-2024學(xué)年梅州市大埔縣高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期開學(xué)檢測卷2024.2一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1．已知空間向量，，且，則（

）A． B． C． D．2．已知，，，則是（

）A．等邊三角形 B．等腰非等邊三角形 C．直角三角形 D．以上均不正確3．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（

）A． B．C． D．4．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．16 B．17 C．18 D．195．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的值為（

）A．8 B．16 C．24 D．326．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．47．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)．若平面，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以是（

）A． B．C． D．10．已知數(shù)列的首項(xiàng)是4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前n項(xiàng)和D．的前n項(xiàng)和11．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則（

）A．平面PACB．平面EFCC．點(diǎn)F到直線CD的距離為D．點(diǎn)A到平面EFC的距離為12．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法-商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知，則的最小值是.14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.15．如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長度為.

16．將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.17．如圖,在直三棱柱中,是棱的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是正三角形，．(1)求證：平面平面；(2)直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為若存在，求的值；若不存在，請說明理由．19．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知矩形ABCD的長與寬的比值為k，分別為CD的四等分點(diǎn)，現(xiàn)將沿AF向上翻折，將BCE沿BE向上翻折，使得，與四邊形ABEF所成角均為，且

(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面平面(2)當(dāng)時(shí)，是否存在P為線段BC上一點(diǎn)，使FP與平面ABD所成角為，如果存在請說明理由.22．已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合．若存在，使得，則稱為可表數(shù)，稱集合為可表集．(1)若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說明理由；(2)若，證明：；(3)設(shè)，若，求的最小值．1．B【分析】根據(jù)向量平行得出坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】，，且，，解得.故選：B.2．D【分析】利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求出三角形的各邊長，再驗(yàn)證是否是直角三角形.【詳解】由題意，得的三邊長分別為：，，，顯然，不是等腰三角形，又，所以不是直角三角形.故選：D.3．B【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】M與A、B、C共面的條件是，且，故B選項(xiàng)正確，故選：B4．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項(xiàng)數(shù)之和相等的兩項(xiàng)之和相等，化簡已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，將的值代入即可求出值．【詳解】由題意，得，所以，故C正確.故選：C.5．B【分析】直接等差數(shù)的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式求解即可【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且所以，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6．B【分析】由等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.7．C【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出公比q，進(jìn)而即可求解【詳解】設(shè)公比為q（顯然），由得，即，得或（舍去），所以遞增且，所以最小值為．故選：C8．A【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，由平面，利用空間向量法可得出，利用空間向量的模長公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得線段的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，因?yàn)槠矫妫瑒t，即，所以，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，取最小值，即的最小值為.故選：A.9．ABC【分析】根據(jù)給定條件，逐項(xiàng)驗(yàn)證判斷即得.【詳解】對于A，，符合題意，A是；對于B，，符合題意，B是；對于C，，符合題意，C是；對于D，，不符合題意，D不是.故選：ABC10．BD【分析】根據(jù)題意，得到，得到為等比數(shù)列，可判定A；由，可判定B；利用錯(cuò)位相減法求和，可判定C；由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，可判定D.【詳解】由，可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；由，所以，顯然數(shù)列為遞增數(shù)列，所以B正確；由，可得，兩式相減，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和為，所以D正確.故選：BD.11．AD【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由，，利用線面垂直的判定定理可判斷A正確；求出平面EFC的法向量、的坐標(biāo)，利用可判斷B；設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，由可判斷D；設(shè)點(diǎn)F到直線CD的距離為h，計(jì)算可判斷C．【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，,，，，，則，，，，因?yàn)?，，所以，，即，，又，平面PAC，所以平面PAC，A正確；設(shè)平面EFC的法向量為，則，令，得，因?yàn)?，所以，B不正確；設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，，則，D正確；設(shè)點(diǎn)F到直線CD的距離為h，，，則，即，C不正確．故選：AD.12．ACD【分析】由已知題意，探索遞推規(guī)律，由規(guī)律得通項(xiàng)，由此判斷選項(xiàng).【詳解】由題意得，第層有個(gè)球，.即，，，，因?yàn)椋?，A正確；由，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，C正確；由，D正確；故選：ACD.13．##【分析】根據(jù)題意，寫出的坐標(biāo)，計(jì)算，得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，即可求出其最小值.【詳解】由已知可得，∴∴當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式特征求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項(xiàng)和要滿足，又因?yàn)?，所?故答案為：15．【分析】先利用直線與平面所成的角為，求得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡長度.【詳解】若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點(diǎn)的軌跡長度為．故答案為：.

