2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高二下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

試題

一、單選題

1.已知兩條直線∕∣：5x-2y+l=0和乙：“x+3y+2=0相互垂直，則α=（）

15C26r6

A.B.—C.—D.一

21555

【正確答案】D

【分析】利用兩條直線垂直的充要條件，建立方程，即可求出”的值.

【詳解】兩條直線《：5x-2y+1=0和&：辦+3y+2=0相互垂直，

貝∣]54-6=O,解得α=?∣.

故選：D

2.若點(diǎn)（2,4）在拋物線9=2外（0>0）上，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=-4B.X=-2C.Λ=-1D.y=-4

【正確答案】B

【分析】先將點(diǎn)代入拋物線得到拋物線的方程，即可得到準(zhǔn)線方程

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)（2,4）在拋物線〉2=20氏（0>0）上，

所以42=4p,解得P=4,故拋物線為∕=8x,

故其準(zhǔn)線方程為：x=-2

故選：B

92

3.橢圓C:二+二=1的離心率為（）

5030

A.叵B.—C.—D.

5255

【正確答案】A

【分析】先由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得4,c,再求得橢圓的離心率即可.

【詳解】因?yàn)闄E圓c：《+￡=i,

5030

所以/=50,Z?2=30,則c2=a1-b2=20,

又α>0,c>0,所以4=5播，c=2√5,

所以楠圓的離心率為e=￡=楚=巫.

a5√25

故選：A.

4.已知圓5產(chǎn)+丫2-4》-6)，+9=0與圓&：(》+1)2+&+1)2=9,則圓Cl與圓&的位置關(guān)

系為()

A.相交B.外切C.外離D.內(nèi)含

【正確答案】B

【分析】確定兩圓的圓心和半徑，由圓心間的距離與半徑的關(guān)系即可得解.

【詳解】圓^：/+丁-?-6丫+9=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(>2)2+(>一3)2=4,圓心G(2,3),

半徑為4=2,

圓GM+ιy+(>+ι)2=9,圓心G(τ,τ),半徑為4=3,

22

∣C,C2∣=7(2+1)+(3+1)=5=rt+r2,圓CI與圓Cz的位置關(guān)系為外切，

故選：B

5.已知正方體ABS-ABlGA的棱長為3,公尸分別在。艮44上，且BE=2ED,A尸=2咫，

則IEFI=()

A.3B,2√2C.2√3D.4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件求得瓦尸的坐標(biāo)，再利用空間向量的模

的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】依題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則D(0,0,0),Λ(3,0,0),B(3,3,0),B1(3,3,3),

因?yàn)锽E=2ED,AF=2FB?,所以￡(1,1,0),尸(3,2,2),

所以M=(2,l,2),故同=14+1+4=3.

故選：A.

13

139

13927

13927...3"τ

現(xiàn)把數(shù)表按從上到下、從左到右的順序展開為數(shù)列{q,},則4oO=()

A.37B.38C.39D.310

【正確答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)表，先判斷第IOO個(gè)數(shù)字在第幾行的第幾個(gè)數(shù)，再代入通項(xiàng)，即可求解.

【詳解】第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，…，第〃行有,個(gè)數(shù)，

所有妁±I≤100中，〃的最大值是13,

2

前13行共有空業(yè)叫=91個(gè)數(shù)，第100個(gè)數(shù)字在第14行的第9個(gè)數(shù)，

2

根據(jù)通項(xiàng)3一可知，第9個(gè)數(shù)是3"=3',即?w=3、

故選：B

7.已知x+y=0,則&+y2_2x_2y+2+J(x-2『+y2的最小值為()

A.√5B.2√2C.√10D.2√5

【正確答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)「(蒼》)為直線乂+丫=0上的動點(diǎn)，題意可轉(zhuǎn)化成求P*,y)與(1,1)的距離和

