江蘇省蘇州市星海中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（）A． B． C． D．2．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則的范圍為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若則（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)6．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對(duì)任意都有零點(diǎn)；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．8．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或810．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．11．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．12．已知集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4），則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)____．14．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則滿足的正整數(shù)的值為_(kāi)_____.16．已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）若數(shù)列滿足：對(duì)于任意，均為數(shù)列中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和，，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”？說(shuō)明理由；（2）若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，，且對(duì)于任意，均有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求的取值范圍，并求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)為曲線上位于第一，二象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時(shí)四邊形的面積.20．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，問(wèn)與面積之差是否為定值？說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.22．（10分）已知，且．（1）請(qǐng)給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時(shí)，，故不必要.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.3、C【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱錐，并且平面SAC平面ABC，，過(guò)S作，連接BD，，再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示：由三視圖得：該幾何體是一個(gè)三棱錐，且平面SAC平面ABC，，過(guò)S作，連接BD，則，所以，，，，該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，若值域?yàn)椋灾恍?，?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).5、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增，結(jié)合與圖象，判斷出的大小關(guān)系，由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；在同一坐標(biāo)系中作與圖象，，可得，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6、A【解析】

先分別判斷每一個(gè)命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當(dāng)直線和直線互相垂直時(shí)，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見(jiàn)考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.8、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導(dǎo)公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進(jìn)而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題10、D【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【詳解】.故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,解得,即．又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，又故切線方程為，整理為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于容易題.15、6【解析】

已知，利用，求出通項(xiàng)，然后即可求解【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，故數(shù)列是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列，∴.又，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立，設(shè)，求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對(duì)于任意恒成立，即，又因?yàn)?，，?duì)任意恒成立，設(shè)，其中，由不等式，可得：，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，，則，即：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）不是，見(jiàn)解析（2）（3）【解析】

（1）利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步驗(yàn)證時(shí)，是否為數(shù)列中的項(xiàng)，即可得答案；（2）由題意得，再對(duì)公差進(jìn)行分類(lèi)討論，即可得答案；（3）由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，再根據(jù)不等式得到公差的值，即可得答案；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，又，所以．所以當(dāng)時(shí)，，而，所以時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)，故數(shù)列不是為“數(shù)列”（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以．因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”所以任意，存在，使得，即有．①若，則只需，使得，從而得是數(shù)列中的項(xiàng)．②若，則．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不為正整數(shù)，所以不符合題意．綜上，．（3）由題意，所以，又因?yàn)?，且?shù)列為“數(shù)列”，所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列的公差為，則有，由，得，整理得，①．②若，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，與①式對(duì)應(yīng)任意恒成立相矛盾，因此．同樣根據(jù)②式可得，所以．又，所以．經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，①②兩式對(duì)應(yīng)任意恒成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義題、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，難度較大.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）的取值范圍是；對(duì)應(yīng)的的值為.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，利用導(dǎo)函數(shù)，可得的范圍，再表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍，從而可求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值．【詳解】（1）函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域：，當(dāng)時(shí)，，所以：，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（2）由條件得：，，由條件得有兩根：，，滿足，△，可得：或；由，可得：．，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，所以：，；，可得：，，，則：，所以：；所以：，令，，，則，因?yàn)椋簳r(shí)，，所以：在，上是單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?），，（1），所以，；即的取值范圍是：，；，所以有，則，；所以當(dāng)取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值為；【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于難題．19、（1）；（2）面積的最小值為；四邊形的面積為【解析】

（1）將曲線消去參數(shù)即可得到的普通方程，將，代入曲線的極坐標(biāo)方程即可；（2）由（1）得曲線的極坐標(biāo)方程，設(shè)，，，利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根據(jù)題意知，進(jìn)而可得四邊形的面積.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)得曲線的極坐標(biāo)方程為，即，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）依題意得的極坐標(biāo)方程為設(shè)，，，則，，故，當(dāng)且僅當(dāng)（即）時(shí)取“=”，故，即面積的最小值為.此時(shí)，故所求四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）是定值，詳見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率，則有求解.（2）設(shè)，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，再根據(jù)求解.【詳解】（1）依題意得，解得，則橢圓的方程.（2）設(shè)，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

（1）求導(dǎo).根據(jù)單調(diào)，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個(gè)根，不妨設(shè)，令.根據(jù)，確定，將轉(zhuǎn)化為.令，用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?因?yàn)閱握{(diào)，所以對(duì)恒成立，所以，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；（2）由（1）知，是的兩個(gè)根.從而，，不妨