)在圖(1)中,先在邊AB上畫點(diǎn)E,使AE=2BE,再過點(diǎn)E畫直線EF,使EF平分矩形ABCD的面積;(2)在圖(2)中,先畫△BCD的高CG,再在邊AB上畫點(diǎn)H,使BH=DH.17(2022武漢)如圖是由小正方形組成的9×6網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示.(1)在圖(1)中,D,E分別是邊AB,AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn).先將點(diǎn)B繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)F,畫出點(diǎn)F,再在AC上畫點(diǎn)G,使DG∥BC.(2)在圖(2)中,P是邊AB上一點(diǎn),∠BAC=α.先將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α,得到線段AH,畫出線段AH,再畫點(diǎn)Q,使P,Q兩點(diǎn)關(guān)于直線AC對(duì)稱.圖(1)圖(2)分類訓(xùn)練19尺規(guī)作圖及用無刻度的直尺作圖1.【參考答案】(1)如圖.(2)AE=CF.證明如下:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.∵EF為AC的垂直平分線,∴OA=OC,∴△AEO≌△CFO,∴AE=CF.2.【參考答案】如圖所示.3.【參考答案】(1)如圖所示.(2)△ABC的面積=12×14×1.3=9.1(cm2)4.A【解析】由作圖可知BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.∵AB=AC,AD=BD,∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=2∠ABD.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,即5∠A=180°,∴∠A=36°.5.C6.6【解析】如圖,連接BE,由尺規(guī)作圖可知MN是線段AB的垂直平分線,∴BE=AE=3CE=3.在Rt△ECB中,BC=BE2-CE2=22,∴AB=AC2+BC2=26.又∵CD為Rt△ABC斜邊上的中線7.【參考答案】如圖,射線CP即為所求作.8.【參考答案】如圖,點(diǎn)P即為所求.9.【參考答案】(1)如圖(1),☉A即為所求作.圖(1)(2)設(shè)∠ADB=α,☉A的半徑為r.如圖(2),∵BD與☉A相切于點(diǎn)E,CF與☉A相切于點(diǎn)G,圖(2)∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°.∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四邊形AEFG是矩形.又AE=AG=r,∴四邊形AEFG是正方形,∴EF=AE=r.在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BAE=∠ADB=α.在Rt△ABE中,tan∠BAE=BEAE∴BE=rtanα.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF.又∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF,∴DF=BE=rtanα,∴DE=DF+EF=rtanα+r.在Rt△ADE中,tan∠ADE=AEDE,即DE·tanα=AE∴(rtanα+r)tanα=r,即tan2α+tanα-1=0.∵tanα>0,∴tanα=5-1即tan∠ADB的值為5-1易錯(cuò)警示尺規(guī)作圖中的易錯(cuò)之處1.混淆尺規(guī)作圖與一般畫圖尺規(guī)作圖要求只能用無刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖,在操作過程中是不允許度量的.而一般畫圖可以使用一切畫圖工具,包括三角尺、量角器等,在操作過程中可以度量.2.缺少作圖痕跡尺規(guī)作圖一般不要求寫步驟,但每一步的作圖痕跡都要保留下來,痕跡要清晰.3.缺少“點(diǎn)睛之筆”解答中除了作圖之外,最后的答案一定要強(qiáng)調(diào)題目所要求作的是哪條線段、哪個(gè)角、哪個(gè)點(diǎn)或哪個(gè)圖形.10.【參考答案】(1)如圖(1),點(diǎn)D即為所求.圖(1)(2)5解法提示:如圖(2),過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.圖(2)∵∠B=60°,AB=2,∴BE=12AB=1,AE=3∴CE=BC-BE=2.易知四邊形AECD是矩形,∴AD=CE=2,∴四邊形ABCD的面積為12(AD+BC)·AE=12×(2+3)×3=11.【參考答案】【初步嘗試】如圖(1),直線OP即為所求.圖(1)【問題聯(lián)想】如圖(2),△MNP即為所求.圖(2)【問題再解】如圖(3),CD即為所求.圖(3)(作法不唯一,正確即可)12.【參考答案】(1)等腰三角形ABC如圖(1)所示(答案不唯一,畫出一個(gè)即可).圖(1)(2)菱形ABDE如圖(2)所示.圖(2)13.【參考答案】(1)如圖(1),射線m即為所求.(畫出其中一種即可)圖(1)(2)如圖(2),直線l即為所求.(畫出其中一種即可)圖(2)14.【參考答案】(1)如圖(1),線段BF即為所求.(2)如圖(2),線段BG即為所求.圖(1)圖(2)15.【參考答案】(1)如圖(1),直線m即為所求;(2)如圖(2),直線n