三角恒等變換與解三角形綜合問題

「思路引導(dǎo)Q

1.三角恒等變換與解三角形的綜合問題是高考的熱門考點(diǎn)，涉及的公式多、性質(zhì)繁，知識(shí)點(diǎn)

較為綜合，主要涉及三角恒等變換、解三角形及三角函數(shù)與解三角形的開放、探究問題。

2.三角恒等變換與解三角形綜合問題的答題模板

第一步利用正弦定理、余弦定理對(duì)條件式進(jìn)行邊角互化

第二步由三角方程或條件式求角

第三步利用條件式或正、余弦定理構(gòu)建方程求邊長(zhǎng)

第四步檢驗(yàn)易錯(cuò)易混、規(guī)范解題步驟得出結(jié)論

3.常用的幾個(gè)二級(jí)結(jié)論

(1)降塞擴(kuò)角公式

（2）升幕縮角公式

l+cos2σ=2cos12a,

<

I-COS2α=2sin%.

（3）正切恒等式IanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC

若團(tuán)為斜三角形，則有tanA+tan3+tanC=tanAtan8tanC（正切恒等式）.

（4）射影定理

在iABC中，CoSC+ccos8,h=αcosC+CeOSA,c=4cos8+Z?CoSA.

【典例】(2022?新高考全國I)記AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知筌J

1-rsιnA

1÷cos2B,

(1)若C=尊求B；［切入點(diǎn)：二倍角公式化簡(jiǎn)J

(2)求一^的最小值.［關(guān)鍵點(diǎn)：找到角B與角C,A的關(guān)系I

(1)二倍角公式化簡(jiǎn)一去分母、兩角和與差公式化簡(jiǎn)~求出SinB.

甲%

分桁(2)由角B,C正余弦關(guān)系一角B與角C,4關(guān)系一式孚化成正弦~用角B表示角A,C化

簡(jiǎn)一角8的關(guān)系式-*基本不等式.

答題得分模板

4,、E“cosAsin2B2sinBcosBsinβΦ八G-一∕~"4八"

解⑴因?yàn)闀r(shí)=-=嬴/口R分L①處一倍角公式化簡(jiǎn)

即SinB=COSACos8-sinAsin8=cos(A+B)=-COSC=Jj［3分］＜②處兩角和與差公式化簡(jiǎn)

而OV8＜手~,所以8=春~.［4分］

(2)由(1)知，sinB=-CosC＞0t

所以專VCVF,OvBv少，

而$in8=_cosC=sin(C-專產(chǎn)［6分］?——............③處找角B.C的正弦關(guān)系

所以C=γ+B,即有A=尹2B.@［7分卜......-…….............④用角B表示角C,A

所以呼!=sin"MB"8分］…—⑤處正弦定值化邊為角正弦

cisin"C

_cos228+I-COS2^^

⑥處將角C?A代入化角

Cos12B

_(2COS2BT)2+I-COS28

Cos2B

2

2

=4cosB+cθ^-5^4√2-5?[10^]^⑦處基本不等式求最值

當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=喙時(shí)取等號(hào)，

所以gJF的最小值為4月-5.[12分]

C2

三角恒等變換與解三角形綜合問題的一般步驟

：正確分析題意，提煉相關(guān)等式，利用等式的邊］

轉(zhuǎn)化

°【然不”處照例婦電逑再照J(rèn)

用定理、公：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、輔助

式、性質(zhì)：角公式等進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化

0：利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理等'：

得結(jié)論T知識(shí)求函數(shù)解析式、角、三角函數(shù)值，或討論：

:三角函數(shù)的基本性質(zhì)等;

模擬訓(xùn)練

1.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知“，b,C分別為_ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)

邊，c=?/?ɑsinC-ccosA.

⑴求A；

（2）若α=2,ASC的面積為名,求匕，c.

【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，化簡(jiǎn)整理可求得Sin（4-

的值，進(jìn)而求得A：

（2）利用三角形面積公式求得兒的值進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得從+c?的值，最后聯(lián)立方程求

得人和J

【詳解】（1）解：因?yàn)閏=60sinC-CCOSA,

由上弦:定理工得:SinC=GsinΛsinC-sinCcosA，

s?nA=si3nB=—sin?C;

?*?y∕3sinA-cosA=1,

A∈(0,π),

o?oo√

π

:.A4=—,

3

,

(2)解：Sιwr=-bcsinA=-?^-bc=?∕3>..he=4,

ΛOV222V

22

由余弦定理得：CoSA="--=?-,.?h+c-4=4f

2bc2

聯(lián)立U?解得IQ?.

