18.1.2平行四邊形判定第十八章平行四邊形第1課時(shí)平行四邊形的判定（1）情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.平行四邊形判定方法的探究.（重點(diǎn)）2.平行四邊形判定方法的理解和靈活應(yīng)用.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課學(xué)習(xí)了平行四邊形之后，小明回家用細(xì)木棒釘制了一個(gè)平行四邊形.第二天，小明拿著自己動(dòng)手做的平行四邊形向同學(xué)們展示.

小輝卻問(wèn)：你憑什么確定這四邊形就是平行四邊形呢?

大家都困惑了……講授新課平行四邊形的判定定理1一小強(qiáng)提議說(shuō)：我們可以度量它的邊，如果它的兩組對(duì)邊分別相等，那么它就是一個(gè)平行四邊形.ABCD

你能根據(jù)平行四邊形的定義證明它們嗎？已知：四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.ABCD連結(jié)AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知)BC=DA(已知)AC=CA(公共邊)∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1=∠4,∠2=∠3∴AB∥

CD,AD∥

BC∴四邊形ABCD是平行四邊形。證明：1423判定定理1：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.小偉提議說(shuō)：我們可以度量它的角，如果它的兩組對(duì)角分別相等，那么它就是一個(gè)平行四邊形.ABCD

你能根據(jù)平行四邊形的定義證明它們嗎？平行四邊形的判定定理2二已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.ABCD又∵∠A=∠C，∠B=∠D∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°即∠A+∠B=180°∴AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形.同理得AB∥

CD證明：判定定理2：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的判定定理3三小麗卻說(shuō)：“我可以不用任何作圖工具，只要兩條細(xì)繩就能判斷它是不是平行四邊形.”

只見(jiàn)小麗用兩條細(xì)繩做四邊形的對(duì)角線，并在兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處作了個(gè)記號(hào).然后分別把兩條對(duì)角線沿記號(hào)點(diǎn)對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它們被記號(hào)的點(diǎn)分成的兩段都能重合，小麗高興地說(shuō)：“這的確是個(gè)平行四邊形！”

你能用平行四邊形的定義進(jìn)行證明嗎?ABCDABCDO

已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：在△AOB和△COD中,OA=OC(已知)OB=OD(已知)∠AOB=∠COD(對(duì)頂角相等)∴△AOB≌△COD(SAS)∴∠BAO=∠OCD,∠ABO=∠CDO.∴AB∥

CD,AD∥

BC∴四邊形ABCD是平行四邊形.判定定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形歸納小結(jié)判定定理1定理2定理3文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言?xún)山M對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形平行四邊形判定定理ABCD∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是

ABCD

ABCD∵

∠

A=

∠

C,

∠B=

∠D,∴四邊形ABCD是ABCD

ABCDO

∵AO=CO,BO=DO,∴四邊形ABCD是

ABCD

例1填空：如圖在四邊形ABCD中（1）若AB//CD，補(bǔ)充條件

，使四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若AB=CD，補(bǔ)充條件

，使四邊形ABCD為平行四邊形；（3）若對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OA=OC=3，OB=5，補(bǔ)充條件

，使四邊形ABCD為平行四邊形.解題方法：緊扣平行四邊形的判定方法補(bǔ)上缺失條件.AD//BCAD=BCOD=5BODAC典例精析（4）如圖，□ABCD

的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F是AC上的兩點(diǎn)，補(bǔ)充條件：

,使得四邊形BFDE是平行四邊形.

BODACEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又

BO=DO.∴四邊形BFDE是平行四邊形.AE=CF想想還有其他證法嗎？想一想：判定一個(gè)四邊形是平行邊形可以從哪些角度思考?具體有哪些方法?從邊考慮兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義法）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（判定定理1）從角考慮兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（判定定理2）從對(duì)角線考慮對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（判定定理3）當(dāng)堂練習(xí)1.根據(jù)下列條件，不能判定一個(gè)四邊形為平行四邊形的是（）A.兩組對(duì)邊分別相等B

.兩條對(duì)角線互相平分C

.兩條對(duì)角線相等D

.兩組對(duì)邊分別平行分析CDABC2.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件：∠A:∠B:∠C:∠D的值為（）A.1:2:3:4

B.1:4:2:3

C.1:2:2:1

D.3:2:3:2

D3.如圖所示，△ABC是等邊三角形，P是其內(nèi)任意一點(diǎn)，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周長(zhǎng)為24，則PD+PE+PF=

.

AFBDCEP

8課堂小結(jié)平行四邊形的判定（１）判定方法定義法思路選擇判定理理1判定定理2判定定理3①已知一組對(duì)邊平行，可以證另一組對(duì)邊平行，即定義法.②已知一組對(duì)邊相等，可以證另一組對(duì)邊相等，構(gòu)成判定定理1.③已知一組對(duì)角相等，再證另一組對(duì)角相等，構(gòu)成判定定理2.④已知有一條對(duì)角線被平分，再證另一條對(duì)角線被平分，構(gòu)成判定定理3.18.1.2平行四邊形判定第十八章平行四邊形第2課時(shí)平行四邊形的判定（2）情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)探究活動(dòng)掌握平行四邊形的判定定理４.（重點(diǎn)）2.會(huì)進(jìn)行平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課

