例談圓錐曲線壓軸題破解之策與算法優(yōu)化【方法策略簡述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應(yīng)用的形式呈現(xiàn)，考察動態(tài)情形下的范圍、最值、定點(diǎn)、定值等問題及存在探索性問題.二、解決此類問題的方法策略主要有三種：1、根與系數(shù)的關(guān)系法（主流方法）．設(shè)出動直線的方程（），與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到關(guān)于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進(jìn)行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數(shù)聯(lián)動變換法．此種方法有別于方法1，不聯(lián)立方程消元求解，而是直接將所設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線（直線）方程和題設(shè)中，得到若干個關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)間的關(guān)系式，對這些關(guān)系式進(jìn)行整體變形整體代換而求解．如弦中點(diǎn)問題常用點(diǎn)差法處理．此種方法對多變量多參數(shù)的代數(shù)式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗(yàn)．3、設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．方法1、2均采用了設(shè)而不求的策略．當(dāng)問題中直線與曲線的交點(diǎn)易求時，可考慮直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解，即設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．如：動直線過曲線上一已知點(diǎn)時，則另一交點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出；再如動直線與橢圓的交點(diǎn)易求出．【雙曲線綜合題一例】如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，且它的實(shí)軸長等于虛軸長，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和，其中在軸的同一側(cè).(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在題設(shè)中的點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1),(2)見解析【解析】(1)對于橢圓由題意可知,解得，從而于是橢圓方程為，雙曲線方程為.(2)【方法一】斜率單參+韋達(dá)法+巧用直線方向向量對于雙曲線易證得，故設(shè)設(shè)由得，則由得，則直線的方向向量為，故直線的方向向量為，故由于在軸的同一側(cè)，故若即整理得，即故，當(dāng)時，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得則，故，代入直線方程得,故點(diǎn),由對稱性知，滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【方法二】韋達(dá)法+多參聯(lián)動+巧用數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，設(shè)設(shè)由得，則由得，則由題意知：可得,所以又所以所以，即存在點(diǎn).【點(diǎn)評】1.韋達(dá)法是解決圓錐曲線綜合問題的有力工具和主流方法.2.方法一巧用，將轉(zhuǎn)化為斜率的方程，屬通性通法；方法二結(jié)合