天津市濱海新區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.直線>=底+5的傾斜角為（）

、兀

A.—B.-

63

2兀-5兀

C.—D.—

36

2.拋物線V=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

c)

A.(1,0)B.(0,1)D-

3.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，若4=2,%=32,則%的值為（)

A.8B.±8C.16D.±16

4.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,an+1=2an+n,則“3=()

A.3B.7C.8D.9

5.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸。,-2,4）關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是（）

A.（—1,2,4）B.（1,2,4）C.（1,-2,T）D.（-1,-2,4）

6.《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差

數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（）

A."升B."升C.變升D,里升

666336

7.已知正方體ABC。-A4GA的棱長(zhǎng)等于。，則的值為（）

A.a2B.2a2C.3a2D.4a2

8.已知三棱錐0-42C中，點(diǎn)M、N分別為A8、0C的中點(diǎn)，且OA="，OB=b，OC=c，

則MN=（）

o

/\

A>C

M

B

A.—^b+c—ciB.5(Q+Z?+C

C.-b+cD-1c-a-b

9.若雙曲線*捺=1伍＞0*＞0）的漸近線方程為〉=±*，且過點(diǎn)",3）,則雙

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

R//

A.D.------------------=i

6886

D丁-2-1

C.

3443

10.已知圓。1：/+,2一2%_3=0和圓。2：丁+產(chǎn)―2＞一1=0交于A,5兩點(diǎn)，則下

列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①兩圓的圓心距|。。2卜2；

②直線A3的方程為x—y+l=。；

③|AB\=y/2；

④圓。1上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為2+0.

A.1B.2

C.3D.4

2：〉'：為詞數(shù)'則數(shù)列｛""｝的前9項(xiàng)和為

（）

A.35B.48C.50D.51

12.已知雙曲線C：￡-5=1（。＞°，"°）的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分

ab

別在雙曲線的左、右兩支上，以AB為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F,3BF=FC,且點(diǎn)C

在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

AVwRVior75c26

3223

二、填空題

13.過點(diǎn)尸（2,1）與直線2x-y+1=0平行的直線的方程是.

22

14.過橢圓二+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)片的弦A3與另一個(gè)焦點(diǎn)尸?圍成的月的周長(zhǎng)

42一

是.

15.準(zhǔn)線方程為尤=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

16.過點(diǎn)M(l,6)作圓O:f+;/=4的切線方程是.

17.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的

對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線必過拋物線

的焦點(diǎn).已知拋物線V=16x的焦點(diǎn)為凡一條平行于無軸的光線從點(diǎn)M(4,4)射出，經(jīng)

過拋物線上的點(diǎn)A反射后，到達(dá)拋物線上的點(diǎn)8,則|"|=.

18.已知公差不為。的等差數(shù)列｛%｝中，4=1。，且。2，%，生成等比數(shù)列，則當(dāng)〃=

時(shí)，S“取最大值，S”的最大值為.

19.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體，A8C。-AgGA中，E為線段44的中點(diǎn)，則直線

DDX與平面AEQ所成角的正弦值為;點(diǎn)B到直線ACt的距離為.

20.如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(簡(jiǎn)稱/CME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是

由圖乙的一連串直角三角形演化而成

的.=A4=4A3=A3A4=4A=AA=AA7=4A==2,A1,4,4…為直角

頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為｛q｝,??=；令

b.=-S,為數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和，貝|5儂=.

圖甲圖乙

三、解答題

21.已知。圓心在直線y=x+2上，且過點(diǎn)4(1,0)、8(2,1).

(1)求。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知過點(diǎn)(3,1)的直線/被所截得的弦長(zhǎng)為4,求直線/的方程.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

22.如圖，A3CD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC。，AF//DE,S.DE=3AF=3.

(1)求證：BF〃平面。EC;

(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值;

⑶求點(diǎn)D到平面BEF的距離.

23.設(shè)橢圓￡+《=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為R已知橢圓的離心率W,

a2b12

M=2.

⑴求橢圓方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A且斜率為左的直線/與橢圓交于點(diǎn)3(B異于點(diǎn)A),與直線y=T交于點(diǎn)M,

點(diǎn)B關(guān)于，軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,直線ME與>軸交于點(diǎn)N,若的面積為藍(lán)，求直

線/的方程.

24.已知等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S“，公差I(lǐng)HO,且$3=15,%,%,小成等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

(i)求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和雪;

(ii)若不等式九十-3+2/40對(duì)一切〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)力的最大值.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)直線斜率的定義即可求解.

【詳解】由題意知，直線的斜率為％=6，

設(shè)直線的傾斜角為兀），又左=tana,

所以tan（z=石，得c=

故選：B

2.D

【解析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（o,究）即可求解.