P(χ,y)與(2,0)的距離之和的最小值，求出M(U)關(guān)于直線χ+y=0的對稱點(diǎn)故

IPM+∣∕w∣=IpMl+∣PN以MN∣=√iξ,即可求出答案

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(X,y)為直線χ+y=o上的動點(diǎn),

222122

由^x+y-2x-2y+2+λ∕(x-2)+√=y∣(x-↑)+(y-?)+λ∕(x-2)+/可看作P(x,y)與

(1,1)的距離和P(χ,y)與(2,0)的距離之和,

設(shè)點(diǎn)M(l,l),N(2,0),則點(diǎn)”(-1,-1)為點(diǎn)M(Ll)關(guān)于直線x+y=O的對稱點(diǎn)，

故IPM=IPM[,且IMNI="(2+1)2+(0+1)2=√10,

222

所以IPMI+1PNl=λ∕(χ-l)+(γ-l)+7(χ-2)+/=|尸”|+∣PN∣≥IMNl=√W,

當(dāng)且僅當(dāng)P,M',N三點(diǎn)共線時(shí)，取等號，

222

所以y∣x+y-2x-2y+2+yj(x-2↑+y的最小值為√W.

故選：C

8.己知｛%｝為等比數(shù)列，%+α8=-3,α6a7=-18,則生+即=()

A.3B.—9C.—D.-----

22

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出火，4,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列

的性質(zhì)即可求出外+町.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，所以％%=%?=T8,

CL=-6

又見+<?=-3,可解得2或

設(shè)等比數(shù)列｛〃.｝的公比為4,則

21

二；時(shí)年一”…

當(dāng)0=AYm^2^;

當(dāng)卜人時(shí),=^=-2,,，,a2+a?ι=?+??=-7+(^6)×(-2)=-y.

[%=-6%q.22

故選：C

二、多選題

22

9.已知雙曲線C:5-E=l(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月,工，離心率為2,P為C上一點(diǎn)，

a3

則()

A.雙曲線C的實(shí)軸長為2

B.雙曲線C的一條漸近線方程為y=Gr

C.?PFI?-?PF2?=2

D.雙曲線C的焦距為4

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)雙曲線的定義與方程，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】由雙曲線方程知"=√L離心率為e=￡=①士?=2,解得α=l,故=l,

aa3

實(shí)半軸長為1,實(shí)軸長為%=2,A正確；

因?yàn)榭汕蟮秒p曲線漸近線方程為y=±嗎，故一條漸近線方程為y=√5χ,B正確；

由于P可能在C的不同分支上，則有Il丹"-|P6Il=2,C錯(cuò)誤；

焦距為2c=2√α2+b1=4,D正確.

故選：ABD.

10.已知公差不為0的等差數(shù)列｛(｝的前”項(xiàng)和為S“，且4+3%=S6,則()

A.?7=0B.a2+a6=a^

C.S13=OD.Sh=Sli

【正確答案】AC

【分析】由勾+3。2=品，用基本量表示得q+64=0,然后對每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由題意有q+3%=號LX6,化簡整理得4+64=0,

所以為=O,選項(xiàng)A正確;

α2÷a6=2tz1+6√=-6J,∕=q+7d=d,由于dwθ,所以4+小/小，故選項(xiàng)B不正確;

二3=馮%X13=13%=°,故選項(xiàng)C正確；

S6="^X6=-21",Sg=M受χ8=2(W,由于d*0,所以臬力耳，故D不正確.

故選：AC

11.如圖，棱長為1的正方體ABCQ-AAG。中，E,尸分別為BBl的中點(diǎn)，則()

2

A.直線FG與底面AsC。所成的角為30°B.平面ABIE與底面ABC。夾角的余弦值為I

C.直線尸G與直線AE的距離為畫D.直線尸G與平面ABE的距離為:

【正確答案】BCD

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出線面角，面面角,

平行線間距離及線面距離.

