專題10利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1.(2022.北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知/(x)=ASinX+2x.

(1)當(dāng)女=2時(shí)，判斷函數(shù)/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵求證：-sinx+2x>ln(x+l),x∈(0,?).

【答案】⑴1；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)把我=2代入，求導(dǎo)得函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再由/(O)=O作答.

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-SinX-In(X+1),利用導(dǎo)數(shù)借助單調(diào)性證明作答.

⑴當(dāng)&=2時(shí)，/(x)=2sinx+2x,∕,(x)=2cosx+2?0,當(dāng)且僅當(dāng)x=(2)-l)π,2eZ時(shí)取“=”,

所以〃x)在R上單調(diào)遞增,而/(0)=0,即0是，(X)的唯一零點(diǎn)，

所以函數(shù)/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是L

JT]]

(2)x∈(0,-),令g(x)=2x-SinΛ?-In(x+1),則g'(無)=2-COSX--------,因COSXe1,------<1,則

2x÷lx+l

g'(x)>O,因此，函數(shù)g(x)在(0,∣?)上單調(diào)遞增，?Λ∈(O,y),g(x)>g(O)=O,

所以當(dāng)Xe(0,―)時(shí)，-sinx+2x>In(x+1)成立.

2.(2022.河南?開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)/(x)=InX-奴+”(α>0).

(1)當(dāng)α=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的最大值為機(jī)，證明：機(jī)≥0.

【答案】(1)增區(qū)間為(0，；)，減區(qū)間為(；，+8)

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(χ)的單調(diào)區(qū)間.

(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得F(X)的最大值相=f(J=a-ln"l,再構(gòu)造Ma)=α-lna-l并利用導(dǎo)數(shù)

證明不等式.

(1)當(dāng)α=2時(shí)，/(x)=lnx-2x+2.

Λ∕1(χ)=i-2=-,令/'(X)=O,得X=[

XX2

.?.當(dāng)0<x<；時(shí)，∕,(x)>0,函數(shù)/(χ)單調(diào)遞增；

當(dāng)χ>:時(shí)，/。)<0,函數(shù)F(X)單調(diào)遞減.

故函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(；，+8),增區(qū)間為(0,g)

(2)由r(x)=匕竺，令/'(X)=O,得X=L.

Xa

.?.當(dāng)0<x<,時(shí)，∕,(x)>0,函數(shù)/(χ)單調(diào)遞增;

a

當(dāng)χ>L時(shí)，f'(χ)<O,函數(shù)F(X)單調(diào)遞減.

a

,w=f(χ)maχ=/(十)=α-lnα-l.

?a—\

令∕z(α)=Q-Ina-I,則h,(a)=1——=-----.

aa

,

???當(dāng)OVaVl時(shí),h(x)<Ot函數(shù)。%)單調(diào)遞減;

當(dāng)α>l時(shí),Λz(x)>O,函數(shù)〃(X)單調(diào)遞增.

ΛΛ(0)≥Λ(l)=O,即m≥0.

3.(2022?江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e'(l+"?InX),其中加>0,3⑴為危)的導(dǎo)函

數(shù)，設(shè)〃(X)=￡學(xué)，且A(x)≥g恒成立.

e2

(1)求的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)式")的零點(diǎn)為XO,函數(shù)rα)的極小值點(diǎn)為制，求證：xo>xι.

【答案】(1)∣,+∞]

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)可得了'(X)解析式，即可得〃(X)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得〃(X)的單調(diào)區(qū)間和

最小值，結(jié)合題意，即可得加的范圍.

?ιτι/77

(2)求得嚴(yán)(X)解析式，^fU)=l+∕Mlnx+---?(x>0),利用導(dǎo)數(shù)可得"x)的單調(diào)性,

XX

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得存在X使得3)=0,進(jìn)而可得f'(x)在X=X2處取得極

2mm

小值,即*=X2,所以1+"?Inχ+---------7=°，XG令S(X)=l+m?nx,分析可得s(χ∣)

%X1

<0,即可得證

(1)由題設(shè)知f,(x)=ev(l+wlnx+-),

X

則〃(X)=I+minx+—(尤>O),

x

.,?mm∕n(x-l)

所rrμ以l/2f(X)=--------=——2-

XjrX

當(dāng)x>l時(shí)，"(x)>O,則〃(貢)在區(qū)間(1,+8)是增函數(shù)，

當(dāng)OVXVl時(shí),Λ'(x)<O,則。力在區(qū)間(0,1)是減函數(shù),

一53

所以6(x)min=力(1)=?+m≥-,解得機(jī)≥5,

所以〃7的取值范圍為1，+8)

“、rLmtnmA(2mm

(2)/(X)=el+w1lnx+—+-------T=el+∕π1lnx+----------

kXXX)?XXJ

人,、126/八、

?∕(x)=l+m1lnx+--------(x>0)

XX7

,/、m2m2m(^-2x+2)w∣(x-l)2+11L4、

貝r11IlJt'(x)=--------+—=3mΞj_絲衛(wèi)=_L2_____J>O恒成立，

X廠X√X3

所以心)在(0,+8)單調(diào)遞增.

