2022年遼寧省鐵嶺市亮中中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）（2015?安慶三模）已知圓上有均勻分布的8個點，從中任取三個，能夠成銳角三角形的個數(shù)為（）A．8B．24C．36D．12參考答案：A【分析】只有三角形的一條邊過圓心，能組成直角三角形，在圓周上有8個等分點共有4條直徑，每條直徑可以和除去本身的兩個定點外的點組成直角三角形，可做8﹣2個直角三角形，可得直角三角形的數(shù)目，用所有的三角形減去直角三角形、鈍角三角形的個數(shù)得到結果．【解答】解：由題意知，只有三角形的一條邊過圓心，才能組成直角三角形，∵圓周上有8個等分點∴共有4條直徑，每條直徑可以和除去本身的兩個定點外的點組成直角三角形，∴可做4×6=24個直角三角形，從8個點中任取三個點可以構成三角形，共有C83=56個，∴銳角三角形或鈍角三角形的個數(shù)是56﹣24=32，按照一條直徑為分界線，直徑的一個端點與同側三點中的任意兩個及同側直徑外的同側三個點可構成鈍角三角形，鈍角三角形的個數(shù)是24個，∴銳角三角形的個數(shù)是32﹣24=8，故選：A．【點評】本題考查分步計數(shù)原理，考查圓的有關問題，是一個綜合題，解題的關鍵是對于圓上的點，怎樣能組成直角三角形．2.已知命題：，；命題：，，則下列命題中為真命題的是：（

）A. B. C. D.參考答案：B試題分析：考察函數(shù)圖象可知:命題為假命題，命題為真命題，所以為真命題．3.已知三棱錐S﹣ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】直線與平面所成的角．【分析】由圖，過A作AE垂直于BC交BC于E，連接SE，過A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，由題設條件證出∠ABF即所求線面角．由數(shù)據(jù)求出其正弦值．【解答】解：過A作AE垂直于BC交BC于E，連接SE，過A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，∵正三角形ABC，∴E為BC中點，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長2，∴AE=，AS=3，∴SE=2，AF=，∴sin∠ABF=．故選D．4.在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)（滿分10分）莖葉圖如圖：去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016參考答案：D【考點】極差、方差與標準差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】利用莖葉圖性質、平均數(shù)和方差公式求解．【解答】解：由莖葉圖得去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值：，方差．故選：D．【點評】本題考查一組數(shù)據(jù)的平均值和方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意莖葉圖的性質的合理運用．5.若直線mx-ny=4與⊙O:x2+y2=4沒有交點，則過點P(m,n)的直線與橢圓