2.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是α,b,c,且

（/?—c）（Sin3-sinC）=asinA—?sinC.

⑴求角A的大??；

（2）求Sin8+sinC的取值范圍.

【分析】（1）由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.

（2）由（1）可知，A=p則$皿8+0皿0=氐抽（8+.）=氐皿（4+專），根據(jù)正弦型三

角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可.

【詳解】(1)由正弦定理可得S-C)S-C)=α?α-乩，^h2+c2-a2=bc,

由余弦定理的變形得CoSA=婦學(xué)也==

又Ae(0,π),所以A=M

(2)由A+B+C=冗得C=5-8,且Be(O,年

所以5皿3+5也。=5由6+5血“3+1)=55抽3+~^-0)$3=6$足13+弓)，

因?yàn)椤蔥θ,5π],從而8+已€(￡‘不")，

所以Sin(B+?^)e(g,l,從而sinB+sinCe(^,√5.

即SinB+sinC的取值范圍為[曰,百.

3.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))在①GC=GaCoSB+AinA,②

(?+?)(sinB-sinΛ)=c(sinS-sinC),(3)a2-b2="ccos8-g稅這三個(gè)條件中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

在銳角.ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,Z>,c,且______.

⑴求A；

⑵若α=6,IBD=DC，求線段Ao長(zhǎng)的最大值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【分析】(1)先選條件，并利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化，得到角A的三角函數(shù)

值，再結(jié)合角A的取值范圍即可求得角A的大小；

(2)先利用余弦定理建立關(guān)于b,c的方程，再利用向量的線性運(yùn)算將280=。C轉(zhuǎn)化為AD

與AB，AC的關(guān)系，兩邊同時(shí)平方即可將從爐用6,c表示，最后利用4ABC是銳角三角形及

換元法,利用基本不等式求AO長(zhǎng)的最大值即可.

【詳解】(1)方案一：選條件①.

由正弦定理得6sinC=6sin(A+8)=6sinAcosB+sinSsinA,

l?l?/?cosAsinB=sinBsinA，

0sinB>O,(3sinA=geosA，即tanA=G,

回0<A<%，0A=-.

23

方案二：選條件②.

由正弦定理得(6+α)(b-α)=c(b-c),即b'c?—"=兒,

C,h2+c2-a21

團(tuán)cosA=-------------=—,

2bc2

^?0<A<-1團(tuán)A=X.

23

方案三：選條件③.

由余弦定理得/-〃=比.幺*二一,歷,

2ac2

^b1+c1—a1=bcy

0cosA=

2bc2

0θ<Λ<?,13A=三.

23

(2)由a?=〃+/-2bccosA,得36=62+c?-be,

國2BD=DC,^2AD-2AB=AC-ADf即3AO=2A3+AC,

兩邊同時(shí)平方得944=4AB2+AC2+4Aβ-AC=4c2+b2+2bc>

36=Z>2+c2-be

-..21/.->2/->；?b~+4c~+2bc

0r1ADλ=-?b~+4λc+2?c)=4λ×-；--------.

9、7?2+c2-?c

八2

bm,.n24(z+2r+4)12(r+l)

令一=r,則f>0,AD=------------^=4+--——->

ct2-t+?t2-t+?

Δ/?=4-1_________=4-1________

令，+1=〃，則〃>1,〃2一3〃+3w+3_3

er+b1>c2h2+c1-hc+h2>C2

2b2>bc

在銳角ABC中,tz2+c2>Z?2=><b2+c2-he+c2>?2=><

2C2>be

?2+c2>a2h2+c2>b2+c2-he

IbCLb"3P

0—<一<2,團(tuán)〃=—H1∈—,3

2cc\2)

^AD2≤4+??-=16+8√3,

2√3-3

0∣AD∣≤2+2^,當(dāng)且僅當(dāng)〃=出時(shí)取等號(hào),

回線段AD長(zhǎng)的最大值為2+26.

4.（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考一模）已知.,4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J若

?cos-------=CSinB.

2

⑴求角c；

（2）若c=√5,求BC邊上的高的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.

（2）由（1）可得B∈（0,］）,再利用三角形面積公式計(jì)算作答.

TT—C

【詳解】（I）在」ABC中，由正弦定理及A+B=%一C,得sin3coSF-=SinCSinB,

ΓΓΓπC

即有sinBsin-=2sinycosysinB,而A,B∈(0,?),即sinB≠0,sin—≠0,

f≡H2>2

因此COS?=，C_兀

22~2~3

所以c=g.