χ∕(l)=l+w>0√^j=l-mln2≤l-∣ln2<0,

所以存在使得心?)=0,

當(dāng)x∈(0,X2)時(shí)，f'(x)<O,即f"(x)VO,則/'(X)在(0,檢)單調(diào)遞減;

當(dāng)Xe(X2,+∞)時(shí)，/(x)>0,即/"(x)>0,則“X)在(X2,+8)單調(diào)遞增;

所以f'(x)在X=X2處取得極小值.即X∣=X2,

.,2mmC

所以r(χ∕)=O,即1+/winxlH------------—0,x1∈

__I1m2mm(?-2x)?

所以l+zπl(wèi)nX[=--------=--------2----l-<°，

XJx1X1

令ScX)=I+minx,則S(X)在(O,+oo)單調(diào)遞增;

所以Sa力vo

因?yàn)?K)的零點(diǎn)為孫貝Ij1+"7InX0=。，即S(M)=O

所以S(XDVS(XO),所以XO>X1

4.(2022?全國(guó)?鄭州一中模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)=OrlnX(a≠0).

⑴討論函數(shù)F(X)的單調(diào)性;

⑵當(dāng)α=l時(shí),證明：/(x)<ejc+sinx-l.

【解析】(1)依題意知Xe(O,+∞),/'(x)=αlnx+α="(lnx+l),

令r(χ)=o得X=L,

e

當(dāng)α>O時(shí)?，在［。，J上/'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，在g,+aθ單調(diào)遞增；

當(dāng)“<0時(shí)，在(o,￡］上r(χ)>o,“X)單調(diào)遞增，在(J+Q∣單調(diào)遞減.

(2)依題意，要證XlnXVeA+sin%-1,

①當(dāng)O<x≤l時(shí)，xlnx≤0,ex-l+sinx>O，故原不等式成立，

②當(dāng)x〉l時(shí)，要證：x?nx<ex+sinx-l,即證：xl∏Λ-ev-sinx÷l<0?

令∕z(x)=xlnx-ev-sinx÷l(x>1),則Λ,(x)=］∏x-ex-cosx÷l,〃"(X)=--ex÷sinx<O,

〃'(x)在(1,+8)單調(diào)遞減，.?.〃'(x)v"(l)=l-e-coslv。，.?.〃(x)在(l,+oo)單調(diào)遞減，.?.

Λ(x)<∕z(l)=l-e-sinl<0,KPχln?-e?-sinx+l<0，故原不等式成立.

5.(2022?浙江?三模)已知實(shí)數(shù)α≥0,設(shè)函數(shù)/(x)=x2-2ax+?n(a+1)-(or-1)In?,x>0.

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)/O)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，求。的最大值；

(3)設(shè)冷電是一(“)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，七是/(X)的最大零點(diǎn).證明：—+一<x3.

X\X2

注：e=271828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

【答案】(DAx)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;(2)1；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)可直接求解函數(shù)AX)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由題意得尸(X)=2x+T-3"-αlnx≥0對(duì)任意的x∈(0,+e)的恒成立，即可求出”的最

大值.

(3)由(2)知，當(dāng)/(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)時(shí)，a>?,則/'(X)=O存在兩個(gè)零點(diǎn)4弓，故

2x∣H------α(3+In%)=0,

,二,由此可得出‘+'<2。，再證明：?>2a.

2

2X2+-----￡7(3÷Inx2)=0.?'?

“2

11

即可證明一十一<13。

x?x2

(1)當(dāng)α=0時(shí)，/(?)=X2+InAf?x)=2x+?>0,故/(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

X

(2)若函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，貝∣J∕'(x)=2x-24+絲二l-alnx=2x+^-3"-aInXzo對(duì)任意的

XX

x∈(0,+e)恒成立.

11_γ

令g(x)=lnx_(x_l),g，(x)=、_]=—^,

在((U)上g<x)>O,g(x)單增，在。,+⑹上g")<O,g(x)單減,

所以g(x)3Mg⑴=0，即InX≤x-l.

