專題5.4平面向量應(yīng)用【考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC平面向量平面向量的應(yīng)用√

1．向量與平面幾何．2．向量與三角函數(shù)．3．向量與解析幾何．【知識(shí)清單】考點(diǎn)1向量與平面幾何向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題．(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b均為非零向量)．(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(θ為a與b的夾角)．考點(diǎn)2向量與三角函數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型．解答此類問(wèn)題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)．考點(diǎn)3向量與解析幾何向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體.【考點(diǎn)深度剖析】向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問(wèn)題用代數(shù)方法處理，也可以將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決，其中向量是橋梁，因此，在解此類題目的時(shí)候，一定要重視轉(zhuǎn)化與化歸．【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1向量與平面幾何【1-1】已知△ABC的三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則eq\o(CP,\s\up11(→))·(eq\o(BA,\s\up11(→))－eq\o(BC,\s\up11(→)))的最大值為_(kāi)_______．【答案】9.【1-2】(2014·山東理)在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AC,\s\up11(→))＝tanA，當(dāng)A＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC的面積為_(kāi)______．【答案】eq\f(1,6)【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AC,\s\up11(→))＝|eq\o(AB,\s\up11(→))|·|eq\o(AC,\s\up11(→))|cosA，當(dāng)A＝eq\f(π,6)時(shí)，根據(jù)已知可得|eq\o(AB,\s\up11(→))|·|eq\o(AC,\s\up11(→))|＝eq\f(2,3)，故△ABC的面積為eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up11(→))|·|eq\o(AC,\s\up11(→))|sineq\f(π,6)＝eq\f(1,6).【思想方法】平面幾何問(wèn)題的向量解法．(1)坐標(biāo)法．把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決．(2)基向量法．適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解．考點(diǎn)2向量與三角函數(shù)【2-1】已知在銳角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p與q是共線向量．(1)求A的大??；(2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos(eq\f(C－3B,2))取最大值時(shí)，B的大?。敬鸢浮?1)60°(2)B＝60°，ymax＝2【2-2】(2015·河南中原名校聯(lián)考)在△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c為對(duì)應(yīng)的三條邊，eq\f(π,3)<C<eq\f(π,2)，且eq\f(b,a－b)＝eq\f(sin2C,sinA－sin2C).(1)判斷△ABC的形狀；(2)若|eq\o(BA,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))|＝2，求eq\o(BA,\s\up11(→))·eq\o(BC,\s\up11(→))的取值范圍．【答案】(1)等腰三角形(2)(eq\f(2,3)，1)【思想方法】解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題解決．(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．考點(diǎn)3向量與解析幾何【3-1】已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且(eq\o(PC,\s\up11(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up11(→)))·(eq\o(PC,\s\up11(→))－eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up11(→)))＝0.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求eq\o(PE,\s\up11(→))·eq\o(PF,\s\up11(→))的最小值．【答案】(1)eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1(2)12－4eq\r(3)【解析】(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)．由(eq\o(PC,\s\up11(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up11(→)))·(eq\o(PC,\s\up11(→))－eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up11(→)))＝0，【3-2】若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up11(→))·eq\o(FP,\s\up11(→))的最大值為_(kāi)______．【答案】6．【解析】由題意，得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則有eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，解得yeq\o\al(2,0)＝3(1－eq\f(x\o\al(2,0),4))．因?yàn)閑q\o(FP,\s\up11(→))＝(x0＋1，y0)，eq\o(OP,\s\up11(→))＝(x0，y0)，所以eq\o(OP,\s\up11(→))·eq\o(FP,\s\up11(→))＝x0(x0＋1)＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3(1－eq\f(x\o\al(2,0),4))＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3，對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸方程為x0＝－2.因?yàn)椋?≤x0≤2，故當(dāng)x0＝2時(shí)，eq\o(OP,\s\up11(→))·eq\o(FP,\s\up11(→))取得最大值eq\f(22,4)＋2＋3＝6．【思想方法】向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將