(2)令A(yù)BC邊BC上的高為/?,

由SABC=2'也=JacsinB.WA=?/?sinB.

由(I)知，β∈(O.y),即SinBe(O,也)，貝∣J〃=√5sinB€

所以BC邊上的高的取值范圍是（0,39

5.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形ABe中，a,b,C分別為角力，B,C的三邊，若

sin2A+6sin2β+3sin2C=6石SinASinBsinC

⑴求回C的大??；

（2）求過包的值.

3b

【分析】（1）根據(jù)正弦定理化角為邊，將/表示出來，再利用余弦定理化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角

函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可得出答案；

（2）直接利用（1）中的結(jié)論即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)閟in?A+6sin、B+3si∏2C=6gsinAsinBsinC,

所以/+6/+3C2=6y∣3absinC,

2

則/=26〃樂山?！??2,

3

V〃2力22+3〃-2GMSinC

乂cosC=%士—-=3-----------------------------號(hào)+條氐?

2ab2ab

所以GSinC+cosC=—+—,

3b2a

因?yàn)閷?dǎo)親2.92,當(dāng)且僅當(dāng)徐去即文3。時(shí)，取等號(hào),

√3sinC+cosC=2sinC+^≤2,當(dāng)且僅當(dāng)C+二='，即C=&時(shí)，取等號(hào),

k6√623

所以?sinC+CoSC=—+—=2,

3b2a

所以C=］；

(2)由(1)可得2。=38，

所以2包=JL

3h

6.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模)在①taManC-KtanA=l+√itanC;②

(2C-G￠,CoSB=JOcosA；③(α-6c)si∏Λ+csinC=ASin8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面問題中并作答.

問題：在-ABe中，角481所對(duì)的邊分別為“也0,且__________.

⑴求角B的大?。?/p>

⑵已知c=∕>+l,且角A有兩解，求。的范圍.

【分析】(1)若選①，由兩角和的正切公式化簡(jiǎn)即可求出求角B的大?。喝暨x②，利用正

弦定理統(tǒng)一為角的三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式即可求解；若選③，由余弦定理代入

化簡(jiǎn)即可得出答案.

(2)將c=%+l代入正弦定理可得SinC="?,要使角A有兩解，即1<sinC<l,解不等

2b2

式即可得出答案.

【詳解】(I)若選①：整理得1-tanAlanC=-后(tanA+tanC),因?yàn)锳+8+C=乃，

所以tanB=Tan(A+C)=—‘a(chǎn)n/+IanC=立,因?yàn)锽?0,萬)，所以8=2；

',l-tanΛtanC36

若選②：因?yàn)?2C-Ga)CoSB=√5?cOSA,

由正弦定理得(2SinC-6sinA)cosB=>∕3sinBcosA,

所以2sinCcos3=Gsin(A+3)=x∕5sinC,sinC>0,所以COSB=岑，因?yàn)锽e(0,萬),所以

B-W

若選③：由正弦定理整理得/+/-從=石"，所以"+C=

2ac2

即CoSB=半，因?yàn)?e((),萬)，所以B=菅：

(2)將c=b+l代入正弦定理二=三；，得工=空，所以SinC=券，

SinBSinCsιnπSinC2b

因?yàn)?=?，角A的解有兩個(gè)，所以角C的解也有兩個(gè)，所以!<sinC<l,

62

即一<——<1?又h>0,所以bVb+1v2b,解彳'

22b

7.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))在①CCoS3+S-2α)cosC=0,②Q+A=CCOS5+百CSin3,

③gcosC(αcosB+bcosA)=csinC這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解

答問題.

在一ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知.

⑴求角C的值；

⑵若_ABC的面積S=^∣(862-9C2),試判斷_ABC的形狀.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【分析】(1)方案-：選條選①，根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式得到

sin(B+C)-2sinΛcosC=0,再利用誘導(dǎo)公式和三角形內(nèi)角和定理即可求解；

方案二：選條選②，先利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和三角形內(nèi)角和定理得到

sin8cosC+sinB=GsinCsinB,再利用兩角和的正弦公式即可求解；

方案三：選條件③，利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式得出GCoSC=SinC，

然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論利用余弦定理和三角形面積可得b=3α,然后代入即可求解.

【詳解】(1)方案一：選條選①.

