河北省高三年級質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B.C. D.2.為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若，，則的最大值為（）A.3 B.5 C. D.4.等比數(shù)列的前項和為，若，數(shù)列不是等比數(shù)列，則為（）A. B. C. D.5.中國刺繡是我國民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕，它是在同一塊底料上，在同一繡制過程中，繡出正反兩面圖案對稱而色彩不一樣的繡技．某中學為弘揚中國傳統(tǒng)文化開設了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選，且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設計方法有（）種A.144 B.264 C.288 D.4326.過點的直線l與拋物線交于A、B兩點（A在第一象限），過點B作直線的垂線，垂足為M，若，則直線l的斜率為（）A. B.1 C. D.7.函數(shù)部分圖象如下圖所示，若在區(qū)間恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，則曲線與圍成的面積為（）A. B. C.1 D.2二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.若隨機變量，，X、Y分布密度曲線如圖所示，則（）A.B.C.D.10.過點與函數(shù)相切的直線為（）A B.C. D.11.圓O的半徑為定長r，M是圓O所在平面內(nèi)一個定點（點M與點O不重合），P是圓O上任意一點，線段MP的垂直平分線與直線OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時（）A.若點M在圓內(nèi)，則點Q的軌跡是橢圓B.若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線C.若點M在圓內(nèi)，則點Q的軌跡是橢圓的一部分D.若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線的一支12.正四面體的頂點在平面內(nèi)，頂點B、C、D到的距離分別為3、3、2（B、C、D在同側(cè)），則（）A.平面與夾角正弦值為B.平面與夾角正弦值為C.正四面體的內(nèi)切球表面積為D.正四面體的外接球體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知多項式，則______，______．14.已知，則的值為______．15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，過該圓錐內(nèi)切球球心作與圓錐底面平行的截面，截得圓臺體積為______．16.牛頓法求函數(shù)零點操作過程是：先在x軸找初始點，然后作在點處切線，切線與x軸交于點，再作在點處切線，切線與x軸交于點，再作在點處切線，依次類推，直到求得滿足精度的零點近似解為止．設函數(shù)，初始點為，若按上述過程操作，則所得前n個三角形，，……，的面積和為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C對邊，是與的等差中項．（1）求A的值；（2）若∠A的平分線交BC于點D，且，，求△ABC的面積．18.已知數(shù)列滿足，且．（1）求；（2）是數(shù)列的前n項和，求證：．19.如圖所示，直角梯形PABC中，，，D為PC上一點，且，將PAD沿AD折起到SAD位置．（1）若，M為SD的中點，求證：平面AMB⊥平面SAD；（2）若，求平面SAD與平面SBC夾角的余弦值．20.已知函數(shù)在處的切線斜率為．（1）求；（2）證明：．21.從中國奪得第一枚奧運金牌至今，已過去約四十年．在這期間，中國體育不斷進步和發(fā)展，如跳水、舉重、體操、乒乓球、射擊、羽毛球等，現(xiàn)已處于世界領先地位．我國某鄰國為挑選參加第19屆杭州亞運會乒乓球男單比賽的隊員，對世界排名均不靠前，且水平相當?shù)募滓叶说钠古仪騿未蛩椒謩e進行了五輪綜合測試，按某評判標準得到評價成績?nèi)缦拢ǚ謹?shù)越高，代表打球水平越好）甲：56.39.59.26乙：7.27.36.677.9（1）參考上面數(shù)據(jù)你認為選派甲乙哪位選手參加合適？說明理由；（2）現(xiàn)甲、乙二人進行單打比賽，并約定其中一人比另一人多贏兩局時比賽就結(jié)束，且最多比賽20局，若甲、乙在每一局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽互不影響，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)的數(shù)學期望．22.為橢圓上一動點．（1）結(jié)論一：動點M與定點的距離和M到定直線的距離的比為定值；結(jié)論二：動點M與定點的距離和M到定直線的距離的比為定值；從以上兩結(jié)論中任選一個進行證明；（2）過點且斜率為正值的直線交C于點A，過且與垂直的直線與曲線C交于點B，當四邊形在x軸上方時，求其面積的最大值．