./分類討論思想在中學數(shù)學中的應用1、前言每一條數(shù)學的結(jié)論都有讓能夠它成立的條件,每種數(shù)學方法也同樣有它的使用X圍與其限制,在我們?nèi)粘W習生活中所碰到的數(shù)學的問題之中,有部分的問題的結(jié)論并不是唯一確定的；有部分的問題,它的結(jié)論在解題過程中不能以統(tǒng)一的解題方法進行求解,還有部分的問題所給出的已知量是用字母的形式代替的,當其字母的取值的不同,最終也會導致問題的最后結(jié)論,所以,對于以上的幾種問題類型,我們要采取化整為零的解題策略,將原問題分成多個小問題進行解決,這種解題方法策略就是分類討論.分類討論思想是指解決某個問題時,沒有辦法用同樣的一種方法進行解決,而需要一個標準將問題分成多個能用不同的方式進行解決的小問題,將分成的小問題進行解決,從而使原來的問題得以解決,這就是分類討論的思想.在碰到需要分類討論的問題時,要結(jié)合題意用能夠?qū)嵤┑臉藴蔬M行分類,然后在劃分的每一個子類中逐步進行討論.比如,判斷函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù).對于這一道題,它的分類討論的標準就是或.這題的分類思路就是根據(jù)二次項系數(shù)與零的關系依據(jù)繼而分類.在這一類里還可以再一次的進行分類,可以分為和這兩類,這兩類的分類標準就是按照的正負與其函數(shù)的圖象的開口方向是上或下的關系.2、分類討論的基本概念2.1分類討論的原則實施分類討論的因數(shù)有很多也都不相同,進行分類討論也要遵循一些既定的原則.一般都有下面這幾個原則：1、解題時必須要依據(jù)標準進行分類,不能多個不同的分類標準來進行分類,不然就很容易會出現(xiàn)混亂、出現(xiàn)重復而且非常容易出錯.2、在一個分類下的各個子分類不可以存在相同的部分,要做到每個子分類相互排斥,類似于每個子分類相互之間的交集為空集.3、分類之后進行檢查時要注意前后是不是相呼應,分類的一些細節(jié)進行整合后要和原來的題目相稱,類似于每個子分類的并集就是原來題目.2.2分類討論的基本步驟一般的我們對一道數(shù)學題進行分類討論時,第一步是確定我們所要討論的對象和對象的全體X圍；第二步是確定分類的表準,要合理的,正確的進行分類,也就是標準要求統(tǒng)一,分得的類別要求不能重疊,不能遺漏；第三步就是將分類對象進行逐步的分類討論,要分級進行,得到每一類的小結(jié)果；第四步是將第三步的結(jié)果進行歸納總結(jié),得出最終結(jié)論.例1：函數(shù),的圖象和軸有沒有交點？解析：對于這一題這個函數(shù)與軸有沒有交點與二次項系數(shù)的正負有關,即當時,函數(shù)圖象開口方向是向上的,與軸沒有交點；當時,函數(shù)圖象開口方向是向下的,與軸有兩個交點.綜上所述,當時,與軸沒有交點；當時,與軸有兩個交點.總結(jié)：例1很明顯要用分類討論的方法來解題,所以做這題時,要按照分類討論的基本步驟來解答,先確定所要討論的對象,再確定分類標準的正負,然后逐步進行分類討論,得出時沒有交點,時有兩個交點.3、分類討論在中學數(shù)學中的應用3.1、分類討論在數(shù)與代數(shù)中的應用3.1.1、在含有絕對值或偶次方根的代數(shù)式中的應用在數(shù)學中因為絕對值運算和偶次方根運算的結(jié)果一定是非負的,所以在一些情況下我們要對絕對值里面和偶次方根里面的數(shù)或代數(shù)式進行分類討論,例如下面的例2和例3兩道例題.例2：若,且,則的值為多少？解析：因為,；所以,.由于,所以,即.故當時,,；當時,,.綜上所述.例3：化簡.