如圖所示，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，ZM為X軸，DC為y軸，Qa為Z軸,

則A(ι,0,0),A(1,0,1)，4(1,1,1),C1(0,1,1),40,0.；),F(L臼，

A選項(xiàng)：FC,=f-l,O,∣L平面ABa)的法向量AA=(0,0,1),

設(shè)直線FcI與底面ABC。所成的角為Θ,

則Sine=Ms(fC∣,Λ4j=回，9|__2一些

=-5'

M?M×1

???直線FG與底面ABCr)所成的角不為30。，故A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)：ΛB,=(0,1,1),AE=,1,0,；

/??AB1=y+z=0

設(shè)平面ABIE的法向量〃=(χ,y,z),貝Ij-?,令z=2,貝∣J〃=(1,-2,2)

n?AE=-x+-z=0

2

設(shè)平面AqE與底面ABC。的夾角為α,

則CoSa=ICoS(A4l,IAAJ=_3_=2j

il

`'∣AΛl∣?n1x33

2

平面AB1E與底面ABCD夾角的余弦值為：，故B正確;

C選項(xiàng)，F(xiàn)E=(TfO),

直線FG與直線AE的距離為:

C正確;

D選項(xiàng)，F(xiàn)CJIAE,AEU平面AB∣E,FGa平面ABlE,

又AF=IaI平面AgE的法向量"=(1,-2,2),

?AF^n?-2+11

???直線/α與平面43避的距離為：∕z=?^=/,=彳,故D正確；

同J-+(-2)2+223

故選：BCD.

22

12.已知P是左右焦點(diǎn)分別為5，鳥的土+二=1上的動點(diǎn)，M(0,3),下列說法正確的有

124

()

A.|網(wǎng)的最大值為5B.∣Pξ∣+∣P∕^∣=4√3

C.存在點(diǎn)P,使4牝=120°D.|尸娟-歸閭的最大值為4立

【正確答案】BD

【分析】設(shè)P(X。，%),則x；=12-3y：,進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求解

判斷A；根據(jù)橢圓定義判斷B；根據(jù)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，ZξPK<120。判斷C；根據(jù)￡，F(xiàn)2,

P三點(diǎn)共線時(shí)，IPKI-IP閭有最大值4√Σ判斷D.

【詳解】解：對于A選項(xiàng)，設(shè)P(X0,%),則無+且=1,即片=12-3北，

124

所以

22

IMPl=&+(%-3]=7?+√-6y0+9=J12-3%2+)4-6%+9=√-2y0-6.y0+21,

又-2≤%≤2,所以當(dāng)為=-j時(shí)，IMpkX=迪，故A錯(cuò)誤，

2max2

對于B選項(xiàng)，由橢圓定義，∣P用+歸周=2?=4√5,故B正確

對于C選項(xiàng)，當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，

?PO?=2,?θF2?=2y∕2,tanZOP∕?=√2<√3,故NoP乙<60。，進(jìn)而N耳Pg<120。，故C

錯(cuò)誤，

對于D選項(xiàng)，歸同一|尸閭≤舊閭=4√i,當(dāng)耳，尸2,P三點(diǎn)共線時(shí)，∣P6∣-∣P閭有最大值4√∑,

故D正確.

故選：BD

三、填空題

13.記等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S,,若%=5,a5+all=20,則SK)=.

【正確答案】75

【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式可直接求得結(jié)果.

【詳解[%+%=24=20,.?.?=10,.?.q+4o=%+4=15,‘九=""'產(chǎn))=75.

故答案為.75

14.如圖，在直三棱柱ABC-A/?中，。為4百的中點(diǎn)，AB=BC=BBI=1,AC=后,

則異面直線BD與AC所成的角為.

【正確答案】60°#吟

【分析】取BC的中點(diǎn)E,易得NBDE（或其補(bǔ)角）為異面直線8。與AC所成的角，根據(jù)

直棱柱的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接BE,OE,則AC//AG//OE,

所以NBDE（或其補(bǔ)角）即為異面直線Bo與AC所成的角,

由題可知BD=EB=—,DE=-AC=-,

222

所以Nβ3E=6()o,

故答案為.60。

15.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，拋物線丁=人的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P（m,T）在拋物線上，則PF

的長為.

【正確答案】5

【分析】把點(diǎn)「（〃?,T）代入拋物線方程解得〃?=4,根據(jù)拋物線定義IpFl=〃2+1.