由ccosB÷(6-2tz)cosC=0,得SinCCOS8+sinBcosC-2sinAcosC=O,

sin(β+C)-2sinAcosC=O,即sinA-2sinAcosC=O.

0O<A<?,0sinA>0,團(tuán)CoSC=

2

TT

又O<C<π,團(tuán)C=一.

3

方案二：選條件②.

由a-?-b=CCosB+?/?esinB，WsinΛ+sinβ=sinCcosB+>∕3sinCsinB，

即sin(B÷C)+sinB=sinCcosB+?/?sinesinfi,

T是SinBcosC+cosBsinC+sinθ=sinCcosB+?∕3sinCsinB,

因此SinBCOSC+sin8=V5sinCsin8,團(tuán)5∈(0,∕τ),0sinB≠O,0?/?sinC-cosC=1?

即SinlC用4

團(tuán)人(0,兀),9題W),自CJ4,故Cg

方案三：選條件③.

由正弦定理，得?/?cosC(sinAcosB÷sinBcosA)=sin2C,

即>∕3cosCsin(A+B)=sin2C,團(tuán)GSinCCOSC=sin2C,

又O<C<τr,[ZlsinCwO,團(tuán)6cosC=sinC,即tanC=G，團(tuán)。=1.

TT

(2)在_ABC中，C=-,由余弦定理得H=/+"-2次7cosC=/+6?-",

又S=-yy(8/72-9C2)=；absinC,一9(/+〃？_〃〃)]=ab,

整理得9a2—6ab+b2=O?得匕=3a,此時(shí)C=y∣a2+h2—ah=?∕la，

a+cb

0cosB='~-^=,⑦8為鈍角，故JIBC是鈍角三角形.

Iac14

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷三角形形狀的方法：（1）角化邊，通過正、余弦定理化角為邊，通

過因式分解、配方等方法得出邊與邊之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷；（2）邊化角，通過正、余弦定

理化邊為角，利用三角恒等變換、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式等推出角與角之間的關(guān)系,

進(jìn)行判斷.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)、提取公因式，否則會(huì)有遺

漏一種情況的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.

8.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）己知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,?=√3,

“<c,且sin（§-A）OS（K+=w.

⑴求A的大?。?/p>

（2）若QSinA+csinC=4百SinB,求ABC的面積.

【分析】（1）已知等式利用誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)，可求A的大小；

（2）條件中的等式，利川正弦定理角化邊，再用余弦定理求得C邊，用面積公式計(jì)算面積.

cosI—F2AI÷1

兀AU)=1,

=COS2一+A

624

0COS∣^+2A?

2

.,7ΓTr_.77Γ....Tt2TTTt_4JT

因?yàn)镺VA<π,1?—<—÷2A<--,r所r以；+2A=:-或彳+2A=二-,

3333333

TrTrJrTr

解得A%或A0,因?yàn)?C,得A<5,0Λ=-.

(2)由(1)知，A=J,asinA+csinC=4√3sinB,由正弦定理，得/+c?=4麻=12,

6

由余弦定理,^a2=b2+c2-2bc-cosA,即12-c?=3+c?_2&.3,

2

整理，得2/—3°-9=(),由c>0得c=3,

所以S=^bcs?nA=y/3×3×^=^^~?

9.（2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）條件①4cos區(qū)=c+；。,

條件②SinA-SinC_sinB+sinC

ba+c

條件③V3?sin=asinβ.

請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答.

已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、6、c,且滿足,

⑴求A；

（2）若AO是/BAC的角平分線，且AO=I,求助+c的最小值.

【分析】（1）選①，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得出CoSA的值，結(jié)合角A的取

值范圍可得出角A的值；

選②，利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得出COSA的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出角A的值;

選③，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出Sinm的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出

角A的值；

（2）由已知SABC=S"o+SAe結(jié)合三角形的面積公式可得出1+1=1,將2?+c與：+■!■相

bcbc

乘，展開后利用基本不等式可求得%+c的最小值.

【詳解】（1）解：選①：因?yàn)棣羉os8=c+g/?,由正弦定理可得SinACoS8=sinC+gsin8,

即sinAcosB=sin(A+B)÷?sinB=sinAcosB+cosASinB+gsin3,

所以CoSASinB=——sinB,

2

1?JT

而3e（0,π）,.?.sin3wθ,故COSA=-5，因?yàn)锳e（O,π）,所以A=不；

選②：因?yàn)?C=Sin8+sinC,由正弦定理佇￡=*,

ba+