所以"》)=2》+工-34-山11壯2了+,-2+2)20在*€(0,+00)恒成立,

XX

則a≤充總在Xe(0,也)恒成立，

2/+12(2x+l)(x-l)

令h(x)=則H(X)=

X(X+2)X2(X+2)2

所以O(shè)<x<l時(shí)。'(x)<0,即〃(X)遞減，x>l時(shí)〃'(x)>0,即∕z(x)遞增，

故MX)≥A(1)=1,gpa≤l.

綜上，”的最大值是I.

(3)由于時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)/(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)時(shí)，?>1.

此時(shí)f'(x)=2x+--a(3+lnx),f"(x)=2--??--=——g~.

XXXX

于是/U)在0,空孚踵］上單調(diào)遞減，在a+^^,+∞上單調(diào)遞增.

當(dāng)X趨向To時(shí)，/")趨向于正無窮，∕,(l)=3-3a<0,X趨向于正無窮時(shí)，用耳趨向

于正無窮，則/'(X)=O存在兩個(gè)零點(diǎn)芭，2，

2xl+'-α(3+lnx∣)=0,

x?

不妨設(shè)％<1<%,也即/(x)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，故<

2X2+-^--〃(3+111工2)=0.

“2

Ix2-I

先估計(jì)5+十令MX)=Inχ2

X2+1

2(x2-l)2

〃'⑺告28x2(V+1)-8/

x(f+l)~X(X2+l)~x(x2+l)

則(x)=O=%=1,所以M%)在(OJ),(1,”)上單調(diào)遞增,

92_?

所以當(dāng)O<x<l時(shí)，A(x)<Λ(l)=O,則InX2<當(dāng)v二，

x2+l

當(dāng)x>l時(shí)，Λ(x)>A(I)=O,所以InX2>在二，

x^+l

α(YT)

2%+匚3〃=為謂<”(5T)

1x2'2X2+1x2+1

所以《111

?1?_ci2a2(巖一1)

2X2+3。=-InX2>一?—3

x222芍+1

由f(2a)=ln(α+1)-(2〃2-I)In24<?n2a-(2ci1-I)In2a=2(?-cr^?n2a<O,

X趨向于正無窮時(shí)，/O)趨向于正無窮，

故存在X0∈(24,+∞),∕(?)=0.

又M是/O)的最大零點(diǎn)，則“3之??>24>'+',得證！

?l

6.(2022?天津?靜海一中模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x?ln2m>0),

X

⑴若函數(shù)g(x)=e*在X=O處的切線也是函數(shù)JU)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)”的值；

(2)若函數(shù)/(x)的圖像恒在直線X-y+l=0的下方，求實(shí)數(shù)α的取值范圍；

42

⑶若x∣,x,€(@，W),且X產(chǎn)當(dāng)，證明：(??+x,)>axlx2

【答案】(l)α=e?

(2)(0,e2)

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)首先求出切線/的方程，然后設(shè)/與〃力相切時(shí)的切點(diǎn)為卜Xjn：),然后

可建立方程組求解；

(2)由題可得Xlnq-X-1<0對(duì)于χ>0恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)MX)=Xlnq-X-I

XX

的最大值即可;

(3)首先可得〃力=#112在(2，4上單調(diào)遞減，然后由Xa占+々<”可得

In五士三In」一，同理可得ln?^>土±三In'一，兩式相加即可證明.

X1玉xl+x2X2X2X∣+X2

(1)

g[x)=e',g(x)在x=0處切線斜率>=g'(0)=l,g(0)=l,所以切線Ly=x+1,

又「⑺=InE-1,設(shè)/與f(x)相切時(shí)的切點(diǎn)為卜入JnW■),則斜率.k=尸(Xo)=In,

則切線/的方程又可表示為y=(lnq-l](x-Λ0)+x0ln9=(lnq-lx+x°,

I?)?I廝)

|ln--1=1

由J與,解之得α=eL

[?=1

(2)

由題可得/(X)—x-l<0對(duì)于x>0恒成立，即XIng-X-1<0對(duì)于χ>0恒成立，

令〃(X)=Xln@-x-l,則〃(x)=ln@-2,由∕7'(x)=O得X=g,

a

X

卜危:e2

〃'(x)+O—

Λ(x)/極大值?

則當(dāng)時(shí)，〃(刈由得：

X>0max="[∕J=∕-L/-l<0,OVaVe2即實(shí)數(shù)。的取值范圍

?(θ,e2).