的交點個數(shù)是（

）

A．至多為1

B．2

C．1

D．0參考答案：B6.把5名新同學分配到高一年級的A、B、C三個班級，每班至少分配一人，其中甲同學已分配大炮A班，則其余同學的分配方法共有（

）A．24種

B．50種

C．56種

D．108種參考答案：B7.在等差數(shù)列{an}中，a5＝33，a45＝153，則201是該數(shù)列的第（

）項A．60

B．61

C

62

D．63參考答案：B略8.為了解某大學的學生是否愛好體育鍛煉，用簡單隨機抽樣方法在校園內調查了120位學生，得到如下2×2列聯(lián)表：

男女總計

愛好ab73

不愛好c25

總計74

則a﹣b﹣c等于（）A．6B．7C．8D．9參考答案：D考點：頻率分布表．

專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)列聯(lián)表，先求出c、a和b的值，再計算a﹣b﹣c的值．解答：解：根據(jù)題意，得；c=120﹣73﹣25=22，a=74﹣22=52，b=73﹣52=21，∴a﹣b﹣c=52﹣21﹣22=9．故選：D．點評：本題考查了2×2列聯(lián)表的簡單應用問題，是基礎題目．9.下列命題中的真命題是（）A．是有理數(shù) B．是實數(shù) C．e是有理數(shù) D．{x|x是小數(shù)}?R參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】首先判斷出是無理數(shù)，是實數(shù)，e是無理數(shù)，{x|x是小數(shù)}為實數(shù)，然后結合選擇項逐一判斷命題的真假．【解答】解：A．因為是無理數(shù)，所以A為假命題．B．因為屬于無理數(shù)指數(shù)冪，結果是個實數(shù)，所以B為真命題．C．因為e是無理數(shù)，所以C為假命題．D．因為{x|x是小數(shù)}=R，所以D為假命題．故選B．10.是雙曲線的一個焦點，過作直線與一條漸近線平行，直線與雙曲線交于點，與軸交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.根據(jù)如圖所示的流程圖，則輸出的結果為___________．參考答案：12.科目二，又稱小路考，是機動車駕駛證考核的一部分，是場地駕駛技能考試科目的簡稱.假設甲每次通過科目二的概率均為，且每次考試相互獨立，則甲第3次考試才通過科目二的概率為__________．參考答案：甲第3次考試才通過科目二，則前兩次都未通過，第3次通過，故所求概率為.填13.下列命題： ①在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得k2=6.679，則有99%的把握確認這兩個變量間有關系． ②隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，2），則P（X＜0）=P（x＞2）； ③若二項式的展開式中所有項的系數(shù)之和為243，則展開式中x﹣4的系數(shù)是40 ④連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，記向量=（m，n）與向量=（1，﹣1）的夾角為θ，則θ∈（0，]的概率是． ⑤若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則a1+a2+a3+a4+a5=31； 其中正確命題的序號為． 參考答案：①②④⑤【考點】命題的真假判斷與應用． 【專題】對應思想；綜合法；簡易邏輯． 【分析】①利用獨立性檢查的性質進行判斷． ②利用正態(tài)分布的對稱性進行判斷． ③根據(jù)二項式定理的內容進行判斷． ④利用古典概型的概率公式進行判斷． ⑤利用賦值法結合二項式定理進行判斷． 【解答】解：①在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K2=6.679＞6.535，∴有99%的把握確認這兩個變量間有關系，正確， ②隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，2），則圖象關于x=1對稱，則P（X＜0）=P（x＞2）；正確， ③若二項式的展開式中所有項的系數(shù)之和為243， 則令x=1，得到（1+2）n=243，即3n=243，解得n=5， ∴展開式的通項為Tr+1=， 令5﹣3r=﹣4，解得r=3， ∴x﹣4的系數(shù)為23C=80．則展開式中x﹣4的系數(shù)是80，故③錯誤， ④試驗發(fā)生包含的所有事件數(shù)6×6=36個， ∵m＞0，n＞0， ∴=（m，n）與=（1，﹣1）不可能同向． ∴夾角θ≠0． ∵θ∈（0，]，≥0，∴m﹣n≥0， 即m≥n．當m=6時，n=6，5，4，3，2，1；當m=5時，n=5，4，3，2，1；當m=4時，n=4，3，2，1； 當m=3時，n=3，2，1；當m=2時，n=2，1；當m=1時，n=1． ∴滿足條件的事件數(shù)6+5+4+3+2+1=21個 ∴概率P==． 則θ∈（0，]的概率是．故③正確， ⑤若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=0，得a0=﹣25=﹣32， 令x=1得（1﹣2）5=a5+a4+a3+a2+a1+a0=﹣1，則a1+a2+a3+a4+a5=32﹣1=31；故⑤正確， 故答案為：①②④⑤ 【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及二項式定理，獨立性檢驗以及古典概型的概率計算，正態(tài)分布，綜合性較強，內容較多． 14.平面上一機器人在行進中始終保持與點F（1，0）的距離和到直線x=﹣1的距離相等，若機器人接觸不到過點P（﹣1，0）且斜率為k的直線，則k的取值范圍是

．參考答案：k＜﹣1或k＞1【考點】拋物線的簡單性質．【分析】由拋物線的定義，求出機器人的軌跡方程，過點P（﹣1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，利用判別式，即可求出k的取值范圍．【解答】解：由拋物線的定義可知，機器人的軌跡方程為y2=4x，過點P（﹣1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵機器人接觸不到過點P（﹣1，0）且斜率為k的直線，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案為：k＜﹣1或k＞1．15.設有函數(shù)和，已知時恒有，則實數(shù)的取值范圍是

.

參考答案：略16.若x，y滿足約束條件，則z=x+3y的最大值為

．參考答案：7【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標函數(shù)z=x+3y對應的直線進行平移，可得當x=1且y=2時，z取得最大值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的三角形及其內部，由可得A（1，2），z=x+3y，將直線進行平移，當l經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z達到最大值∴z最大值=1+2×3=7．故答案為：717.離心率，一個焦點是的橢圓標準方程為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.求函數(shù)的最小值。參考答案：解析：可看作點到點和點的距離之和，作點關于軸對稱的點19.（本題滿分1２分）如圖，已知，分別是正方形邊、的中點，與交于點，、都垂直于平面，且，，是線段上一動點．（Ⅰ）若平面，試求的值；（Ⅱ）當是中點時，求二面角的余弦值．參考答案：解：（Ⅰ）連結，∵平面，平面平面，∴，∴，故

---------------------４分（２）連結，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分別是、的中點，∴，∴平面，平面，∴，在等腰三角形中，點為的中點，∴，∴為所求二面角的平面角，

--------------８分∵點是的中點，∴，所以在矩形中，可求得，，，在中，由余弦定理可求得，∴二面角的余弦值為．

--------------1２分20.從邊長2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正常數(shù)t．

（Ⅰ）把鐵盒的容積V表示為x的函數(shù)，并指出其定義域；

（Ⅱ）x為何值時，容積V有最大值．

參考答案：(1)

定義域為。（2）。略21.（本小題滿足14分）在中，∠、∠、∠的對邊分別為、、，已知，．(1)求的值；(2)求的面積的最大值；(3)若，求的最小值.參考答案：解（1）…………….........4分（2）由余弦定理得，代入及得

由得，所以從而當時取到等號.綜上，的最大值為………….9分（3）易得所以即

當時取到等號綜上，的最小值為…………………..14分22.（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為.(Ⅰ)求橢圓的標準方程；(Ⅱ)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，交軸于點，若，，求證：.參考答案：(Ⅰ)解：設橢圓C的方程為（＞＞），

……1分拋物線方程化為，其焦點為，

………………2分則橢圓C的一個頂點為，即

………………3分由，∴，所