【詳解】丁=4》的焦點(diǎn)為尸（1,0）

點(diǎn)P（孫7）在拋物線上，則（T）2=4W,解得機(jī)=4

根據(jù)拋物線的定義IPFl=加+1=5

故5.

2

16.若雙曲線y2-2y=ι的漸近線與圓χ2+y2-4y+3=0相切，則％=

【正確答案】土見

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,

即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑,

即可得到方程，解得即可.

【詳解】雙曲線V-?4=ι的漸近線為：

X

y=±-,即x±m(xù)y=O,

m

不妨取X+my=。，圓f+y2-4y+3=O,

即f+(y-2)2=l,所以圓心為(0,2),半徑r=l,

依題意圓心(0,2)到漸近線工+〃?)，=。的距離：

解得m=或m--

33

故耳

四、解答題

17.在AABC中,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(5,1),B(4,3),C(T,2).

(1)求直線AB的方程；

(2)求ABC的面積.

【正確答案】(l)2x+y-ll=0

【分析】(1)先求出AB的斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出方程即可;

(2)先求出IABI,再求出C到AB的距離即可得到答案.

【詳解】⑴由己知，L=E7

所以直線AB的方程為y-l=-2(x-5),即2x+y-ll=0.

(2)MBl="(5-4)2+(1-3)2=石,

一門文山c,Am*ΛiJ2x(-l)+2-ll∣11√5

C到直線AB的距離為-~!=-?,

√22+l25

所以JLBC的面積為Lχ6χUj∕5=U.

252

18.記S“為等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，已知q=-4,S3=-9.

(1)求也｝的通項(xiàng)公式；

⑵求S“，并求S”的最小值.

【正確答案】(l)4="-5

⑵To

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，與等差數(shù)列的性質(zhì)求出生的值，然后根據(jù)通項(xiàng)公式

求出公差d,就能求通項(xiàng)公式.

(2)根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求出前"項(xiàng)和再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.

【詳解】(1)S(I為等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和

所以53=^^=^|^=3出=-9

所以％=-3,又因?yàn)椋?-4

所以〃2-4=d,???d=1

所以/=q+(l)d=-4+〃-I=〃一5

〃(-4+5)181

(2)Sn二

222T

又因?yàn)楱Mz∈N,所以當(dāng)〃=4或〃=5時(shí)S〃有最小值,

最小值為54=g(4J4χ9)=T0

S“的最小值為TO

19.已知拋物線C:/=4y,過點(diǎn)P(1,2)的直線/與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn),

(1)若點(diǎn)尸為線段AB的中點(diǎn)，求直線/的方程；

(2)若OALo8,求」OAB的面積.

【正確答案】(I)X-2y+3=0；

(2)16√2?

【分析】(1)由題可設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得斜率，進(jìn)而即得;

(2)根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得斜率，然后根據(jù)弦長公式及面積公式即

得.

【詳解】(D設(shè)直線/的斜率為發(fā)，

當(dāng)4不存在，顯然不符合題意；

當(dāng)々存在，設(shè)直線Ly=Mx-l)+2,A(Λ1,%),B(Λ2,%),

,Cy=MX-I)+2,

由｛2：>可得χ2-4fcv+4Z-8=0,

[X=4y

.∫xj+x2=4Λ

,

**[xlx2=4Λ-8

?.?P為線段AB的中點(diǎn)，

/.xl+x2=4?=2,即4=g,

所以直線/的方程為x-2y+3=0；

(2)由。4_LOB,可設(shè)。403=%%+y必=0，

由(1)得FM=必—8,(??)2=(4=8)2,

121616

所以,司+乂必=4攵一8+(4"8)-=o,解得k=±2,

16

若％=2,/：2x-y=0,直線/過。點(diǎn)，不符合題意；

=-

若Z=—2,I?2x+y—4=O,x∣+無2=—8,x∣x2?6,

22-

?>?IAM=?∣?+k∣x1-x2∣=?/??/(?i+?)4XIX2=8VΓδ，

4

。點(diǎn)到直線/的距離為d=不，

OAB的面積為SΔOAB=^∣ABμ=∣?8√Γδ-=16√2.