回憶平行四邊形的判定定理：平形四邊形的判定兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）邊兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形角對(duì)角線回顧與思考講授新課平行四邊形的判定定理4一合作探究BA如圖，將線段AB向右平移BC長(zhǎng)度后得到線段CD，AB∥CD嗎？連接AD，AD∥BC嗎？由此你能想到什么？DC四邊形ABCD是平行四邊形ABCD21證明思路作對(duì)角線構(gòu)造全等三角形一組對(duì)應(yīng)邊相等兩組對(duì)邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形問(wèn)題：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.定理ABCD21證明：連接AC.∵AB∥CD，∴∠2=∠3.在△ABC和△CDA中,AB=CD，

AC=CA，∠1=∠2，∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴BC=DA.又AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.典例精析

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，EB//FD．又∵EB=AB，F(xiàn)D=CD，∴EB=FD．∴四邊形EBFD是平行四邊形．

例1如圖

，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn).求證：四邊形EBFD是平行四邊形.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，四邊形AEFD是平行四邊形嗎？為什么？解：四邊形AEFD是平行四邊形．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC．又∵E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，∴AE=DF．又∵AE∥DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形．練一練為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長(zhǎng)相等就可以了.你能說(shuō)出其中的道理嗎？貼上圖片學(xué)以致用平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用二例2如圖，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接AF，CE．求證：AF=CE．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．分析：證AF=CE只需證四邊形AECF是平行四邊形.由AE⊥BD，CF⊥BD得AE∥CF.通過(guò)證△ABE≌△CDF，得AE=CF，結(jié)論即可得證.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF.在△ABE和△CDF中，∠ABE＝∠CDF∠AEB＝∠CFDAB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF=CE．例3如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，試問(wèn)BF與CE相等嗎？為什么？解：BF＝CE．理由如下：∵DF∥BC，EF∥AC，∴四邊形FECD是平行四邊形，∠FDB=∠DBE，∴FD=CE.∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD，∴∠FBD=∠FBD.∴BF=FD.∴BF＝CE.當(dāng)堂練習(xí)1.在?ABCD中，E、F分別在BC、AD上，若想要使四邊形AFCE為平行四邊形，需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件不可以是（）A．AF=CEB．AE=CFC．∠BAE=∠FCDD．∠BEA=∠FCE解析：B錯(cuò)誤．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥EC.由AE=CF，不能得出四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等不能判定）．BABCDEF證明：∵四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，∴AD∥EF，AD=EF，EF∥

BC，EF=BC.∴AD∥

BC，AD=BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.2.四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.3.已知：如圖，AD∥BC，且AB=CD=5，AC=4，BC=3；求證：AB∥CD.CDAB溫馨提示：可利用勾股定理及其逆定理解題證明：∵在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°

∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB=90°∵CD=5，AC=4，∴AD=3∴AD∥BC且AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD.課堂小結(jié)平行四邊形的判定２判定定理４平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.18.1.2平行四邊形判定第十八章平行四邊形第3課時(shí)三角形的中位線情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理.（重點(diǎn)）2.能利用三角形的中位線定理解決有關(guān)證明和計(jì)算問(wèn)題.(重點(diǎn)）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入ABC

在三角形中，連接一個(gè)

和它的

的

叫做三角形的中線.頂點(diǎn)頂點(diǎn)D中點(diǎn)DE是三角形的什么呢？E中點(diǎn)

它就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的三角形的中位線.頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)線段講授新課三角形的中位線定理一探究與思考1.你能給“三角形中位線”下個(gè)定義嗎？ABC中點(diǎn)D中點(diǎn)E2.一個(gè)三角形有幾條中位線？3.三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？答：三條.答：中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段.

中線是連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段.F定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.問(wèn)題1：如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關(guān)系？DE兩條線段的關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系分析：DE與BC的關(guān)系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述這一結(jié)論．問(wèn)題2：平行角平行四邊形或線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長(zhǎng)短線分析1：DE猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．問(wèn)題3：如何證明你的猜想？分析2：DE互相平分構(gòu)造平行四邊形倍長(zhǎng)DE證明：DE延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC

．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴CF

AD．∴CF

BD．又，∴DF

BC．∴DE∥BC，．DE證明：延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，證法2：

，ADCF．∴BDCF．又，∴DF

BC．∴DE∥BC，．

三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．DE△ABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則DE∥BC，DE=BC．三角形中位線定理：符號(hào)語(yǔ)言：知識(shí)要點(diǎn)

如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC中點(diǎn)．（1）

若DE=5，則BC=

．（2）

若∠B=65°，則∠ADE=

°．（3）

若DE+BC=12，則BC=

．1065x2xx+2x=12x=48練一練例1如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．四邊形問(wèn)題連接對(duì)角線三角形問(wèn)題（三角形中位線定理）三角形的中位線的綜合運(yùn)用二證明:連接AC.∵E,F,G,H分別為各邊的中點(diǎn),∴EF∥HG,EF=HG.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四邊形EFGH是平行四邊形.

順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.歸納例2如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．解：取BC邊的中點(diǎn)G，連接EG、FG．∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴EG是△ABC的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，F(xiàn)G=6，EG⊥FG，∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得∴EG∥AC,FG∥BD,G如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC，E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，G為對(duì)角線BD的中點(diǎn).求證:△EFG是等腰三角形.DCBGAFE證明：在△ABD中∵E,G分別是邊AB,BD的中點(diǎn)，∴EG=AD，∴同理FG=BC；又∵AD=BC，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形.做一做當(dāng)堂練習(xí)1.已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的三邊