【詳解】由r=2y可知拋物線焦點(diǎn)在y軸上，且p=l,所以§=

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為：

故選：D

3.A

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，設(shè)｛凡｝的公比為q,

5

貝|%，4=2,a6=ax-q=32,

兩式相除可得/=16,所以/=4,

所以〃4=〃6」=32+4=8,

q

故選：A.

4.C

【分析】直接把〃=1和〃=2代入遞推關(guān)系式求解即可.

【詳解】解：數(shù)列｛%｝滿足%=1,an+l=2an+nf

/.%—2q+1=3,

%=2%+2=8,

故選：C.

5.B

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的概念求解.

【詳解】點(diǎn)P0,-2,4）關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是（1,2,4）.

故選:B.

6.A

【分析】設(shè)此等差數(shù)列為{。“},利用方程思想求出％和d,再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

【詳解】根據(jù)題意得該竹子自上而下各節(jié)的容積形成等差數(shù)列!??）,

設(shè)其首項(xiàng)為％,公差為d,

o1+a2+o3+a4=3

由題意可得

%+/+%=4

13

a,=——

4〃i+6d=3122

所以，解得

3%+2U=4d=L

66

匚匚?-13/767

所以。5=4+46?=二+4'/=募

22oooo

即第5節(jié)竹子的容積為三升.

故選：A.

7.B

【分析】以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出A,B,G點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量坐

UUU

標(biāo)運(yùn)算得到AG和BG，直接利用空間向量數(shù)量積公式即可得出結(jié)果.

【詳解】以為。原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（a,o,o）,B（a,a,o）,Q（0,a,a）,

2

所以ACj-BC1=(-a,a,ci)■(-a,0,d)=2a.

故選：B.

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.

【詳解】如圖所示，連接OM,^^MN=ON-OM=-OC--(OA+OB)

22

--c-—(a+b)--(c-a-b).

222

9.C

【分析】由雙曲線漸近線方程可得°=也匕,將(20,3)代入雙曲線方程可求得由此

2

可得結(jié)果.

【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：y=±：*,：.巴=昱,即

bb22

則雙曲線方程可化為：某-)=1,由雙曲線過點(diǎn)(2后,3),

，患一5=1，解得：〃=4,，1=3,.?.雙曲線方程為：￡_^=1.

故選：C.

10.B

【分析】求出圓的圓心與半徑，求解圓心距判斷①；求出相交弦數(shù)值的直線方程判斷②；求

解弦長(zhǎng)判斷③；利用點(diǎn)到直線的距離求解判斷④即可.

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】圓。i：/+y2-2%—3=。的圓心(1,0),半徑為：2；圓。2：—+V—2y—1=。的圓心

(0,1),半徑為血；

對(duì)于①，兩圓的圓心距?a。?i=^/m=&,所以①不正確；

對(duì)于②，兩圓相交，兩個(gè)圓的方程作差可得-2%+2y-2=。，即尤7+1=0,所以②正確;

對(duì)于③，圓。到直線A8的距離為：土框,所以|=2戶工=20，所以③不正確；

對(duì)于④，圓J上的點(diǎn)到直線A2的最大距離為：今+4=2+夜，所以④正確；

故選：B.

11.A

【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的各項(xiàng)，進(jìn)一步求出數(shù)列的和.

【詳解】解：數(shù)列&｝滿足4=。，%=1，aP+

[2XQ〃_2，〃為偶數(shù)

當(dāng)〃=3時(shí)，=2+0=2,

當(dāng)〃=4時(shí)，=2x1=2,

當(dāng)〃=5時(shí)，?5=2+2=4,

當(dāng)幾=6時(shí)，％=2x2=4,

當(dāng)〃=7時(shí)，=2+4=6,

當(dāng)幾=8時(shí)，=2x4=8,

當(dāng)打=9時(shí).%=2+6=8,

月^以Sg=4+/+...+%=1+2+2+4+4+6+8+8=35.

故選：A.

12.B

【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸'，連接AT,BF,CF,由題意推得四邊形尸為矩

形，可設(shè)貝！||R|=3，,|M'|=2a+￡,|C「'|=3，+2a,分別在直角三角形CB尸'和直角

三角形跳下，中，運(yùn)用勾股定理，結(jié)合離心率公式可得所求值.