解析：因為算術平方根開出的結(jié)果都是正數(shù),所以要對進行討論.原式.當即時,原式.當即時,原式.點評：絕對值概念和算術平方根概念是需要分類討論的概念,通過分類討論可以快速的、簡潔的得到正確的、完整的的結(jié)果,若不進行分類討論,就會很容易出現(xiàn)錯誤.3.1.2、與函數(shù)與圖象、最值有關的應用對于某些函數(shù),例如：分段函數(shù),它在定義域內(nèi),對于自變量不同,函數(shù)有著不同的對應關系,對于這種函數(shù)我們在進行研究時要對它進行分類討論；還有對于只有函數(shù)解析式難以畫出圖象的函數(shù),求它的最大<小>值時也要進行分類討論.例4：已知函數(shù),.用分段函數(shù)的形式表示函數(shù).畫出函數(shù)的圖象.寫出函數(shù)的值域.解析：因為函數(shù)在其定義域的X圍內(nèi),無法用同樣的解析式表達,所以要對其進行分類討論.即.<3>值域[-2,1.5].例5：點在曲線上移動時,求的最大值和最小值.解析：當時,.所以.故當時有最大值4,當時有最小值.當時,,且.所以.故當時有最大值4,當時有最小值1.當時同時結(jié)果一樣；當時同時結(jié)果一樣；綜上所述,有最大值4,最小值.點評：分段函數(shù)是一個典型的分類討論思想在函數(shù)中的應用示例,分段函數(shù)在定義域的X圍內(nèi),對于自變量的不同的取值,函數(shù)有著不同的對應關系,所以在解答分段函數(shù)類型的題時,要合理的使用分類討論思想；而對于一些難以畫出函數(shù)圖象的函數(shù)和概念函數(shù),對于此類函數(shù)的最值問題也要進行合理的分類討論.3.1.3、在含有參數(shù)的不等式中的應用對于一些含有參數(shù)的不等式,其最終結(jié)果會因參數(shù)的改變而產(chǎn)生變化,所以我們在研究這一類的題型時要應用分類討論思想例6：解關于的不等式：.解析：當時,原不等式將變?yōu)椴环?當時,原不等式為一元二次不等式,即.所以當,時；此時不等式無解；當,時,時,不等式解為；,時,不等式解為；當,時矛盾,舍.當,時,不等式解為.點評：此題因含有參數(shù),使此題情況復雜多變,要多次運用分類討論思想進行多級多次分類,若不按分類討論的步驟逐步分類很容易造成錯誤、混亂.3.1.4、在含參方程中的應用方程是數(shù)學的一個重要的組成部分,方程中含參方程是方程的重要部分.含參方程和含參不等式一樣,因含有參數(shù),參數(shù)取值不同,最終結(jié)果也會不同.所以對于研究含參方程,我們要合理使用分類討論思想.例7：關于的含參方程至少有一個整數(shù)解,且是整數(shù),求解的值.解析：當時,原方程變?yōu)橐辉淮畏匠?此方程解為非整數(shù),當時,方程是一元二次方程,因為它至少有一個整數(shù)根,表明了判別式為,所以是.令,則為正奇數(shù),因為,所以；由求根公式可得；.所以,；要讓為,而為,所以只能即；要讓為整數(shù),可取1、5、7,即2、-4、-10；綜上所述,的值為2、-4、-10.點評：此題因二次項系數(shù)含有參數(shù),故要先討論二次項系數(shù)是否為零的情況,再討論根是整數(shù)的情況.通過以上幾種分類討論思想在數(shù)與代數(shù)中的應用,我們可以看出分類討論思想在中學數(shù)學代數(shù)方面運用很廣.在代數(shù)中,特別是含有參數(shù)的題型中,我們往往要使用分類討論,還有像解一元二次方程實際上也運用了分類討論思想.接下來我將要討論分類討論思想在幾何中的幾種運用.3.2、分類討論在三角形中的應用3.2.1、在等腰三角形中的應用對于等腰三角形的題目,無論是邊還是頂角、底角,在其不確定的情況下都會對最終結(jié)論造成影響,因此要對其邊或角進行分情況求解.