遼寧省鞍山市2024屆高三上學期期末聯(lián)考模擬練習數(shù)學試題一、單選題1.設全集，集合，，則A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義求得A∪B，再根據(jù)補集的定義即可求解．【詳解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故選B．【點睛】本題考查集合的交、并、補集的混合運算，是基礎題．2.復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先化簡，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念求出其共軛復數(shù)為，結(jié)合復數(shù)的幾何意義即可.【詳解】因，所以其共軛復數(shù)為，所以對應的點的坐標為，其對應的點位于第一象限．故選：A3.關于雙曲線和焦距和漸近線，下列說法正確的是A.焦距相等，漸近線相同 B.焦距相等，漸近線不同C.焦距不相等，漸近線相同 D.焦距不相等，漸近線不相同【答案】B【解析】【分析】求出兩雙曲線的焦距和漸近線方程，從而可得出正確選項.【詳解】雙曲線的焦距為，漸近線方程為.雙曲線的焦距為，漸近線方程為.因此，兩雙曲線的焦距相等，漸近線不同.故選B.【點睛】本題考查兩雙曲線的焦距和漸近線的異同，考查計算能力，屬于基礎題.4.設數(shù)列滿足，且前n項和為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷是等比數(shù)列，利用公式計算，再計算比值即可.【詳解】由題意知，，數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，故，所以．故選：A.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.【詳解】，，且，故選：D.6.已知拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則＝（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得參數(shù)．【詳解】由題意到準線的距離減去到軸距離等于1，所以，．故選：B．7.有個球，其中個一樣的黑球，紅、白、藍球各個，現(xiàn)從中取出個球排成一列，則所有不同的排法種數(shù)是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對黑球的個數(shù)分類討論，分為黑球1個，2個，結(jié)合排列、組合和分類加法原理，即可求解.【詳解】解：分為兩種情況，（1）當4個球顏色都不同時，排列種數(shù)是,（2）當4個球包含2個黑球時，那么需在紅，白，藍球中選2個，排法種數(shù)是,所以,故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為的圖像關于對稱，且為奇函數(shù)，，則下列說法正確的個數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義得到，進而得到的對稱中心為，再根據(jù)對稱軸求出周期，通過賦值得到答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，則，所以對稱中心為，又因為圖像關于對稱，則，所以，則，所以的周期，①，所以①正確；②因為，，對稱中心為，所以，所以，所以②正確；③因為，所以，因為，所以，則，所以，所以③錯誤；④因為且周期，所以，則的周期為，因為，，，，所以，所以，所以④正確.故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：對稱性的常用結(jié)論如下：（1）若函數(shù)滿足或或，則的一條對稱軸為；（2）若函數(shù)滿足或或，則的一個對稱中心為.二、多選題9.若，則下列不等關系中，一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】運用特例法，結(jié)合不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A，設，，但，故A錯誤；對于B，設，，但，故B錯誤；對于C，因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故C正確；對于D，因為在R上單調(diào)遞增，所以由可得，故D正確，故選：CD．10.下列命題為真命題的是（）A.函數(shù)的圖象關于點對稱B.函數(shù)不是周期函數(shù)C.設為第二象限角，則D.函數(shù)的最小值為－1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)的圖象得對稱中心判斷A；由函數(shù)的解析式和奇偶性判斷B；由，則，，分為偶數(shù)，為奇數(shù)兩種情況檢驗C；由，，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D；【詳解】解：對于A，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)的圖象關于點對稱，故A正確；對于B，函數(shù)，且，其圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故B正確；對于C，設是第二象限角即，則，當為偶數(shù)，，成立，當為奇數(shù)時，，，故C錯誤；對于D，函數(shù)，，，則當時，函數(shù)有最小值，故D正確；故選：ABD.11.有一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別記為．由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，其平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別記為，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差的概念，以及計算方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以，所以A正確；對于B中，由，根據(jù)中位數(shù)的定義，可得，所以B錯誤；對于C中，由，根據(jù)數(shù)據(jù)方差的定義，可得，可得，所以C錯誤；對于D中，由，根據(jù)數(shù)據(jù)極差的定義得，所以D正確．故選：AD.12.如圖，正方體的棱長為1，是正方形的中心，是的中點，則以下結(jié)論正確的是（）A.平面 B.平面平面C.三棱錐的體積為 D.異面直線與所成的角為【答案】ABC【解析】【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理即可得解；對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理即可得解；對于C，利用三棱錐的體積公式即可得解；對于D，利用異面直線的定義與余弦定理即可得解.【詳解】對于，設與交于點，連接，如圖，則平面，又平面，所以，又平面，所以平面，故A正確；對于，連接，因為分別是的中點，則，又平面，平面，故平面，易得，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，故B正確；對于C，因為是的中點，所以到底面的距離為，則，故C正確；對于D，因為，所以異面直線與所成的角為或其補角，連接，則，在中，所以異面直線與所成的角不等于，故錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題C選項解決的關鍵是利用中點的性質(zhì)得到到底面的距離，從而利用等體積法即可得解.三、填空題13.