2022年福建省寧德市福安潭頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m為（

）

A．

1

B.1或2

C.

0

D.－1或1或2參考答案：C略2.設(shè)表示三者中較小的一個，若函數(shù)，則當(dāng)時，的值域是（

）A．（1,14）B．（2,14）C.（1,16]D．（1,+∞）參考答案：C3.下列積分值最大的是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】對各個選項(xiàng)計算出被積函數(shù)的原函數(shù)，再將上下限代入即可得到結(jié)果，進(jìn)行比較即可得到結(jié)果.【詳解】A：，函數(shù)y=為奇函數(shù)，故，，B:，C:表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的面積的，故，D:，通過比較可知選項(xiàng)A的積分值最大，故選：A【點(diǎn)睛】計算定積分的步驟：①先將被積函數(shù)變形為基本初等函數(shù)的和、差等形式；②根據(jù)定積分的基本性質(zhì)，變形；③分別利用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算，找到相應(yīng)的的原函數(shù)；④利用微積分基本定理分別求出各個定積分的值，然后求代數(shù)和(差)。4.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，設(shè)Tn=a1?a2?a3?…?an，則使得Tn取最小值時，n的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由9S3=S6，解得q=2．若使Tn=a1a2a3…an取得最小值，則an=?2n﹣1＜1，由此能求出使Tn取最小值的n值．【解答】解：∵{an}是等比數(shù)列，∴an=a1qn﹣1，S3=a1+a1q+a1q2，S6=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5，由9S3=S6，解得q=2．若使Tn=a1a2a3…an取得最小值，則an＜1，∵a1=，∴?2n﹣1＜1，解得n＜6，n∈N*，∴使Tn取最小值的n值為5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查使得等比數(shù)列的前n項(xiàng)積Tn取最小值時n的值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5.

在首項(xiàng)為21，公比為的等比數(shù)列中，最接近1的項(xiàng)是（

）.A．第三項(xiàng)

B．第四項(xiàng)

C．第五項(xiàng)

D．第六項(xiàng)參考答案：C6.下列說法中正確的是(

)A．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大B．事件A，B同時發(fā)生的概率一定比事件A，B恰有一個發(fā)生的概率小C．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件參考答案：D【考點(diǎn)】互斥事件與對立事件；命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，而對立事件是A不發(fā)生B就一定發(fā)生的事件，他兩個的概率之和是1．【解答】解：由互斥事件和對立事件的概念知互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件對立事件是A不發(fā)生B就一定發(fā)生的事件，故選D【點(diǎn)評】對立事件包含于互斥事件，是對立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是對立事件，認(rèn)識兩個事件的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．7.設(shè)口袋中有黑球、白球共7個，從中任取2個球，已知取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為，則口袋中白球的個數(shù)為（

）A.3 B.4 C.5 D.2參考答案：A【分析】先確定隨機(jī)變量取法，再分別求對應(yīng)概率，利用數(shù)學(xué)期望公式列方程解得白球的個數(shù).【詳解】設(shè)口袋中有白球個，由已知可得取得白球的可能取值為0，1，2，則服從超幾何分布，，，，.∵，∴，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)期望公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.8.

參考答案：B9.如果平面a外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面a的距離都是a，則直線AB和平面a的位置關(guān)系一定是

（

）

（A）平行

（B）相交

（C）平行或相交

（D）ABìa參考答案：C略10.經(jīng)過空間任意三點(diǎn)作平面(

)A．只有一個 B．可作二個C．可作無數(shù)多個 D．只有一個或有無數(shù)多個參考答案：D【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】討論三點(diǎn)在一條直線上時和三點(diǎn)不在同一條直線上時，過三點(diǎn)的平面能作多少即可．【解答】解：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時，過這三點(diǎn)的平面能作無數(shù)個；當(dāng)三點(diǎn)不在同一條直線上時，過這三點(diǎn)的平面有且只有一個；∴過空間的任意三點(diǎn)作平面，只有一個或有無數(shù)多個．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了空間中確定平面的條件是什么，解題時應(yīng)根據(jù)平面的基本公理與推理進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)f(x)是極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極小值為________參考答案：【分析】將代入導(dǎo)函數(shù)計算得到，在將代入原函數(shù)計算函數(shù)的極小值.【詳解】函數(shù)是函數(shù)是極大值點(diǎn)則或當(dāng)時的極小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值問題，屬于?？碱}型.

