考點突破練5數(shù)列求和及其券合應用

1.(2022.全國甲?理17)設Sn為數(shù)列｛α,J的前〃項和.已知§+〃=2。“+1.

(1)證明:｛““｝是等差數(shù)列；

⑵若“4,〃7,。9成等比數(shù)列,求S“的最小值.

2.(2022.河北石家莊一模)已知等差數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù),公差火3,若分別從下表第一、二、三行中各

取一個數(shù),依次作為“3。4,。5,且中任何兩個數(shù)都不在同一列.

項目一第一列___________第二列__________第三列___________

第一行.356

第二行一

74X

第三行一11129

(1)求數(shù)列｛〃"｝的通項公式；

OO

⑵設歷尸廠~二,數(shù)列｛乩｝的前〃項和為心,求證:〃<*

(αn+l)?(αn+1+3)2

3.(2022?河北唐山一模)已知數(shù)列｛如｝的各項均不為零$為其前〃項和,且anan+i=2St1-?.

⑴證明：%+2-4尸2；

(2)若數(shù)列｛與｝為等比數(shù)列為1=〃1力2=。3,求數(shù)列｛α也｝的前2022項和T2022?

4.(2022?河北石家莊二模)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S","∣=l,24,,+∣=S”+2("∈N*).

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項公式；

(2)數(shù)列｛勿滿足C=α,,?(IogyfrI)SGN*),求數(shù)列｛與｝的前解項和Tn.

2

5.(2022?廣東梅州二模)已知S”是數(shù)列｛的｝的前n項和,“∣=1,

①VN∈N",斯+斯+尸4〃;②數(shù)歹喈｝為等差數(shù)列,且閨的前3項和為6.從以上兩個條件中任選一個補充在橫

線處,并解答.

⑴求an;

(2)設C=即+即+',求數(shù)列｛兒｝的前n項和τ,.

(αn?αn+i)

6.(2022?重慶二模)已知S,為數(shù)列｛斯｝的前〃項和磷+24,,=4S"+3("GN*).數(shù)列｛兒｝滿足

bι=2,?2=4,bn+1=??,,+2(n∈N*).

(1)求數(shù)列｛a,,｝和｛兒｝的通項公式；

?(n=2kl,∕c∈N*),

⑵設cn=S"求數(shù)列｛c.｝的前2n項的和T2n.

,bn(n=2∕c,k∈N*),

考點突破練5數(shù)列求和及其綜合應用

1.(1)證明由也+〃=2?！?1,變形為2S〃=2〃ɑ〃+〃-〃2,記為①式,又當時,有

n

記為②式,①■②并整理可得(2"-2M-(2∕7-2)MI=2"-2,”22,"∈N*.

即斯-即]=122,〃wN：所以｛m｝是等差數(shù)列.

(2)解由題意可知0即((Il+6)2=(〃]+3)3+8),解得4尸-12,所以〃〃=?12+(〃-I)X1=〃-13,其中

…VaI2<0,413=0,則S〃的最小值為Si2=5i3=-78.

2.(1)解由題意可知,數(shù)列｛〃〃｝為遞增數(shù)列,又公差d<3,所以。3=5,々4=7,。5=9,則可求出0二1,“2,所以

a,l=2n-↑.

(2)證明btt=,

(απ+l)?(αn+ι+3)n(n+2)nn+2

3.(1)證明因為anan+?=2S,r?,①

所以a〃+i0i+2=2S〃+i-l,②

②-①得a,l+↑(an+2-att)=2an+?9

又G"+∣≠0,所以4"+2S=2.

(2)解由4產(chǎn)?1,得俏=1,于是岳=S=L由從=〃1=-1,得｛兒｝的公比9二?1.所以為=(?1)〃,?！皟憾??1)"?！?由

得。2=3.由斯+2-%=2,得。2022-。2021=4202()-42019=…=4.因此7?022=-41+。2-6+。4…

021+。2022=(。2-。1)+(44-〃3)+…+(。2022-。2021)=1Ol1×(?2-^l)=1Ol1×4=4044.

4.解⑴當時,由2a〃+i=S〃+2,得2?！?5〃/+2,兩式相減得2?！?1-2。〃=。〃,所以血??=。.因為

a

n乙

G==*所以言=|,符合上式.所以數(shù)列｛4"｝是以1為首項尚為公比的等比數(shù)列,所以‰=(∣)n^1.

2n1

(2飽=布(108郎1)=(〃-2).值)"二則Tn=-Ix(|)°+0×∣+l×(∣)+-+(∕J-2)?(∣)^,∣‰=-l×∣+0×

(丁+以G)3+???+g?(y'+(0Mi)：兩式相減得名=-ι+∣+(∣y+???+(I)M("-2)?(∣y=-

埋7"-2)(Iy=-(〃-4)(|)"-4,所以4=25-4)(∣)"+8.

IF

5.解⑴選條件①:由7〃￡1\：4〃+。"+1=4〃,得。〃+]+。〃+2=4(〃+1),所以an+2-an=4(n+l)-4n=4,

即數(shù)列｛｝,｛Zk｝(%￡N*)均為公差為4的等差數(shù)列，

于是aikΛ-ci?+4(?-l)=4?-3=2(2?-l)-l.

又的+。2=4,所以。2=3,〃2&=。2+4(2-1)=4&-1=2?(22)-1.所以an=2n-?.

選條件②:由數(shù)列圖為等差數(shù)列,且圖的前3項和為6,得學+:+學=3X經(jīng)6,所以等=2,

所以｛?1｝的公差為"旁一*2-l=l,

2

1=1+(”/)=〃,則sn=∏.

當n≥2時,斯=S”?S加尸〃2.(九.1)2=2〃?L

又4尸1滿足斯=2〃-1,所以對任意的n∈N*,aw=2n-l.

an+an+

(2)因為blt=?=——*——?=I-」~?∣,

z222

(αn?+ι)(2n-l)(2n+l)2l(2n-l)(2n+l)J

所以T=打+匕,+…+6=工[____+____21+…+--________-]=-1_1=2n(n+l)

w^2I2323252(2n-l)2(2n+l)22(2n+l)2](2n+l)2,

6.解成+2a〃=4S”+3,①

當n=l時,青-20-3=0,解得的=3或α∣=-l(負值舍去)；

當n≥2時,a"+2Mι=4S*+3,②

①-②得(。