【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸'，連接AF,BF,CF,

由以A8為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F可得AF±BF,由雙曲線的對(duì)稱性得四邊形AFBF為矩

形，

rf

可設(shè)|BF|=I,則|FC|=3MBF\=2a+t,\CF\=3t+2af

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

在直角三角形CBF'中，可得IBC『+1BF,|2=|CF,|2,

即為(旬2+(2a+1?=(3t+2a3,

解得"a,

又在直角三角形BFF'中，|8尸『+18尸'『=|FF'\2,

即為〃+(2a+1)2=4c°,

即為/+9/=10/=4c2,

即有e，=?,

a2

【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出所求直線方程，利用待定系數(shù)法求解即得.

【詳解】設(shè)與直線2x-y+l=0平行的直線的方程為2x-y+c=0(cwl),

而點(diǎn)P(2,l)在直線2x—y+c=°上，于是得2x2-l+c=0,解得c=—3,

所以所求的直線的方程為2x-y-3=0.

故答案為：2x-y-3=0

14.8

【分析】求得。=2,利用橢圓的定義可得出居的周長(zhǎng).

22

【詳解】在橢圓上+匕=1中，。=2,

42

由題意可知，瑞的周長(zhǎng)為|A￡|+|A周+忸用+忸用=4a=8.

故答案為：8.

15.y1=-8尤

【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=2,說明拋物線開口向左，且「=2x2=4,所以拋物線的

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

標(biāo)準(zhǔn)方程是yJ_8x.

16.x+6y-4=0

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)”(1,百)在圓O：/+y2=4上，所以切點(diǎn)為"(1,g)，切線斜率

k()M3

所以由點(diǎn)斜式寫方程得＞+若即x+gy-4=0

故答案為x+gy-4=0

17.25

【分析】由題意求出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A3過焦點(diǎn)得直線方程，聯(lián)立拋物線方程求出3點(diǎn)橫坐

標(biāo)，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】將，=4代入V=i6x,得尤=1,即4(1,4),

由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線A3經(jīng)過焦點(diǎn)廠(4,0),

所以直線AB的斜率為==直線AB的方程為y=-^(x-4),

1—43J

代入/=16x并消去y得尤2-17X+16=0,解得4=1，XB=16,

故|=+p—25.

故答案為：25

18.5或630

【分析】設(shè)數(shù)列｛?！埃墓顬閐,結(jié)合等比數(shù)列的定義列出方程，求出d,再由S”的性質(zhì)即

可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,因?yàn)榈?如，。5成等比數(shù)列，所以%

即(4+31)2=(q+d)?(aj+41),又%=io,dw0,所以』=一2,

n(n-l)9*

Sn=naxT■—--d=-n+1In,nGN,

因?yàn)閥=—/+llx,圖象開口向下，對(duì)稱軸為尤=￡

所以當(dāng)九=5或〃=6時(shí)，S"取最大值，S0的最大值為30.

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

故答案為：5或6；30.

娓A/6

19.~6~~

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解.

【詳解】以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA，2G，所在直線分別為x軸、y軸、z,建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系,

11

AE=（O,5，T）,EC1=（-I,-,O）,

設(shè)平面AEG的法向量為〃=（x，y，z）,

37-2=0

n-AE=02%=2

則,???,

人“。r+L=0y=2z

12-

取z=l,貝!Jx=l,y=2,.,.力=(1,2,1)是平面AEG的一個(gè)法向量?

又=(0,0,1),

設(shè)與平面AEC所成角為，,則sin0=

-AC1#)

取u〃=A3=(0,l,0),u=-,

?ACq|5

貝Ua2=1,a-u=9

3

故點(diǎn)B到直線AC1的距離為&2_（〃.〃）2

故答案為:警

20.a“=2G+2jn+1+212

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】由題意可得。4的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng)。”及進(jìn)而可得s.，即可得出答案.

【詳解】由題意得=44=AA=AA=AA=AA=A4=AA=-=2,

則04=2忘，2=26，…，0Ati=2赤,

%=+。4+]+4,4什|=2y[n+2J〃+1+2,

：.bn=-「]I-------=VM+1-6,

an-24n+4n+l

*''刖，項(xiàng)和Sn=4+Zz,++b“=\/2-1+A/3—\/2++J—+1-A/H=J”+1—11

故兒8=a68+1-1=12,

故答案為:a?=2冊(cè)+2j〃+l+2,12

21.(1)x2+()?-2)2=5；(2)y=l或3x+4y-13=0.

【分析】(1)由A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的垂直平分線的方程與直線、=尤+2上聯(lián)立可

得圓心坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線的方程，求出圓心到直線的距離"，再由垂徑定理結(jié)合勾股定理列方程求出％的

值，即可得直線/的方程.

