28.2.2應(yīng)用舉例第3課時利用方位角、坡度解直角三角形【教學(xué)目標(biāo)】1．知道測量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度與坡角的關(guān)系；(重點(diǎn))2．能夠應(yīng)用解直角三角形的知識解決與方位角、坡度有關(guān)的問題．(難點(diǎn))【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入在修路、挖河、開渠和筑壩時，設(shè)計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i＝eq\f(h,l).坡度通常寫成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i＝eq\f(h,l)＝tanα.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我們這節(jié)課就解決這方面的問題．二、合作探究探究點(diǎn)一：利用方位角解直角三角形【類型一】利用方位角求垂直距離如圖所示，A、B兩城市相距200km.現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)．解析：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來．根據(jù)AB的長得到一個關(guān)于PC的方程，求出PC的長．從而可判斷出這條高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū)．解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即eq\f(\r(3),3)PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護(hù)區(qū)．方法總結(jié)：解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．【類型二】利用方位角求水平距離“村村通”公路工程拉近了城鄉(xiāng)距離，加速了我區(qū)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)步伐．如圖所示，C村村民欲修建一條水泥公路，將C村與區(qū)級公路相連．在公路A處測得C村在北偏東60°方向，沿區(qū)級公路前進(jìn)500m，在B處測得C村在北偏東30°方向．為節(jié)約資源，要求所修公路長度最短．畫出符合條件的公路示意圖，并求出公路長度．(結(jié)果保留整數(shù))解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，從而解得CD.解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足落在AB的延長線上，CD即為所修公路，CD的長度即為公路長度．在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\r(3)CD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)CD.又∵AD－BD＝500，∴eq\r(3)CD－eq\f(\r(3),3)CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路長度約為433m.方法總結(jié)：在解決有關(guān)方位角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．探究點(diǎn)二：利用坡角、坡度解直角三角形【類型一】利用坡角、坡度解決梯形問題如圖，某水庫大壩的橫截面為梯形ABCD，壩頂寬BC＝3米，壩高為2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°.求壩底AD的長度．解析：首先過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°，根據(jù)坡度的定義，即可求解．解：分別過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足為E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由題意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝eq\f(BE,tan45°)＝2，DF＝eq\f(CF,tan30°)＝2eq\r(3)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2eq\r(3)＝5＋2eq\r(3)(m)．答：壩底AD的長度為(5＋2eq\r(3))m.方法總結(jié)：解決此類問題一般要構(gòu)造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識求解．【類型二】利用坡角、坡度解決三角形問題如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，它的坡度為i＝1∶2，斜坡AB的長為6eq\r(5)m，斜坡的高度為AH(AH⊥BC)，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°(圖中的∠ACB＝14°)．(1)求車庫的高度AH；(2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度為i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，進(jìn)而利用勾股定理求出AH的長；(2)利用tan14°＝eq\f(6,BC＋12)，求出BC的長即可．解：(1)由題意可得AH∶BH＝1∶2，設(shè)AH＝x，則BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(6eq\r(5))2，解得x＝6，故車庫的高度AH為6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝eq\f(AH,CH)，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝eq\f(6,BC＋12)，即0.25＝eq\f(6,BC＋12)，解得BC＝12m.答：點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是12m.方法總結(jié)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中坡度、坡角問題，明確坡度等于坡角的正切值是解題的關(guān)鍵．三、板書設(shè)計1．方位角的意義；2．坡度、坡比的意義；3．應(yīng)用方位角、坡度、坡比解決實(shí)際問題．【教學(xué)反思】將解直角三角形應(yīng)用到實(shí)際生活中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，即要求學(xué)生通過對實(shí)物的觀察或根據(jù)文字語言中的某些條件，畫出適合他們的圖形．這一方面在教學(xué)過程應(yīng)由學(xué)生展開，并留給學(xué)生思考的時間，給學(xué)生充分的自主思考空間和時間，讓學(xué)生積極主動地學(xué)習(xí).28.2.2應(yīng)用舉例第3課時利用方位角、坡度解直角三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】⑴使學(xué)生了解方位角的命名特點(diǎn)，能準(zhǔn)確把握所指的方位角是指哪一個角⑵逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法．⑶鞏固用三角函數(shù)有關(guān)知識解決問題，學(xué)會解決方位角問題．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】用三角函數(shù)有關(guān)知識解決方位角問題【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】學(xué)會準(zhǔn)確分析問題并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型【導(dǎo)學(xué)過程】一、自學(xué)提綱：坡度與坡角坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常寫成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．結(jié)合圖形思考，坡度i與坡角α之間具有什么關(guān)系？這一關(guān)系在實(shí)際問題中經(jīng)常用到。二、教師點(diǎn)撥：例5如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處.這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？例6同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖6-33水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)四、學(xué)生展示：完成課本77頁練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)(1)一段坡面的坡角為60°，則坡度i=______；______，坡角___