12.f′（x）是的導(dǎo)函數(shù)，則f′（﹣1）的值是

．參考答案：3【考點(diǎn)】函數(shù)的值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計算題．【分析】利用求導(dǎo)法則（xn）′=nxn﹣1，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后把x等于﹣1代入導(dǎo)函數(shù)中求出f′（﹣1）即可．【解答】解：f′（x）=x2+2，把x=﹣1代入f′（x）得：f′（﹣1）=1+2=3故答案為：3【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，會求自變量對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，是一道基礎(chǔ)題．13.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是

參考答案：略14.在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可以求得

．參考答案：令，則：，兩式相加可得：,故：，即.

15.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)M、N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】如圖所示，由題意可得：MF1⊥MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a﹣c，|F1F2|=2c，利用勾股定理可得c2+（2a﹣c）2=4c2，即可得出．【解答】解：如圖所示，由題意可得：MF1⊥MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a﹣c，|F1F2|=2c，∴c2+（2a﹣c）2=4c2，化為c2+2ac﹣2a2=0，即e2+2e﹣2=0，e∈（0，1）．解得e=﹣1．故答案為：．16.

已知，，且對任意都有：①

②

給出以下三個結(jié)論：（1）；

（2）；

（3）

其中正確結(jié)論為

參考答案：①②③17.已知點(diǎn)P在△ABC所在平面外，直線PA與AB、AC所成的角均為arcsin，且AB=AC=，BC=，則異面直線PA與BC的距離是

。參考答案：；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（1）當(dāng)時，

·································································································2分

由得得

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為······························6分（2）若對任意時，恒成立，

即時，恒成立，·····································································7分

設(shè)，，即，

，

設(shè)，∴在上恒成立

在上單調(diào)遞增即在上單調(diào)遞增········································································9分

，在有零點(diǎn)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增···········································10分，即，

12分19.（12分）點(diǎn)在橢圓C：上，且點(diǎn)M到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為.（1）求橢圓C的方程；（2）已知動直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，若，求證：為定值.

參考答案：解：（1）解得即橢圓的方程為（4分）（2）設(shè)，聯(lián)立得，，（8分）所以（12分）

20.某個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】通過三視圖判斷幾何體的特征，（1）利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的表面積；（2）利用組合體的體積求出幾何體的體積即可．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體是由半球和正四棱柱組成，棱柱是正方體棱長為：2，球的半徑為1，（1）該幾何體的表面積=正方體的表面積+半球面面積﹣球的底面積．∴S=6×2×2+2π×12﹣π×12=24+π（m2）．（2）該幾何體的體積為正方體的體積+半球的體積，V=2×2×2+×π×13=8+π（m3）21.求曲線和直線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

參考答案：解：聯(lián)立方程與，解得O（0，0），A（1,1）所以所求旋轉(zhuǎn)體的體積略22.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M（，）在雙曲線上．（1）求雙曲線C的方程．（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且?=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由漸近線方程可得關(guān)于a、b的一個方程，再把點(diǎn)M（，）代入雙曲線的方程又得到關(guān)于a、b的一個方程，將以上方程聯(lián)立即可解得a、b的值；（2）利用?=0得x1x2+y1y2=0、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可求出．【解答】解：（1）雙曲線C的漸近線方程為y=±x，∴b=a，雙曲線的方程可設(shè)為3x2﹣y2=3a2．∵點(diǎn)M（，）在雙曲線上，可解得a=2，∴雙曲線C的方程為=1．（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，可