第27講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用基礎(chǔ)知識1.仰角和俯角:與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線的叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線的叫俯角,如圖4-27-1(a)所示.

圖4-27-12.方位角:指從順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如圖4-27-1(b)中B點(diǎn)的方位角為α.

3.方向角:相對于某正方向的,如北偏東α,即由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖4-27-1(c)),其他方向角類似.

4.坡角:坡面與所成的二面角的度數(shù)(如圖4-27-1(d)所示,坡角為θ).

坡比:坡面的鉛直高度與之比(如圖4-27-1(d)所示,i為坡比).

分類探究探究點(diǎn)一測量距離問題例1某快遞公司在我市的三個門店A,B,C分別位于一個三角形的三個頂點(diǎn)處,其中門店A,B與門店C都相距akm,而門店A位于門店C的北偏東50°的方向,門店B位于門店C的北偏西70°的方向,則門店A,B間的距離為 ()A.akm B.2akm C.3akm D.2akm[總結(jié)反思]測量距離問題實(shí)質(zhì)是求一條線段的長度.求解時,恰當(dāng)?shù)禺嫵?找出)適合解決問題的三角形,將已知線段長度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長和角,使用正弦定理或者余弦定理求長度.變式題(1)如圖4-27-8,A,B兩點(diǎn)分別在河的兩側(cè),為了測量A,B兩點(diǎn)之間的距離,在點(diǎn)A的同側(cè)選取點(diǎn)C,測得∠ACB=45°,∠BAC=105°,AC=100米,則A,B兩點(diǎn)之間的距離為 ()圖4-27-8A.1002米 B.1003米C.50(6+2)米 D.200米(2)某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩個觀察所分別位于C,D兩點(diǎn),已知△ACD為等邊三角形,且DC=3km,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)位于CD兩側(cè))時,測得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標(biāo)間的距離約為 ()A.1.1km B.2.2kmC.2.9km D.3.5km探究點(diǎn)二測量高度問題例22020年5月27日中國珠穆朗瑪峰高程測量登山隊(duì)順利登頂,他們在峰頂豎立覘標(biāo),安裝GNSS(全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng))天線,對這座世界最高峰的高度進(jìn)行測量.如在水平面上的A處測得峰頂H的仰角是45°,然后在另一點(diǎn)B處測得峰頂H的仰角是60°,若H在水平面的射影為O(如圖4-27-9),且∠AOB=150°,AB=a,則珠穆朗瑪峰的最新高度OH=.

圖4-27-9[總結(jié)反思]求解高度問題的注意點(diǎn):(1)在處理有關(guān)高度問題時,理解仰角、俯角、方向(位)角是關(guān)鍵;(2)在實(shí)際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯;(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.變式題(1)在《周髀算經(jīng)》中,把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖,把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖.圓方圖和方圓圖在我國古代的設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.山西應(yīng)縣木塔是我國現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑,它的正面圖如圖4-27-10所示.以該木塔底層的邊AB為一邊作正方形,以點(diǎn)A或點(diǎn)B為圓心,以這個正方形的對角線長為半徑作圓,會發(fā)現(xiàn)塔的高度正好跟此對角線的長度相等.以該木塔底層的邊AB為一邊所作的正方形與其內(nèi)切圓的一個切點(diǎn)D正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸缇€上.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn),木塔底層的邊AB的長度不少于47.5米,塔頂C到點(diǎn)D的距離不超過19.9米,則該木塔的高度可能是(參考數(shù)據(jù):2≈1.414) ()圖4-27-10A.66.1米 B.67.3米C.68.5米 D.69.0米(2)如圖4-27-11,為測量某公園內(nèi)湖岸邊A,B兩處的距離,一無人機(jī)在空中P點(diǎn)處測得A,B的俯角分別為α,β,此時無人機(jī)的高度為h,則A,B間的距離為 ()圖4-27-11A.h1B.h1C.h1D.h1探究點(diǎn)三測量角度問題例3如圖4-27-12所示,某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出呼救信號,某艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為40°,距離為15海里的C處,并測得漁船正沿方位角為100°的方向,以15海里/時的速度航行,該艦艇立即以153海里/時的速度沿直線前去營救,若艦艇與漁船恰好在B處相遇,求艦艇與漁船相遇所需的時間和艦艇的航向.圖4-27-12[總結(jié)反思]測量“角度”即是求一個角的大小,把該角看作某個三角形的內(nèi)角,根據(jù)已知條件求出該三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即可.變式題如圖4-27-13所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°的方向、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cosθ的值.圖4-27-13同步作業(yè)第27講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用1.以觀測者的位置作為原點(diǎn),正東、正南、正西、正北四條方向線把平面分成四部分,以正北方向線為始邊,按順時針方向旋轉(zhuǎn)280°到目標(biāo)方向線,則目標(biāo)方向線的位置在觀測者的 ()A.北偏東80°方向上 B.南偏東80°方向上C.北偏西80°方向上 D.南偏西80°方向上2.廣場上有一盞路燈掛在高9m的電線桿頂上,記電線桿的底部為A,把路燈看作一個點(diǎn)光源,身高1.5m的女孩站在離A點(diǎn)5m的點(diǎn)B處,女孩以5m為半徑繞著電線桿走一個圓圈,人影掃過的面積約是(π取3.14) ()A.30.16m2 B.31.4m2C.34.54m2 D.35.56m23.在學(xué)習(xí)了“解三角形的應(yīng)用”之后,同學(xué)們到野外進(jìn)行實(shí)際操作,測量魚塘兩側(cè)的兩棵大榕樹A,B之間的距離.如圖K27-1,現(xiàn)測得∠BAC=15°,∠ABC=30°,BC=100m,則AB= ()圖K27-1A.50(6-2)m B.50(6+2)mC.100(3-1)m D.100(3+1)m4.泉城廣場上矗立著的“泉標(biāo)”成為“泉城”濟(jì)南的標(biāo)志和象征.為了測量“泉標(biāo)”的高度,某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)A處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°方向前進(jìn)76m到達(dá)點(diǎn)B,在點(diǎn)B處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為30°,則“泉標(biāo)”的高度為 ()A.38m B.76m C.80m D.114m5.如圖K27-2,一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()圖K27-2A.62海里 B.63海里C.82海里 D.83海里6.如圖K27-3,為測得河對岸的鐵塔AB的高度,先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在鐵塔底B的正東方向上,測得點(diǎn)A的仰角為60°,再由點(diǎn)C沿北偏東30°方向走10m到位置D,測得∠BDC=45°,則鐵塔AB的高度為 ()圖K27-3A.(30+103)m B.(30-103)mC.10+1033m D.10-1033m7.如圖K27-4所示,一艘海輪從A處出發(fā),測得燈塔在海輪的北偏東15°的方向,與海輪相距20海里的B處,海輪沿北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達(dá)C處,此時測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向上,則海輪航行的速度為海里/分鐘.