例8：一個的某一個外角,則這個頂角和底角為多少度？解析：若此的頂角的外角是,則為,底角為.若此的底角的外角是100o,則為80o,頂角為.例9：若實數(shù)滿足,則以的值為的兩邊長,求出此.解析：由題可知可,；若以的值為底邊,的值為腰,則三角形的周長；若以的值為腰,的值為底邊,則三角形的周長；綜上所述,此等腰三角形的周長為17或19.點評：例<7>是等腰三角形中的角不確定,所以要進行分類討論,而例<8>是因為在等腰三角形中,底邊和腰無法分辨時導致三角形無法確定,故要進行分類討論.由此可見,在等腰三角形中,邊或角的不確定,就要對它進行分類討論.3.2.2、在直角三角形中的應用在直角三角形中,若題干沒有給出哪個角是直角或哪個邊是斜邊,對于這一情況需要進行分類討論.A例10：如下圖,在中,,邊.點是邊上的〔不和點與點〕,過點作交于點,將沿著直線翻折,點落在射線上的一點處.若為直角三角形時,BD的長是多少？A解析：當時；E；EB.BCFD故.CFD當時,點F在C的右側(cè)；；.故.綜上所述,的長為1或2.點評：在直角三角形中直角的不確定會影響解直角三角形的結(jié)果,對于這種情況就要用到分類討論思想.分類別討論直角的可能性,這樣解題會得出完整的、正確的答案,否則結(jié)果很容易出現(xiàn)遺漏.3.2.3、與相似三角形有關的應用對于兩個三角形相似,因圖形的不確定因素,就要對其進行分類討論.例11：如下圖,在中,,,,現(xiàn)有一從點開始向點運動,它的運動速度是2cm/s,有一動點Q由點C出發(fā)向點B運動,它的速度是1cm/s,連PQ,經(jīng)過多長時間△PCQ和△ACB相似？A解析：設經(jīng)過t秒的時間兩三角形相似.A由題意可知CQ=t,AP=2t,PC=8-2t.P當∠CPQ=∠A時,△CPQ∽△CAB；可得；P即；解得.CB當,△CPQ∽△CBA；CBQ可得,即；解得.Q綜上所述,經(jīng)過或s后△PCQ與△ACB相似.點評：此題就是因為圖形的不確定而引起結(jié)果變化,對此就要運用分類討論思想,進行分級分類,逐步討論.以上幾種是分類討論在三角形之中的應用,分類討論在幾何中的應用不僅僅只有三角形還有其他的圖形,本文在此就不作一一闡述.一般的,在幾何中,若幾何圖形不確定時,應合理應用分類討論思想.3.3、因公式適用條件而導致分類討論數(shù)學上的每個數(shù)學公式定理都有它的適用條件,這就要求我們進行解題時要弄清題中條件,要根據(jù)條件來進行分類.例12：設全部組成的,前項和是,證明：；是否存在常數(shù),使得成立？解析：設的公比是,則；當,,則；故,則,即原式成立.當時,,則.故,則原式成立.綜上所述,恒成立.假若成立,則必有成立,所以我們只用證明后者成立即可.當時,,則.即,原式不成立.當時,,則.因,故,即；則；所以對數(shù)式無意義,故原式無意義.綜上所述,不存在常數(shù)使成立.點評：對于等比數(shù)列,公比是1和公比不是1會影響等比求和的通項公式的假設,所以此題要根據(jù)它的公比為不為1來進行分類討論.分類討論思想結(jié)合其他數(shù)學方法的應用數(shù)學中解題方法策略有很多種,解題時往往不只使用一種方法策略,而經(jīng)常將幾種或多種方法結(jié)合起來,分類討論也是如此.4.1、分類討論思想與數(shù)學歸納法的結(jié)合應用在數(shù)學研究中分類討論思想常常與數(shù)學歸納法結(jié)合起來運用,把問題分類別使用歸納法.例13：已知,且,試證：數(shù)列或者對任意的正整數(shù)都滿足,或者對任意的正整數(shù)都滿足.解析：先作差.