河北省2024屆高三年級質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合中元素范圍，再求交集即可.【詳解】集合或，所以．故選：D．2.為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及復數(shù)幾何的意義從而求解.【詳解】由已知，所以，z對應點坐標為，在第三象限，故C正確.故選：C．3.若，，則的最大值為（）A.3 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】（法一）設與夾角為．因為，對其兩邊同時平方結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（法二）因為，如圖設，，由知點B在以A為圓心1為半徑的圓上，結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】（法一）設與夾角為．因為，得，當時，最大值9，的最大值3，故選：A．（法二）因為，如圖設，，由知點B在以A為圓心1為半徑的圓上，當點B與O、A在一條直線，位于圖中位置時，的最大值3.故選：A.4.等比數(shù)列的前項和為，若，數(shù)列不是等比數(shù)列，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，若，則，此時，數(shù)列不是等比數(shù)列，合乎題意；若，對任意的，則，則，此時，數(shù)列是等比數(shù)列，不合乎題意.綜上所述，，所以，.故選：B.5.中國刺繡是我國民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕，它是在同一塊底料上，在同一繡制過程中，繡出正反兩面圖案對稱而色彩不一樣的繡技．某中學為弘揚中國傳統(tǒng)文化開設了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選，且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設計方法有（）種A.144 B.264 C.288 D.432【答案】B【解析】【分析】先求出正面區(qū)域可能的色彩設計方法，再求出反面區(qū)域的可能的色彩設計方法，由分步乘法計數(shù)原理即可得出答案.【詳解】4種色彩設為1、2、3、4，正面相鄰區(qū)域不能同色必定用三種顏色，則有種不同方法，對于中的一種再考慮反面設計，如正面用三色為1、2、3，則反面顏色也可選1、2、3，但與正面不能同色，故對應為2、3、1和3、1、2兩種．反面顏色也能選1、2、4，與正面1、2、3對應分別為2、1、4，2、4、1，4、1、2三種．同理反面顏色選1、3、4也為3種，反面選2、3、4也為3種，則正面用三色為1、2、3，反面顏色對應有11種，所以雙面繡不同色彩設計方法共有種．故選：B．6.過點的直線l與拋物線交于A、B兩點（A在第一象限），過點B作直線的垂線，垂足為M，若，則直線l的斜率為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】法一：由題意可證得A、O、M在一條直線上，可得，根據(jù)拋物線的定義作出幾何圖形，可求得直線l的斜率.法二：由法一得到，即可得，聯(lián)立直線和拋物線方程，韋達定理，即可求得直線l的斜率.法二：由法一得到，結(jié)合點差法，可求得點的坐標，由，根據(jù)兩點的斜率公式即可求得.【詳解】設，，，，，，因為、、三點共線，，所以，因為，，則，，所以，，因為，則，因為，，，又，則，又有一個公共點，所以點、、在一條直線上，由，得．（法一）過點A作AN垂直與于點N，作于點D，因為得，，所以，，則在Rt△ABD中，，，，則直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率.（法二）設直線與聯(lián)立得．設，，則，，由得，由，解得或因為A在第一象限，所以（舍去），所以.（法三）設，，①②①－②得③由得，，，．代入③得，解得，，則，，，所以直線AB的斜率為.故選：D．7.函數(shù)的部分圖象如下圖所示，若在區(qū)間恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出，由的取值范圍求出的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象得到不等式組，解得即可.【詳解】由圖可知函數(shù)過點，所以，即，又，所以或，依題意可得，若則靠近軸的最大值的橫坐標不可能為負數(shù)，故舍去；所以，即，因為，所以．又，的圖象如下所示：要使函數(shù)在區(qū)間恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則，解得，即的取值范圍是.故選：C．8.已知函數(shù)，則曲線與圍成的面積為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由題設得到分段函數(shù)形式，討論自變量范圍求的解析式，數(shù)形結(jié)合求圖象圍成的面積即可.