20.如圖，在四棱錐P-ΛBCO中，底面ABCZ)為等腰梯形，ABHCD,CO=2AS=4,

PA=PB,平面RWJ_底面ABCf>,E為尸。的中點(diǎn).

⑵求二面角A-EB-C的余弦直

【正確答案】(1)證明見解析

(2)4

【分析】(1)取PC的中點(diǎn)F,連接ERBF,證明四邊形ABFE為平行四邊形即可得出；

(2)取AB中點(diǎn)O,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABE和平面C8E的一個(gè)法

向量，利用向量關(guān)系可求出.

【詳解】(1)如圖，取PC的中點(diǎn)R連接￡F,BF,

?/PE=DE,PF=CF,：.EFHCD,CD=2EF,

"：ABHCD,CD=2AB,：.ABHEF,且Eb=AB.

.?.四邊形ABFE為平行四邊形，.?.AEHBF.

'：BFU平面PBC,AEU平面PBC,故4E〃平面PBC.

(2)取AB中點(diǎn)。，8中點(diǎn)M,以。為原點(diǎn)，OM為X軸，AB為y軸，OP為Z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系：則A(0,—1,0),8(0,1,0),C(1,2,0),P(0,0,1),￡>(1-2,0),(最-1,￡|,

貝IJBE=I,-2,g),Afi=(0,2,0),BC=(1,1,0),

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為W=(Xl,y∣,z∣),平面CBE的一個(gè)法向量為"=(9/2,22)，

m?AB=2y1=0

則“*N-2χ+3=0'令2’則根=（1,°T,

n?BC=Λ2+y2=O

〃印/一2%+卜=Of=晨則"=（1一5），

^mn6√6

設(shè)/與”的夾角為。，貝"C°S<9=同R=萬1萬=丁，由二面角A-EB-C為鈍角，則余

弦值為一冬

21.如圖，PA_L矩形ABCo所在的平面，MN分別是PC,AB的中點(diǎn)，且R4=AB=2AD

⑴求證：MNLCD；

(2)平面PAB和平面MAB所成角的余弦值；

(3)在線段4)上是否存在一點(diǎn)G,使GM，平面PBC?若不存在，說明理由；若存在，確

定點(diǎn)G的位置.

【正確答案】(1)證明見解析

陪

(3)存在中點(diǎn)G,理由見解析

【分析】(I)以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，證明MN?CD=O即可；

(2)求出平面F4S和平面MAB的法向量，利用向量關(guān)系可求出；

(3)設(shè)AG=4AO(∕1>0),根據(jù)，即可求出.

[BCGM=Q

【詳解】⑴由題可以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)∕?=A8=2AZ)=2,

則Ml1,；/),N(LO,0),C(2,1,0),D(OJO),

所以硒=(θ,-g,-l),C力=(-2,0,0),

因?yàn)镸N?CO=(J,所以MNJ,C。，即MNLC。；

(2)易得平面W的一個(gè)法向量為Ao=(0,1,0),

因?yàn)锳((),(),0),8(2,(),0),則AB=(2,0,0),AM=(l,g/

設(shè)平面M48的一個(gè)法向量為"=(χ,y,z),

⑵=0

ABn=O

則《，即《1,令y=2,則X=O,Z=T,即〃=(0,2,—1),

AMn=0x+-y+z=Q

AD?n2_2√5

cos<AD,n>=

則HH1×√5^5

由圖可得平面上和平面所成角為銳角，

所以平面∕?S和平面所成角的余弦值為手.

(3)設(shè)存在點(diǎn)G滿足AG=4AD(∕l>0),則G(0,Z0),所以GΛ∕=Q,g-41),

因?yàn)镻(0,0,2),3(2,0,0),C(2,1,0),所以PB=(2,0,—2),BC=(0,1,()),

'2-2=0

PBGM=0八，解得人=

因?yàn)镚ML平面PBC,貝川即《111，

BCGM----∕t=()L

[2

所以存在點(diǎn)G,使GMJ■平面P8C,