已知向量，，則的值為__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標表示，求得，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的坐標表示，以及向量的數(shù)量積的坐標運算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的坐標運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.14.個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得到一張電影票，他們依次摸彩．（1）已知前兩個人都沒摸到，則第三個人摸到的概率為______；（2）電影票被第個人摸到的概率為______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）前兩個人都沒摸到，還有個人有機會摸到即可求得概率；（2）根據(jù)條件概率的概率公式即可求解.【詳解】（1）前兩個人都沒摸到，還有個人有機會摸到，所以第三個人摸到的概率為．（2）設表示電影票被第個人摸到，則，故答案為：；.15.已知直線為圓在點處的切線，點是直線上一動點，點是圓上一動點，則的最小值是____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)求出切線方程，再由圓的性質(zhì)知：的最小值為點到的距離減去半徑1即可求出.【詳解】解：的圓心設切點，，則切線斜率，切線為：，即：.由圓的性質(zhì)知：的最小值為點到的距離減去..故答案為：.16.如圖，直三棱柱中，，棱柱的側(cè)棱足夠長，點P在棱上，點在上，且，則當△的面積取最小值時，三棱錐的外接球的體積為___________.【答案】【解析】【分析】取的中點，連接，證得平面，得到，再證得平面，得到，設，求得，，得到，得到，結(jié)合基本不等式，求得時，的面積取最小值，進而得到O為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點為，連接，因為三棱柱為直棱柱，所以平面ABC，因為平面，所以，又因為且，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為且，平面，所以平面，因為平面，所以，設，在直角中，，同理，所以，整理得到，又由，當且僅當時等號成立，即時，的面積取最小值，因為平面，平面，所以，所以，又因為為直角三角形，故，所以為三棱錐的外接球的球心，設外接球的半徑為，可得外接球的直徑為，所以外接球的體積為.故答案為：.四、解答題17已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的最小值；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)得單調(diào)性求出函數(shù)的增區(qū)間，再根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可得出答案；（2）利用降冪公式、兩角和差的余弦定理及輔助角公式將函數(shù)化為，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求解.詳解】（1）令，得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故的最小值為.（2）.，，，即所求的函數(shù)的值域為.18.一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的某項技術指標值，得到如下的頻率分布表：[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21）[21，23）頻數(shù)2123438104（1）作出樣本的頻率分布直方圖，并估計該技術指標值的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）若或，則該產(chǎn)品不合格．現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術指標值小于13的產(chǎn)品恰有一件的概率．【答案】（1）頻率直方圖見解析，平均數(shù)為，眾數(shù)為18（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出頻率分布直方圖，再根據(jù)頻率分布直方圖求解平均數(shù)和眾數(shù)即可.（2）利用古典概型公式求解即可.【小問1詳解】頻率分布直方圖為：估計平均值：．估計眾數(shù)：18．【小問2詳解】當時，共有2件，設為，當時，共有4件，設為，現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機抽取2件，共有：，，共15個基本事件，令事件：抽取的2件產(chǎn)品中恰有一件技術指標值小于13，事件包含，8個基本事件，所以.19.如圖①，在等腰梯形ABCD中，，將沿AC折起，使得，如圖②．（1）求直線BD與平面ADC所成的角；（2）在線段BD上是否存在點E，使得二面角的平面角的大小為?若存在，指出點E的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）.（2）存在,分析見解析.【解析】【分析】（1）通過線面垂直的判定證明平面ADC，直線BD與平面ADC所成的角，即為，通過即可求出結(jié)果.（2）以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，過點作垂直于平面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標系.利用向量法求出滿足的點E，使得二面角的平面角的大小為，并能求出相應的實數(shù)的值.【小問1詳解】等腰梯形ABCD中，，由平面幾何知識易得，,,又，，平面ADC直線BD與平面ADC所成的角，即為，.直線BD與平面ADC所成的角為.【小問2詳解】在線段BD上存在點E，使得二面角的平面角的大小為.由（1）知，以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，過點作垂直于平面ABC的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.平面ADC，又平面ABC，平面ADC平面ABC，是頂角為的等腰三角形，知軸與底邊上的中線平行，則,令，則，設平面ACE的法向量，則即，令，則，，平面ADC的一個法向量為.要使二面角的平面角的大小為，則，解得或（舍去）.所以在線段BD上存在點E，使得二面角的平面角的大小為，此時E在線段BD上靠近D的三等分點處.20.設等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】據(jù)題設可得，.（1）當時，將相除，可得商為常數(shù)，從而證得其為等比數(shù)列.（2）首先可求出在處的切線為，令得，由此可求出，.所以，這個數(shù)列用錯位相消法可得前項和.【小問1詳解】由已知，.當時，.所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】求導得，所以在處的切線為，令得，所以，.所以，其前項和：①兩邊乘以4得：②①－②得：，所以.【點睛】等差數(shù)列與等比數(shù)列及其前項和，導數(shù)的幾何意義.21.設分別為橢圓C：的左右兩個焦點，橢圓上的點到兩點的距離之和等于4，求：（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標（2）過且傾斜角為30°的直線，交橢圓于A，B兩點，求的周長.【答案】（1）橢圓方程為．焦點坐標為；（2）周長為8.【解析】【分析】（1）由橢圓定義得，，再把點坐標代入求得后得橢圓方程，焦點坐標；（2）根據(jù)橢圓的定義得三角形周長．【詳解】由題意，，又是橢圓上的點，∴，解得．．橢圓方程為．焦點坐標為．（2）由于，∴的周長為8.【點睛】本