⑶由題知/'(x)=∣n∕-l,由/[x)=0得X=?,當(dāng)2<x<q時(shí)，∕,(x)<0,

=xlnq(4>0)單調(diào)遞減,

即玉Ing■〉(％+xjln---

因?yàn)閤∣<x∣+々<4,所以/(xl)>∕α+x2),

x1xl+X2

1ax÷xaax+x,a

所以方》二1T9m1瓦“①λ同理I1n鏟0玄，②

x+xX∣+X,a

①十②得In—FIn—>12+2In--------

X1X2x1+X2

因?yàn)?2+上+工≥4,

X1X2X1X2

由X]+X)<4得一-->1,g∣JIn--一>0,

^xl+x2X1+X2

2/X4

所以ln'+ln2>41n―-—,即/1_>―Ξ—,所以(χ∣+々)">/玉電.

&&王+々XIX2(Xl+工2)

7.(2021.浙江?高考真題)設(shè)α,〃為實(shí)數(shù)，且α>l,函數(shù)"x)=α'jχ+e2(xwR)

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意b>2∕,函數(shù)”x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求α的取值范圍；

(3)當(dāng)α=e時(shí)?，證明：對(duì)任意∕>>e4,函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)再,々,(々>為)，滿足

(注：e=2?71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】(1W≤O時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；b>O時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為1-8,IOg(IT絲],

V?naJ

單調(diào)增區(qū)間為(log“S，+s];

IIna)

⑵(l，e]；

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；

(2)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可

確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成

立.

【詳解】

⑴f(x)-a'-bx+e2,f(x)-a'\na-b,

①若6≤0,則f(x)=∕lnq-6≥0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增;

②若b>0,

當(dāng)Xe(YO,log.時(shí)，尸(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)Xe(Iog“含,時(shí)，,/"(χ)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上可得，∕2≤0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增；

6>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為18,1Og“含)單調(diào)增區(qū)間為(Iog“告,+∞)

⑵F(X)有2個(gè)不同零點(diǎn)=優(yōu)-辰+e2=O有2個(gè)不同解Oe'M"-for+/=O有2個(gè)不同的解,

令，=Xlnα,則d--^-+e2=0=>心-='+e,f>0,

IntzIntzt

記g?)=年,g⑺==一”,

記∕∣(Z)=e'(t-l)-e2,h(t)=e'(t-?)+e'-?=e'-t>0,

又∕z(2)=0,所以f∈(0,2)時(shí)，〃⑺<Oj∈(2,+8)時(shí)，A(Z)>0,

則g(f)在(0,2)單調(diào)遞減，(2,+8)單調(diào)遞增，；.二>8(2)=/,./。<與，

Inae

b>2e,.?.->2,.?.lnα≤2=>l<0≤e.

eτ"

即實(shí)數(shù)”的取值范圍是(I,。?］.

(3)［方法一］【最優(yōu)解】：

a=e,f(x)=ex-bx+e1^2個(gè)不同零點(diǎn)，則/+/=云，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).

由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為乙，較小者為4,

注點(diǎn)到雨數(shù)=￡<川(0.2)"U周詡減，的K「司(2.+萬卜邛調(diào)還嚕,

X

故西<2<々，又由e<e4知1>5,

ex'+e2Ie2Ie2

b=1<χn%<了'

要證工2>"n?'+—,只需W>ln?+-,

2ebb

χ2x

e2+e2e-J4

b，~~上且關(guān)于。的函數(shù)gQ)=h1∕>+J在。>e上單調(diào)遞增,

X2*2b

所以只需證々>E----卜2：(太2>5),

只需證In-In--------J>0,

2

x22e

2

只需證ln2>0,

2ex

4x

—<4,只需證〃(X)=InX--7-"ln2在χ>5時(shí)為正，

2爐

由于方(X)=L+4XeT-4e-*=-+4e-*(x-l)>0,故函數(shù)∕z(x)單調(diào)遞增，

又力(5)=ln5-2-ln2=ln>0,故〃(X)=InX-與-ln2在χ>5時(shí)為正，

e^2ee

從而題中的不等式得證.

［方法二］:分析+放縮法

“=ej(x)=e*-?r+e2有2個(gè)不同零點(diǎn)5,電，不妨設(shè)不<三，由/'(x)=e］-6得％<lnb<z

(其中l(wèi)n/?〉4).

2t22

且/(%)=e*-如+e=0,∕(?)=e-bx2+e=0.