16．【分析】由題意歸納得出，即得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，即可求得答案.【詳解】數(shù)列：，數(shù)列：，則為：，則，所以，故，故答案為：17．(1)(2)【分析】(1),異面直線與所成角即為與所成角.根據(jù)線段關(guān)系得△為等邊三角形,,求余弦值即可.(2)根據(jù)二面角的空間向量法求解即可.【詳解】（1）在直三棱柱中,.同理.△為等邊三角形,,又即,異面直線與所成角等于與所成角,與所成角的余弦值為．（2）在直三棱柱中,以為原點(diǎn),以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則,.設(shè)平面的法向量為,令則設(shè)平面的法向量為,令則由圖知,二面角為銳二面角,所以二面角的余弦值為.18．(1)證明見解析(2)存在滿足條件的點(diǎn)．且或【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系證明線線垂直，即可根據(jù)線面垂直求證面面垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角即可求解.【詳解】（1）由于故，又平面，故平面，平面，所以平面平面，（2）由四邊形為正方形，且，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭钦切?，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故，又，故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,0,,,,,,設(shè),則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，假設(shè)直線上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，所以，整理可得，解得或，故存在滿足條件的點(diǎn)．且或19．(1)(2)【分析】（1）利用之間的關(guān)系，再結(jié)合累乘法計(jì)算化簡即可．（2）表示出數(shù)列的前項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算化簡即可．【詳解】（1）結(jié)合題意：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，所以①-②得，即，所以，當(dāng)時(shí)，上式也成立.故的通項(xiàng)公式．（2）記，由（1）問，所以，即，所以，所以③-④得，即，整理得：．20．(1)(2)【分析】（1）由題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出的值，即得公比，即可求得答案；（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.21．(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）連接，設(shè)，，利用余弦定理可求出，然后再利用線面垂直證明面面垂直.（2）建立空間坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)，即，然后求出平面的一個(gè)法向量，再利用向量法求出線面角，從而可求解.【詳解】（1）如圖連接，設(shè)，令，則，

由余弦定理得化簡得：，求得或，即或，又，即，即，（舍），所以，即，取中點(diǎn)為連接，且，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接由等腰直角三角形性質(zhì)得，，所以為平面與平面所成角，又因?yàn)槠矫媾c平面所成角為，則為等邊三角形，則在平面面內(nèi)的投影為的中點(diǎn)，如圖以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，由平面幾何的性質(zhì)得，設(shè)，，則，，得，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，得：，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得：，因?yàn)?，所以方程無解，所以不存在在線段上，使得與平面所成角為.

22．(1)31是可表數(shù)，1024不是可表數(shù)，理由見解析；(2)證明見解析；(3)8【分析】（1）根據(jù)定義賦值及數(shù)列求和計(jì)算驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)定義判定則有，從而可知，利用集合間的基本關(guān)系得出中最多含有個(gè)元素，解不等式即可證明；（3）利用第二問的結(jié)論可設(shè)，有，然后利用定義先證為可表數(shù)，再根據(jù)三進(jìn)制的基本事實(shí)確定的最小值為滿足成立的，代入求即可.【詳解】（1）31是，1024不是，理由如下：由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，顯然若時(shí)，，而，故31是可表數(shù)，1024不是可表數(shù)；（2）由題意可知若，即，設(shè)，即使得，所以，且成立，故，所以若，則，即中的元素個(gè)數(shù)不能超過中的元素，對于確定的，中最多有個(gè)元素，所以；（3）由題意可設(shè)，使，又，所以，