第二章檢測(B)(時間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下面給出了四個條件:①空間三個點;②一條直線和一個點;③和直線a都相交的兩條直線;④兩兩相交的三條直線.其中,能確定一個平面的條件有()A.3個 B.2個 C.1個 D.0個解析:①當空間三點共線時不能確定一個平面;②點在直線上時不能確定一個平面;③兩直線若不平行也不相交時不能確定一個平面;④三條直線交于一點且不共面時不能確定一個平面.故4個條件都不能確定一個平面.答案:D2.對于直線m,n和平面α,下列結論正確的是()A.如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n∥αB.如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n與α相交C.如果m?α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n解析:如果m?α,n?α,m,n是異面直線時,n與α可以平行,也可以相交,故A,B錯誤;對于C,由線面平行的性質定理可知C正確;對于D,m與n還可以相交,故D錯誤.答案:C3.已知a,b,c是直線,則下面四個命題:①若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面;②若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交;③若a∥b,則a,b與c所成的角相等.其中真命題的個數(shù)為()A.0 B.3 C.2 D.1解析:異面、相交關系在空間中不能傳遞,故①②錯;根據(jù)等角定理,可知③正確.答案:D4.下列命題錯誤的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內的所有直線都垂直于平面β答案:D5.把正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A,B,C,D四點為頂點的三棱錐體積最大時,直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°解析:當三棱錐DABC的體積最大時,平面DAC⊥ABC,取AC的中點O,連接OD,OB,則△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.答案:B6.一個正方體的展開圖如圖所示,其中A,B為所在棱的中點,C,D為原正方體的頂點,則在原來的正方體中AB與CD所成角的大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°解析:展開圖還原為正方體(如圖),其中EF,FG,EG分別為所在面的對角線.因為A,B分別為相應棱的中點,所以EF∥AB.易知CD∥EG,所以∠FEG為AB與CD所成的角(或其補角).又因為EG=EF=FG,所以∠FEG=60°,即AB與CD所成角的大小為60°.答案:C7.如圖,在多面體ACBDE中,BD∥AE,且BD=2,AE=1,F在CD上,要使AC∥平面EFB,則DFFC的值為(A.3 B.2 C.1 D.1解析:連接AD交BE于點O,連接OF,因為AC∥平面EFB,平面ACD∩平面EFB=OF,所以AC∥OF.所以ODOA又因為BD∥AE,所以△EOA∽△BOD,所以ODOA=DBEA=2.故答案:B8.在三棱錐PABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC.則下列說法正確的是()A.平面PAC⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB解析:因為PA=PB=PC,所以點P在底面的射影是底面△ABC的外心.又因為∠ABC=90°,所以射影O為AC的中點.則PO⊥平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.答案:A9.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體,四邊形EFGH為截面,長方形ABCD為底面,則四邊形EFGH的形狀為()A.梯形B.平行四邊形C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定解析:因為平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.答案:B10.若m,n為兩條不重合的直線,α,β為兩個不重合的平面,則下列命題中的真命題的個數(shù)是()①若m,n都平行于平面α,則m,n一定不是相交直線;②若m,n都垂直于平面α,則m,n一定是平行直線;③已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若m⊥α,則n⊥β;④若m,n在平面α內的射影互相垂直,則m,n互相垂直.A.1 B.2 C.3 D.4解析:①中,m,n可能平行或相交或異面,所以①為假命題;②是直線與平面垂直的性質定理,所以②為真命題;③中,n可以平行于β,也可以在β內,所以③為假命題;④中,m,n也可以不互相垂直,所以④為假命題.答案:A二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11.已知平面α∩平面β=l,點A,B∈α,點C∈平面β,且C?l,AB∩l=R.若過A,B,C三點的平面為平面γ,則β∩γ=.

解析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖,因為點C∈β,且點C∈γ,所以C∈β∩γ.因為點R∈AB,所以點R∈γ.又R∈β,所以R∈β∩γ,從而β∩γ=CR.答案:CR12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,則點P到對角線BD的距離為.

解析:過點A作AE⊥BD于點E.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AE=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.又因為ABCD為矩形,且AB=3,BC=4,所以AE=125所以PE=PA答案:1313.如圖,正方形ABEF和正方形ABCD有公共邊AB,∠EBC=60°,AB=CB=BE=a,則DE=.

解析:由已知∠EBC=60°,連接EC.因為BE=BC=a,所以EC=a,又可證CD⊥平面EBC,所以CD⊥EC.因為CD=a,所以DE=2a.答案:2a14.如圖,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,則異面直線PB與AC所成角的正切值等于.

解析:不妨將幾何體放在如圖所示的正方體中,則PB與AC所成的角等于PB與PQ所成的角.設正方體的棱長為a,連接BQ,則在△BPQ中,PQ=a,BQ=2a,所以tan∠BPQ=2.答案:215.如圖是四棱錐的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點,在此幾何體中,給出下面四個結論:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.其中正確的有.(只填序號)

解析:把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示,則EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD.由于平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱錐的四個側面,則它們兩兩相交.因為AB∥CD,所以AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD.答案:①②③三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16.(8分)如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=23CD.試問在PC上能否找到一點E,使得BE∥平面PAD?若能,請確定點E的位置,并給出證明;若不能,請說明理由解:在PC上能找到點E,且滿足CEPE=12,可使BE證明如下:延長DA和CB交于點F,連接PF.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=23CD所以ABCD所以BCBF又CEPE所以在△PFC中,CEPE所以BE∥PF.而BE?平面PAD,PF?平面PAD,所以BE∥平面PAD.17.(8分)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因為DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因為A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因為B1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.18.(9分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證:(1)直線BC1∥平面EFPQ;(2)直線AC1⊥平面PQMN.證明(1)連接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方體,知AD1∥BC1,因為F,P分別是AD,DD1的中點,所以FP∥AD1.從而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,故直線BC1∥平面EFPQ.(2)如圖,連接AC,BD,則AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1?平面ACC1,所以BD⊥AC1.因為M,N分別是A1B1,A1D1的中點,所以MN∥BD,從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直線AC1⊥平面PQMN.19.(10分)如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過點A作AF⊥SB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.求證:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.證明(1)因為AS=AB,AF⊥SB,垂足為F,所以F是SB的中點.又因為E是SA的中點,所以EF∥AB.因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因為平面SAB⊥平面SBC,且交線為SB,又AF?平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因為BC?平面SBC,所以AF⊥BC.又因為AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因為SA?平面SAB,所以BC⊥SA.20.(10分)如圖,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜邊AB=4,Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到,且平面AOB⊥平面AOC.動點D在斜邊AB上.(1)求證:平面COD⊥平面AOB;(2)當D為AB的中點時