要證空為+菅，只需證如七>誓如，即證e%>襄如，只需證

又/［半)=e手一，<0,所以&<去'即答<1.

所以只需證/>如SInb).而Inb>4,所以blnb>b,

又InSln?)>lnZ?,所以只需證又InSInb))<O.

所以/(InSinb^=h?nb-bln(/?In∕?)+e2=-ftInIn∕?+e2<-e4In4+e2<0,原命題得證.

1方法三1：

若α=e且萬>e3則滿足1<α≤e?且人>2e?,由(Il)知/(功有兩個(gè)零點(diǎn)不泡(3<馬)且

0<x1<ln?<x2.

X∕(2)=2e2-2?<0,故進(jìn)一步有O<%<2<lnb<X2?

山/(XJ=/(Λ?)=0可得e*'+e?=bx∣且e-=??-e2,從而

h?nhe2.b?nb.

x2>?^Γ^xι+了=g-e~2如

因?yàn)?"<2,

2

所以土e內(nèi)+奈e<1,

0

故只需證e”>?ln?o?x-e2>b?nbo>ln?+—.

9^b

又因?yàn)閄X)在區(qū)間(Inb,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證/In。+*<∕(%)=0,即

be7-ln?<0,注意b>e'時(shí)有J<e<4<[n∕√故不等式成立?

【整體點(diǎn)評(píng)】

本題第二、三問均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同

的處理方法，

方法一：宜接分析零點(diǎn)Xa當(dāng)，將要證明的不等式消元，代換為關(guān)于b的函數(shù)，再利用零

b

點(diǎn)反代法，換為關(guān)于演的不等式，移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析范圍.

方法二：通過分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險(xiǎn)！

方法三：利用兩次零點(diǎn)反代法，將不等式化簡(jiǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為/(lnb+1)與

0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.

8.(2022?浙江?樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e『Mx(x>0).

(1)求〃X)的極值點(diǎn).

⑵若有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)芭,W(0<芭<&)滿足/&)=/(々)=6

(i)求攵的取值范圍

2c—1

(ii)證明X廠2e≤e2一.

?i

【答案】(l)e1

(2)(i)(-?,θ];(ii)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可求得極小值點(diǎn)；(2)(?)將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,

同時(shí)要注意邊界；(ii)通過換元,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,從而獲得證明.

(1)

函數(shù)f(X)=e,ln*(x>0)的導(dǎo)函數(shù)為/'(X)=m"'(21nx+1).

當(dāng)xe[θ,e"?時(shí),Γ(X)<O,所以函數(shù)F(X)單調(diào)遞減；當(dāng)Xee^2,-κo時(shí)，∕,(x)>O,所以

函數(shù)F(X)單調(diào)遞增.

所以x.eW為了⑴的極值點(diǎn)?

(2)

因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)為,w(0<辦<電)滿足/α)=/(々)=1，所以

22

x1Inx1=x2?nx2=k.

⑴問題轉(zhuǎn)化為加(R)=X2InX-%在(0,+8)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則加(X)=X(1+21nx).

當(dāng)x∈0,e2時(shí)，Z√(X)VO,"Z(?E)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈e2,+∞時(shí)，加(x)>0,m(χ)單調(diào)遞增.

若加(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則必有皿「5)<0懈得：k>一《.

若QO,當(dāng)0<x<e~^時(shí)，〃z(x)=f加x一左≤dinX<0,無法保證m(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

1/??(

若---<Z<0,又加e?>0,we<0,m(?)=-k>Q,

2eV)1>

/?1

故存在XIEe?-,e2使得W(XJ=O,存在/￡降5,1)使得加(w)=°?

\7

綜上可知，k∈(-!?,o).

(ii)設(shè)I=X則/^(1,+8).將/二三代入玉21111玉=工22加工2，可得心石ln?=γ^-2

x↑x↑1—/"1—t~

(*).

e?-?

欲證：FQ≤e^^5-,需證[nj∕-2e≤]n±l即證Inx∣+(e2-2e)lnx2≤-5,將(*)代入，則

Λ2

IX12

有心士智電≤-E,則只需要證明：u+e2~2ennx≤-e(x>l),即

1-r21-x

,e(x-l)

lnx≥—?—^-(x>l).

x+e2-2e

2)TnX

構(gòu)造夕⑴=WHY+2,則(x+l)

x+1

(X)=U>D

ln^XeX2In3X

令"3=等一如總>1),則〃(X)=-患專<。.所以火x)<W)=0,則，(x)<0,

所以O(shè)(X)在(1,+00)內(nèi)單減.

