-2024學(xué)年泰安市一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．2．直線和直線垂直，則（

）A．1 B． C．1或 D．1或3．已知在等比數(shù)列中，，則的值是（

）A．4 B．-4 C． D．164．如圖，在三棱臺中，且，設(shè)，點(diǎn)在棱上，滿足，若，則（

）A． B．C． D．5．若數(shù)列滿足，，則（

）A．511 B．1023 C．1025 D．20476．已知圓，直線，圓上恰有3個點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離7．已知圓上有一動點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，且雙曲線的右支上有一動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列滿足，前12項和為158，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．已知直線，圓，點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線與圓恒有兩個公共點(diǎn)C．直線被圓截得最短弦長為D．當(dāng)時，點(diǎn)到直線距離最大值是11．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，且，則（

）A．是等比數(shù)列B．是遞增的等差數(shù)列C．當(dāng)時，的最大值為28D．，，12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為10C．三點(diǎn)共線 D．三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13．已知的三個頂點(diǎn)是，，，則邊上的高所在直線的方程為.14．已知正方體的所有棱長均為1，為線段的中點(diǎn)，則到平面的距離為.15．已知數(shù)列滿足，，則的通項公式.16．設(shè)是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.18．如圖，在長方體中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．已知動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離的比是2.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線過點(diǎn)，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.20．已知數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．21．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面ABC；(2)若點(diǎn)在線段BC上（異于點(diǎn)，），平面與平面的夾角為，求的值．22．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)記雙曲線的上?下頂點(diǎn)為為直線上一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).1．D【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解即可.【詳解】由題知，設(shè)拋物線方程為，由其準(zhǔn)線方程為，則，可得，所以拋物線的方程為.故選：D2．C【分析】由直線垂直的充要條件列出方程求解參數(shù)即可.【詳解】由題意直線和直線垂直，所以或，C正確.故選：C.3．C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算出答案,【詳解】由題意得，解得.故選：C4．A【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】又，所以故選：A.5．B【分析】通過累加和等比數(shù)列的求和即可得答案.【詳解】由題意知:，則有，，，，，由累加可得，即.故選:B.6．B【分析】結(jié)合圖形，由圓上恰有3個點(diǎn)到直線的距離等于1得，即得圓的圓心與半徑，再由圓心距與兩半徑和差的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系即可，【詳解】由，得，則圓心，半徑，由，得，則圓心，半徑，因為圓上3個點(diǎn)到直線的距離是1，由直線，則圓心到直線的距離，故由題可知，則，故圓的圓心為，半徑是2，又圓的圓心為，半徑是1，則，因為，所以兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：B.7．D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】在雙曲線中，，，，，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，在雙曲線的右支上，，即，由題知，圓心，半徑，在圓上，，則，當(dāng)，，三點(diǎn)共線且Q位于另兩點(diǎn)之間時，取得最小值為，此時，的最小值為.故選：D.8．B【分析】由，推出和，再利用前項和為求解.【詳解】因為，所以，，，，又，，，.故選：B9．ACD【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項；利用空間向量平行的坐標(biāo)表示可判斷B選項；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，，A對；對于B選項，因為，則、不共線，B錯；對于C選項，，所以，，C對；對于D選項，，，，，所以，，D對.故選：ACD.10．ABD【分析】利用直線系方程求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷A；根據(jù)直線定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷B；當(dāng)直線與過定點(diǎn)和圓心的直線垂直時直線被圓截得的弦長最短，求出弦心距利用勾股定理可判斷C；轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離可判斷D.【詳解】對于A，直線，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，因為直線定點(diǎn)，且，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個公共點(diǎn)，故B正確；對于C，當(dāng)直線與過定點(diǎn)和圓心的直線垂直時直線被圓截得的弦長最短，定點(diǎn)和圓心的距離為，所以最短弦長，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，圓心到直線的距離是，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值是，故D正確.故選：ABD.11．AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式及其性質(zhì)，對于A選項，當(dāng)由為定值即可判斷；對B，，根據(jù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性；對C，，因為，所以即可得解；對D，由結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又，所以，.對于A選項，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故A正確.對于B選項，易知，則，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，又，故是遞減的等差數(shù)列，故B錯誤.對丁C選項，因為，所以；因為，所以，故當(dāng)時，的最大值為29，故C錯誤.對于D選項，因為，，，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故D正確.故選：AD.12．CD【分析】設(shè)直線聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理判斷A；由，結(jié)合拋物線定義及基本不等式求最小值判斷B；設(shè)，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理得，結(jié)合A分析求參數(shù)判斷C；應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求判斷D.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立方程組，可得，且，則，A不正確；由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為9，不正確；設(shè)，，聯(lián)立，可得，且，則，結(jié)合A分析得，即直線過點(diǎn)，正確；由，，正確.故選：CD13．【分析】根據(jù)與直線垂直可求得斜率，又過點(diǎn)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】因為，，所以,則邊上的高所在直線的斜率為，又該直線過點(diǎn)，所以所求直線方程為，即，故答案為：.14．##【分析】利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)面的法向量為，，取得，則到平面的距離為.故答案為：.15．【分析】對已知遞推關(guān)系的等式兩邊同時除以，可得數(shù)列是等比數(shù)列，可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，，解得，.故答案為：，.16．##【分析】作出輔助線，由對稱性得到，設(shè)，根據(jù)橢圓定義得到其他各邊長，由余弦定理得到方程，求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】延長交橢圓于點(diǎn)，連接，因為，故，由對稱性可知，，因為，所以，設(shè)，則，故，在中，，即，即，解得，故，由余弦定理得，即，解得.故答案為：17．(1);(2)【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前項和公式建立方程組，解出即可；（2）因為，裂項相消求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的等比為，因為，，，所以，解得，.（2）因為，所以，則，所以.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過證明，可得答案；（2）求出平面的法向量以及直線的方向向量，然后利用向量法求夾角即可.【詳解】（1）方法一：因為是的中點(diǎn)，所以和是等腰直角三角形，所以，，因為平面平面，所以，又平面，且平面；方法二：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，所以，，，又平面，且，平面；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取得，又，設(shè)直線與平面所成角為，.直線與平面所成角的正弦值為.19．(1)(2)或【分析】（1）直接利用條件求出點(diǎn)的軌跡方程，所求方程表示一個圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）由（1）可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列的概念即可得結(jié)果；（2）利用錯位相減法即可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，①當(dāng)時，，②②①化簡得：，當(dāng)時，，滿足，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以的通項公式.（2）由（1）得，所以，得，兩式相減得：，化簡得：.21．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到⊥，結(jié)合⊥，得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到.【詳解】（1）連接，因為，，所以，由勾股定理逆定理得，故，因為，所以為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以⊥，且，因為，所以，由勾股定理逆定理得⊥，因為，平面，所以⊥平面；（2）因為，為的中點(diǎn)，所以⊥，由（1）可知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，故，設(shè)平面的法向量為，則，