【詳解】由，又，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，函數(shù)圖象如下圖所示，故曲線，與圍成的面積為．故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.若隨機變量，，X、Y的分布密度曲線如圖所示，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象，結(jié)合正態(tài)曲線的性質(zhì)，逐項分析判斷即得.【詳解】觀察圖象知，的均值比的均值小，的標準差比的標準差大，即，，即A正確，B錯誤；，，而，則，C錯誤；由，，得，因此，D正確.故選：AD10.過點與函數(shù)相切的直線為（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】當為切點時，根據(jù)的值和直接求解出切線方程；當不是切點時，設出切點，然后根據(jù)斜率的表示求解出的坐標，則切線方程可求.【詳解】因為，所以；若A點是切點，則，則切線方程為，即，故C正確；若A點不是切點，設切點，則B處切線斜率為，又因為直線AB的斜率為，則，，化簡可得，所以或（舍去，此時重合），所以點B為，故切線斜率為，則切線方程為，即，故D正確．故選：CD．11.圓O的半徑為定長r，M是圓O所在平面內(nèi)一個定點（點M與點O不重合），P是圓O上任意一點，線段MP的垂直平分線與直線OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時（）A.若點M在圓內(nèi)，則點Q的軌跡是橢圓B.若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線C.若點M在圓內(nèi)，則點Q的軌跡是橢圓的一部分D.若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線的一支【答案】AB【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線定義求解.【詳解】當點在圓內(nèi)且不與點重合時，由圖可知：，又，由橢圓定義可得：點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，即點的軌跡是橢圓；當點在圓外時，由圖可知：，又，由雙曲線的定義可得：點的軌跡是以點、為焦點的雙曲線，即點的軌跡是雙曲線，故選：AB12.正四面體的頂點在平面內(nèi)，頂點B、C、D到的距離分別為3、3、2（B、C、D在同側(cè)），則（）A.平面與夾角正弦值為B.平面與夾角正弦值為C.正四面體的內(nèi)切球表面積為D.正四面體的外接球體積為【答案】BC【解析】【分析】A,求出四棱錐的邊長，即可得出結(jié)論；B項，求出即可得出平面與夾角正弦值；C項，求出內(nèi)切球半徑即可得出表面積；D項，求出外接球半徑即可得出體積.【詳解】由題意，點B、點C到的距離均為3，∴設BC中點為M，M、D在內(nèi)投影為，，則，，正四面體中設，則，，得解得，∴,∴點到的距離均為3，∴面ABC⊥面，故A錯誤，由幾何知識，,平面與夾角為，，B正確．C項，取中點，連接，取點在的投影為，連接，在上取一點使得，則內(nèi)切球半徑，由幾何知識，，,在中，由勾股定理得,,在中，由勾股定理得,,解得：，∴正四面體的內(nèi)切球表面積為，故C正確.D項，在上取一點使得，則外接球半徑，在中，由勾股定理得,解得：,∴正四面體的外接球體積為,故D錯誤；故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：本題考查內(nèi)切球與外接球，勾股定理，二面角，考查學生分析和處理問題的能力，作圖能力，具有很強的綜合性.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知多項式，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用二項式定理及賦值法求解即可【詳解】由題意則含的項為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．14.已知，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角商數(shù)關系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，結(jié)合弦切互化求解.【詳解】（法一）．（法二）因為，所以，則．故答案為：．15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，過該圓錐內(nèi)切球球心作與圓錐底面平行的截面，截得圓臺體積為______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)幾何關系球內(nèi)切球的半徑和截面圓的半徑，再代入圓臺體積公式，即可求解.【詳解】如圖，圓錐與內(nèi)切球軸截面，，，所以，所以，，過球心且與圓錐底面平行的截面的截面圓的半徑為，所得圓臺的體積故答案為：16.