又夕'(e)=0,所以當(dāng)XW(I,e)時(shí),有"(x)>0,°(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xw(e,+∞)時(shí),有質(zhì)(X)<0,

9(x)單調(diào)遞減；

所以夕(x)≤e(e)=O,Silt---≤e-2,即lnx≤。(丁)。>1).

Inxex+e-2e

綜上所述，命題得證.

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),

對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

9.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)/(同=/匚在區(qū)間(OM)上單調(diào).

(1)求”的最大值；

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，3∕(x)+l<e'.

【答案】(1)專

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過單調(diào)區(qū)間可求得結(jié)果.

(2)將問題轉(zhuǎn)化為證明再分別證明e*-l>x及Ax”：成立即可.

⑴

cosx(2+cosx)+sinXSinx2cosx÷l

由已知得，∕,ω=

(2+cosx)2(2+cosx)2

要使函數(shù)/(X)在區(qū)間(OM)上單調(diào)，可知在區(qū)間Oa)上單調(diào)遞增，

令r(x)>0,得28sx+l>θ,即CoSX>」

2

解得冗∈(一-W+2k九-^?+2k4),(Z∈Z),

當(dāng)&=O時(shí)滿足題意，此時(shí)，在區(qū)間(0,￡)上是單調(diào)遞增的，故”的最在值為年.

(2)

當(dāng)x>0時(shí)，要證明3∕(x)+l<e',即證明/(χ)<1,

而el>x,故需要證明/(x)<]<S

先證：土γ?土Qx」—1，(x>0)

33

1己尸(工)=?！币还ひ?,

F,(x)=eλ-1,

x∈((),一)時(shí)，F(xiàn)(X)>0,所以尸(%)在(0,+∞)上遞增,

.?.F(X)=e*-x-l>F(0)=0,

故e，—l>x,即二<目二L

33

Y

再證：/(?)<-,(%>0)

令G(X)=/3-；x,

則G(X)=-則G,(x)=三坐」=一(COSlI,

2+cosX3(2+cosx)33(2+cosx)

故對(duì)于VX>0,都有G(X)<0,因而G(X)在(0,+8)上遞減，

對(duì)于?x>0,都有G(X)<G(O)=O,

因此對(duì)于?x>0.都有/(x)<.

所以/a)<：<寧成立，即/O)<寧成立，

故原不等式成立.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵利用不等式e，-l>X放縮，從而使得問題得以順利解決.

10.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)f(x)=d-ITmnX.

⑴若/(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的值；

x>2

(2)當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，若/(8)+"々)=°，ι≠?>證明：xl+X2-

【答案】(1)加=2；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)對(duì)/(x)求導(dǎo)，討論加結(jié)合恒成立易得加>0,利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)的單調(diào)性并確定最值，

tn

令，=萬>0,構(gòu)造g(r)=r-ITlnt研究最值，根據(jù)恒成立即可求參數(shù).

(2)由題設(shè)得(XI+々)2=2(%々+1-InxlX2)，令Z=XlX2>0，構(gòu)造〃(Q=A+1TnA:并應(yīng)用導(dǎo)

數(shù)研究最值，結(jié)合已知即可證結(jié)論.

(1)

由題設(shè)，/'(X)=至二二且x>0,

X

當(dāng)τn≤O時(shí)J'(x)>O即/(x)遞增，而F(I)=0,

所以(0,D上/(x)<。不滿足題設(shè)：

當(dāng)〃??0時(shí)，在(0,字)上/'(X)<0,f(x)遞減，

在(軍,+0O)上((X)>0,/(x)遞增，

所以f(x)≥∕(字)，

故要使/(x)20恒成立，只需/(亨)=5-l-5ln^≥O,

令”萬>0,g(t)=t-l-tlnr,則g'(r)=-lnf,

當(dāng)O<t<l時(shí)g'(f)>O,g(f)遞增；當(dāng)f>l時(shí)g'Q)<O,g(f)遞減；

所以g(f)≤g⑴=0,

綜上，￡=1,可得機(jī)=2.

2

(2)

由題設(shè)，f(x)=Λ2-1+2InX,

貝IJ/(x∣)+/(Λ?)=X：+考一2+2InX1X2=0,

所以(χ∣+Λ?)2=2(XIX2+1-InXIX2)，

由XI,々>0,令&=XlX2>0，h(k)=k+?-]nk,

k-?