圖K27-48.小華想測出操場上旗桿OA的高度(O為旗桿底部),在操場上選取了一條基線BC,請從數(shù)據(jù)①BC=10m;②B處的仰角為60°;③C處的仰角為45°;④cos∠BAC=368;⑤∠BOC=30°中選取合適的數(shù)據(jù),計(jì)算出旗桿的高度為 (A.93m B.10mC.102m D.103m9.珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和亞歐板塊碰撞擠壓形成的.這種擠壓一直在進(jìn)行,珠穆朗瑪峰的高度也一直在變化.由于地勢險峻,氣候惡劣,通常采用人工攀登的方式為珠峰“量身高”.攀登者們肩負(fù)高精度測量儀器,采用了分段測量的方法,從山腳開始,直到到達(dá)山頂,再把所有的高度差累加,就會得到珠峰的高度.2020年5月,中國珠峰高程測量登山隊(duì)8名隊(duì)員開始新一輪的珠峰測量工作.如圖K27-5,在測量過程中,已知豎立在B點(diǎn)處的測量覘標(biāo)高10米,攀登者們在A處測得到覘標(biāo)底點(diǎn)B和頂點(diǎn)C的仰角分別為70°,80°,則A,B的高度差約為 ()圖K27-5A.10米 B.9.72米C.9.40米 D.8.62米10.一艘游輪航行到A處時,測得燈塔B在A的北偏東75°方向,距離為126海里,燈塔C在A的北偏西30°方向,距離為123海里,該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時,測得燈塔B在其南偏東60°方向,則此時燈塔C位于游輪的 ()A.正西方向 B.南偏西75°方向C.南偏西60°方向 D.南偏西45°方向11.春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊桿——桔槔,后發(fā)展成轆轤.19世紀(jì)末,由于電動機(jī)的發(fā)明,離心泵得到了廣泛應(yīng)用,為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件.如圖K27-6所示為灌溉抽水管道在等高圖上的垂直投影,在A處測得B處的仰角為37°,在A處測得C處的仰角為45°,在B處測得C處的仰角為53°,A點(diǎn)所在等高線的值為20米,若BC管道的長度為50米,則B點(diǎn)所在等高線的值為參考數(shù)據(jù):sin37°≈35 ()圖K27-6A.30米 B.50米 C.60米 D.70米12.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖K27-7①)充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平,也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖②為骨笛測量“春(秋)分”“夏(冬)至”的日影的示意圖,圖③是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計(jì)),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽光線)與春(秋)分日光(當(dāng)日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.圖K27-7由歷法理論知,黃赤交角近1萬年持續(xù)減小,其正切值及對應(yīng)的年代如下表:黃赤交角23°41'23°57'24°13'24°28'24°44'正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過計(jì)算黃赤交角,可估計(jì)該骨笛的大致年代是 ()A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年D.公元前8000年到公元前6000年13.小王騎電動自行車以24km/h的速度沿著正北方向行駛,在點(diǎn)A處望見電視塔S在北偏東30°的方向上,20min后到點(diǎn)B處望見電視塔S在北偏東75°的方向上,則小王在點(diǎn)B處時與電視塔S的距離是km.

14.甲、乙兩艘救助船所在位置分別為B,C,且B,C相距1海里,經(jīng)測量求救信號發(fā)