【詳解】由點(diǎn)A。,。)、*2,1)可得A8中點(diǎn)坐標(biāo)為

所以直線A3的垂直平分線的斜率為-1,

可得直線A3的垂直平分線的方程為：y-^=-[x-^]ip^+y-2=o,

由—二2可得：1=2,所以圓心為0(°，2)，

r=|OA|=Op+(0-2)2=書,

所以。的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y+(y_2)2=5,

(2)設(shè)直線的方程為y-l=Z(x-3)即辰-y-3k+l=0,

圓心。(0,2)到直線的距離J,

\-l-3k\4可得叱4：=5-2?=1，

1?7,

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

3

即442+3左=0,角畢得：左=0或左=—二，

4

所以直線/的方程為y—1=0或y—l=—((%—3),

即y=1或3x+4y—13=°

22.(1)證明見詳解；

⑵而；

(3)畢

【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線面位置關(guān)系，計(jì)算面面角及點(diǎn)面

距離即可.

根據(jù)題意可以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(4,4,0),P(4,0,1),

所以跖=（O,T,l）,

易知平面DEC的一個(gè)法向量為￡>A=(4,0,0),

顯然=又平面DEC,

所以3/〃平面。EC；

(2)由上坐標(biāo)系可知E(0,0,3),C(0,4,0),則3￡=(-4,-4,3),3。=(<0,0),

設(shè)平面BEC與平面BEF的一個(gè)法向量分別為m=[a,b,c),n=(x,y,z),

m-BE=0J4〃+4b-3c=0n-BE=0j4x+4y-3z=0

m-BC=014a=0n-BF=0[4y-z=0

取6=3,y=l,貝ija=0,c=4,x=2,z=4,即沅=（0,3,4）,拓=（2,1,4）,

m-n1919萬(wàn)

設(shè)平面BEC與平面BEF的夾角為0,則cos6=

5國(guó)一105

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

(3)由(2)得平面的一個(gè)法向量為“=(2,1,4),

屏12401

又DE=(0,0,3),所以點(diǎn)。到平面期卯的距離d=

\n\一回一7

丫2

23.(l)y+/=l

(2)y=-L+1或y=-x+l或y=L+l或y=%+l

88

【分析】(1)根據(jù)已知條件，求出。，6的值確定橢圓方程.

(_Xk_區(qū)”2、

(2)根據(jù)已知條件確定先確定8點(diǎn)坐標(biāo)B丁+1,根據(jù)對(duì)稱確定

(1+4公1+4K)

(xk-RZ-2、(2、

E--T,--r+1,確定/坐標(biāo)，求出％ME解出N坐標(biāo)N0,蜀，求出

11+4左?l+4k')I8r+1)

=--菰為+1：,求出A到直線ME的距離d,進(jìn)而確定三角形面積，得

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

丫2

〃=/_02=1,所以橢圓方程為土+y2=l.

4-

(2)根據(jù)已知條件，直線/的斜率一定存在，若左=0,則直線方程為y=i,

與直線y=-i無交點(diǎn)，所以左片0；因?yàn)?(0,1),所以直線方程為y=^+l,

X22_12

+y即一（依『,:+/卜2一2履=0,

聯(lián)立直線與橢圓方程有：T=1,3=1+1

y=kx+1

-8k

XA+XB=,.,!＞又因?yàn)橐?°，所以/=

1十^TK1+4公

代入直線、=辰+1,得

-8k2Tk-Sk2

yD=7"+1,所以B+1,點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為:

Bl+4k21+4/'1+4/

（8k一8/y=kx+1

E+1;聯(lián)立,有所以直線ME的斜率為

1+4左2'1+4左7y=-l

-8k2

+1+1b+1

1+4/，設(shè)N(O,b),則有“MN

^kME,整理有：k=2

8k2ME8左？+1

+—k

1+44②k

kb+1

即左］=（8^+1）?0+1）,解得6=2

因?yàn)長(zhǎng)，Sk2+1~2

K8r+1

k

22+1］，整理有:

所以NO,T,所以|MN|=

8^+18尸+1

4

\MN\=k2

+(8/+1)2;因?yàn)镸E所在直線方程為：y=---------0--------------------------------9-----------

Sk2+18k2+1

k2

化為一般式—?—%—y—n—-1=0,設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為"，則

842+1/8左2+1

22

-1+-1-2

8人2+1

8V+1d=------

d=L，整理的1,所以AAW的面積為:

k1

+1護(hù)可您

8嚴(yán)+1

2

18人2+116

二JMN卜g.

Q、AMN

219，

----T+

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

2

-22一2點(diǎn)爐，即128左2

8P+116,整理有-1

8P+198女2+19

9

11

一1=整理有：8二+9左+1=0,解得上=—1或左=-g;

8V+19o

1“1

或-1=_整理有：8公一9%+1=0,解得左=1或左=g；

8^+