所以/7")=二」，

K

當(dāng)0<)<1時(shí)〃'伏)<0,〃(幻遞減；

當(dāng)％>1時(shí)川伏)>0,〃(%)遞增；

2

則〃(Z)≥∕z(l)=2,g∣J(xl+x2)≥2×2=4,又不+*2〉。，

所以X∣+X2≥2,當(dāng)XlX2=1時(shí)等號(hào)成立，即Xl=X2=1，而工產(chǎn)了2，

故x∣+x2>2.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(I)分類討論"?研究/(X)單調(diào)性，進(jìn)而得到了(X)最小值關(guān)于"?的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)研究最

小值的范圍，即可求參數(shù)；

(2)根據(jù)已知得到(石+々)2=2(%/+1-瓜國(guó)々)，構(gòu)造中間函數(shù)研究最值即可.

11.(2022?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(X)=e、_'"nx+x+l.

X

(1)若X=I是/(X)的極值點(diǎn)，求。；

(2)若α=l,證明：/(x)≥0.

【答案】(∣)e+l;

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)直接求導(dǎo)，山/'(D=O解出α=e+l,再檢驗(yàn)此時(shí)x=l是/(x)的極值點(diǎn)即可：

⑵將f(x)≥0轉(zhuǎn)化為證g(x)=xelni-l≥0,求導(dǎo)確定單調(diào)性,借助隱零點(diǎn)得XOe3=1,

x0=-?nx0,由g(x)≥g(%)=O即可證明.

(1)

由題意知x>0,、gl}x-(αlnx+x+l)…gx-1,則

fM=e-?-----乙--------?---------------=e?-----------?------

∕z(l)=e-((2-l)=0,解得α=e+l：

、”.∣e-(e+l)lnxx2et+(e+l)lnx-eW,.

當(dāng)α=e+lr時(shí)t，f(x)=er———=----------------,當(dāng)時(shí)r,t

XX

x2ex>e,(e+l)lnx>0,x2ev+(e+l)lnx-e>0,J"(x)>O,

當(dāng)OVXVI時(shí)，x2ev<e,(e+l)lnx<0,x2ev+(e+l)lnx-e<O,f?x)<O,則X=I是/(x)的

極值點(diǎn)，貝IJQ=e+1；

(2)

若Q=I,則/(x)=e)-".+X+I,g(x)=xex-?nx-x-i,則

X

,/、?1x(x+])e-l-x(x+l)(xev-l)

g，(X)=(X+l)e-J=△——L-----------=?——A--------L

XXX

令〃(X)=Xe`>0),則"(x)=(x+l)e*>0,又/7(；)=；小一l(θ,/j⑴=e-l>O,則存在

則Xoet?-1=0,XOeAb=1,ex°=—,Xo=IJ=-In%,則函數(shù)g(x)在(0,題)單減，?(?,-κo)

??o

單增,則g(x)≥g(??)=??e>=1+=0,則

/(x)=lH=e一處2≥0.

XX

12.(2022.山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=g(x)-InX.

(。若函數(shù)8^)=(/+^+〃]!^,討論/(X)的單調(diào)性.

⑵若函數(shù)g(x)=gχ2]χ2-χ[nχ+J,證明：/(尤)>1+；2.

【答案】(1)當(dāng)α≥l時(shí),外)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)“<l時(shí)J(X)在上單調(diào)遞減，在(1-。,+

8)上單調(diào)遞增；

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

⑴山題意可得/(x)=gχ2+辦+3-i)inx,求導(dǎo)，分α≥l和α<l討論即可；

⑵令/z(?)=x-lnx,利用導(dǎo)數(shù)確定A(x)的單調(diào)性并求出最小值，再令^(x)=x2-lnx,x>0,

利用導(dǎo)數(shù)確定9(x)的單調(diào)性并求出最小值即可得證.

(1)

解：因?yàn)?，所?(x)=gχ2+0x+(aT)lnx,

/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

a,、a-l(x+l)(x+a-l)

f(X)=x+α+——=----------------------

XX

當(dāng)αN1時(shí)，∕,(x)>0,∕(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)α<l時(shí)，若x∈(0,l-α),則/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減;

若Xe(l-a,+8),則f?x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)α≥l時(shí),兀r)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)α<l時(shí)癡)在(O,l-α)上單調(diào)遞減，在(1-。,+

8)上單調(diào)遞增；

(2)

1,Γ1^

證明：/(X)=-Λ^X(X-InX)+-----Inx.

2[_X

Y—1

設(shè)h(x)=x-lnx,則hf(x)=-----.

X

當(dāng)x∈(0,l)時(shí)，〃'(x)VOM(X)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(L÷O時(shí)，(X)單調(diào)遞增.