牛頓法求函數(shù)零點的操作過程是：先在x軸找初始點，然后作在點處切線，切線與x軸交于點，再作在點處切線，切線與x軸交于點，再作在點處切線，依次類推，直到求得滿足精度的零點近似解為止．設函數(shù)，初始點為，若按上述過程操作，則所得前n個三角形，，……，的面積和為______．【答案】【解析】【分析】導數(shù)求切點處切線的方程，得，，，表示出，利用等比數(shù)列求和公式結(jié)合對數(shù)的運算求值.【詳解】設，則，因為，所以，則處切線為，切線與x軸相交得，，因為得，所以，，所以．故答案為：（其它形式只要正確均得分）．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵步驟是利用處的切線方程求出坐標，得到和的值，從而得到每個三角形的底和高，可求出面積.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，是與的等差中項．（1）求A的值；（2）若∠A的平分線交BC于點D，且，，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，，再結(jié)合三角恒等變形，進行化簡，即可求得角；（2）根據(jù)角平分線定理可得，，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解.【小問1詳解】△ABC中，，所以，，又因為是與的等差中項，得，，，，．【小問2詳解】由題意得，，即，所以，因為，所以，所以．因為，所以，，所以．18.已知數(shù)列滿足，且．（1）求；（2）是數(shù)列的前n項和，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由遞推公式利用累加法從而可求解.（2）由（1）知可得，利用裂項求和從而可求解.【小問1詳解】，，，，．由上述個等式相加得，．【小問2詳解】證明：，，所以，，當時，，，，，，．．綜上，，得證．19.如圖所示，直角梯形PABC中，，，D為PC上一點，且，將PAD沿AD折起到SAD位置．（1）若，M為SD的中點，求證：平面AMB⊥平面SAD；（2）若，求平面SAD與平面SBC夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由線面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；（2）以O為原點，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的坐標系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】梯形中，，，易知，所以，而，所以為等邊三角形，∴，又∵，，∴，面，，∴面，∵面，∴平面平面；【小問2詳解】由（1）知△為等邊三角形，∴為等邊三角形，取AD的中點O，得，，，∵，∴，因為面，，∴面．以O為原點，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的坐標系，得，，，，，設平面的法向量為，∴得，令，則，則．取平面的法向量為，．∴平面與平面夾角的余弦值為．20.已知函數(shù)在處的切線斜率為．（1）求；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率即可得解；（2）可轉(zhuǎn)化為求證，換元后求證，構(gòu)造函數(shù)后求函數(shù)的最小值不小于0即可得證.【小問1詳解】，得，所以．函數(shù)在處的切線斜率為．，得．【小問2詳解】由（1）得．證明，即證，即，設，即證．下面證明成立：構(gòu)造函數(shù)，求導得，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增．故函數(shù)，即恒成立，得，所以，得證．21.從中國奪得第一枚奧運金牌至今，已過去約四十年．在這期間，中國體育不斷進步和發(fā)展，如跳水、舉重、體操、乒乓球、射擊、羽毛球等，現(xiàn)已處于世界領先地位．我國某鄰國為挑選參加第19屆杭州亞運會乒乓球男單比賽的隊員，對世界排名均不靠前，且水平相當?shù)募滓叶说钠古仪騿未蛩椒謩e進行了五輪綜合測試，按某評判標準得到評價成績?nèi)缦拢ǚ謹?shù)越高，代表打球水平越好）甲：56.39.59.26乙：7.27.36.677.9（1）參考上面數(shù)據(jù)你認為選派甲乙哪位選手參加合適？說明理由；（2）現(xiàn)甲、乙二人進行單打比賽，并約定其中一人比另一人多贏兩局時比賽就結(jié)束，且最多比賽20局，若甲、乙在每一局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽互不影響，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)的數(shù)學期望．【答案】（1）應該派甲去，理由見解析（2）．【解析】【分析】（1）由平均數(shù)和方差的公式求出，，再比較它們的大小即可得出答案；（2）設比賽局數(shù)為隨機變量X，求出X的可能取值，及其對應的概率，由均值公式表示出，再結(jié)合錯位相減法求出，即可得出答案.【小問1詳解】分別計算甲乙運動員在平均成績，和方差，，，而，，因為，，所以在平均數(shù)一樣的條件下，乙的水平更為穩(wěn)定