由題設可知,所以與的符號相同.故要分與兩種情形討論.若時,可用數(shù)學歸納法證明.當時,顯然成立.假設時,有,則,所以對,,由式可知.若,同<1>類似可證.點評：這題因為要比較和1的大小關系,所以使用數(shù)學歸納法時要分和兩種情況進行歸納.4.2、分類討論思想與賦值法的結(jié)合應用例14:使用個數(shù)〔允許重復〕組成一個長為的數(shù)列；且.求證：可在這個數(shù)列中找出若干個連續(xù)的項,它們的乘積是一個完全平方數(shù).解析：設個數(shù)組成的長為的數(shù)列為.這里,.建立映射.其中.對于每個j,我們賦值如果有某個,那么,在積中,每個都出現(xiàn)偶數(shù)次,所以積為完全平方數(shù).如果每個,那么,由于,這個集合恰有個元素,由題設,所以必有和滿足.這時,在乘積和中每個出現(xiàn)的次數(shù)具有相同的奇偶性,從而它們的商,即乘積中每個出現(xiàn)偶數(shù)次.即為完全平方數(shù).5、分類討論思想的延展分類討論是一種,但是分類討論和其他的數(shù)學解題方法一樣也不是萬能的,在準備使用分類討論思想解決一些問題時,不要盲目的進行分類討論,要充分把題中潛在的簡單性與特殊性挖掘出來,能避免分類討論,或者簡化分類討論過程.接下來本文對于避免或簡化分類討論的幾種方法進行簡單的舉例說明.5.1、絕對值平方法代數(shù)式中出現(xiàn)參數(shù)以與實數(shù)絕對值等概念,使得引起分類討論,若采取合理方法,此類也可避免或簡化分類討論.例15：若,且,比較與的大小.解析：因在實數(shù)集中,.故可比較的大小,即.由,,故,即,又由于.故,即.故；點評：此題若進行分類討論會很復雜,而將絕對值進行平方,就能將解絕對值問題轉(zhuǎn)換成平方問題,從而避免或簡化分類討論,使題目變得簡單.5.2、分離變量法在含參方程中的一些題目,如果把方程轉(zhuǎn)化成,進行變量分離,也可以避免分類討論.例16：一個未知數(shù)是的方程在內(nèi)有解,求出的取值X圍.解析：因；故.令；則原來的問題就變成了求的值域；因為,等號當且僅當時成立,即,又因為在定義域內(nèi)是減函數(shù),所以.所以函數(shù)的值域為；即.點評：此題若用分類討論進行解題,一般的做法是先設出兩根,在根據(jù)兩根在數(shù)軸上的位置進行分類,而將方程轉(zhuǎn)化成函數(shù),進行分離變量,就可以避免分類討論,使解題更簡便.5.3、換元法對于一些含參方程或函數(shù)中,使用換元法能夠避免進行分類討論,從而使解題變得簡便.例17：已知.假設,恒有,問實數(shù)的取值X圍.解析：因在恒成立；所以成立成立,即成立故可令,則.而,；所以的最大值是1,即時,恒成立.點評：此題若用分類討論思想會比較復雜,而使用換元法能避免分類討論,使解答變得簡單容易.6、總結(jié)本文通過探討分類討論思想在數(shù)與代數(shù)、幾何等方面的應用,更深入的體現(xiàn)了分類討論思想的要求、標準以與分類討論的步驟和方法,注意合理的分類,對全體對象的分類一定要不重不漏,每進行一次分類都要保持一個同樣的標準.我們在使用分類討論思想的時候,要遵循分類討論的原則,按照分類討論的步驟對問題的不同情況進行分類,把問題化整為零,將看似復雜的問題簡單化.分類討論在解決某一些數(shù)學問題時,如果它的解決過程包括很多種情形時,不能一概而論,不可以用同一形式或者說同一種的方法來進行解決時,要依據(jù)所要研究的對象的一些差別,按照合理的標準,把原來的問題分解成多個不種類的小問題,再對每一個小問題進行逐步的加以討論、分析,再把每一類的結(jié)論綜合起來,最終得到原來的總的問題的結(jié)論,使