所以〃(X)min=〃⑴=LlnX≥1,

因此彳尸X(X-InX)H■—≥-x2?x-?■—]≥7χ2χ2=x~,當(dāng)且僅當(dāng)X=I時(shí)，等號(hào)成立.

2Lxj2VXJ2

設(shè)9(x)=χ2-inχ,χ>0,則d(χ)=~------.

X

當(dāng)Xe(0,孝時(shí)，a'(x)<0,夕(X)單調(diào)遞減：當(dāng)Xe?y-,+∞^[?,°'(x)>0,s(x)單調(diào)遞增.

(√2^1√2l+ln2

因此*(x)mh,=—=--∣∏-,

從而/(x)NMX)≥上詈，則/(x)≥號(hào)匚，

因?yàn)榻?，所?(x)2匕空中的等號(hào)不成立，

22

,,r/、1+In2

故/(χ)>-^―.

13.(2022?遼寧?沈陽二中模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)=:奴2_x-[nx(aeR).

⑴討論”x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)x≥l時(shí)，∣"x)∣≥2,求。的取值范圍；

〃11

⑶判斷Z「■與1--的大小，并證明.

&=2也攵n

【答案】(1)答案見解析

(2)(—∞,—2][6,+<x>)

〃1?

⑶Z丁7>1-一，證明見解析

送Inkn

【解析】

【分析】

(I)求出函數(shù)“X)的定義域，求得.(X)="X：XT,對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，分

析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)/(X)的增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)當(dāng)x≥l時(shí)，由∣∕(x)∣≥2可得Tar2-x-lnx4-2或;以2-x-lnxZ2,利用參變量分離

法可得出2。4王工匕或《”≥出學(xué)工對(duì)任意的x≥l恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出相應(yīng)函數(shù)

2X22χ-

的最值，即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)由(1)可知當(dāng)。=2時(shí)，X2-x>lnx>0,則J—>」二-,，然后利用不等式的可加

InxX-IX

II11

性可得出∑7~τ與I—2?的大小關(guān)系.

SIn?n

(1)

解：函數(shù)“力的定義域?yàn)?0,+功，f(χ?=ax-?--=aχl~x~x.

XX

當(dāng)α≤0時(shí)?，對(duì)任意的x>0,∕,(x)<0,此時(shí)函數(shù)“X)的減區(qū)間為(0,+勿)；

當(dāng)α>0時(shí)，方程以2—X-1=0在X>0時(shí)的解為X=I+，",。,

2a

由r(x)<O可得O<x<il姮?，由/(x)>0可得χ>l+抵布,

2a2a

此時(shí)，函數(shù)/(χ)的減區(qū)間為(0,匕生至],增區(qū)間為(匕坐9,+∞.

I20)I2aJ

綜上所述，當(dāng)"VO時(shí)，函數(shù)”X)的減區(qū)間為(0,+8)；

當(dāng)α>0時(shí)，函數(shù)”x)的減區(qū)間為°，匕票”，增區(qū)間為上當(dāng)亞，+8

⑵

解：當(dāng)x≥l時(shí)，由∣∕(x)∣≥2uj得g0r2-x-lnx≤-2或g0γ2-x-lnx≥2.

kl

若Iar2-χ-[nx≤-2對(duì)任意的χ≥l恒成立，則,≤J+∕2,

22%2

/、x+lnx-2....,.z5-x-lnx

令ag(x)=--一，其中x≥l,則mg'(x)x=-?—,

令P(X)=5-x-lnx,其中χ21,則"(x)=-l--<0,

所以，函數(shù)"(x)在[1,+8)上為減函數(shù)，

因?yàn)?(3)=2-ln3>O,∕7(4)=l-ln4<0,

所以，存在為∈(3,4),使得p(??)=O,

當(dāng)l≤x<x°時(shí)?，P(X)>0,即g<x)>O,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)X>Λ?時(shí),P(X)<0,BP√(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

且當(dāng)x>2時(shí)，g(x)>0,因?yàn)間⑴=-1,故當(dāng)x21時(shí)，g(x)mir,=g(I)=-L

?'?~a-~^<解得α≤-2；

若刎—任意的加恒成立，貝j≥匕尸,

令MX)="萼其中x≥l,則∕f(x)=-干產(chǎn)<0,

所以，函數(shù)妝可在口,侄)上單調(diào)遞減，當(dāng)x≥l時(shí)，∕7(x)nm=〃⑴=3,.gα≥3,解得αN6.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(—,-2]