篇首寄語(yǔ)我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但面對(duì)琳瑯滿目的資料時(shí)，總是費(fèi)時(shí)費(fèi)力才能找到自己心儀的那份，編者也常常為此苦惱。于是，編者就常想，如果是自己來(lái)創(chuàng)作一份資料又該怎樣？再結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際情況后，最終創(chuàng)作出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)講解，又適宜課后作業(yè)練習(xí)，還適宜階段復(fù)習(xí)的大綜合系列。《2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精煉高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。黃金無(wú)足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過(guò)程中有任何寶貴意見(jiàn)，請(qǐng)留言于我改進(jìn)，歡迎您的使用，謝謝！2023年9月20日2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列第一單元圓總集篇·十二種陰影部分面積法【十六大考點(diǎn)】專題解讀本專題是第一單元圓總集篇·十二種陰影部分面積法。本部分內(nèi)容考察含圓的不規(guī)則或組合圖形周長(zhǎng)以及陰影部分圖形面積，一共總結(jié)了十二種常見(jiàn)的求陰影部分圖形面積方法，屬于求不規(guī)則圖形、組合圖形、陰影部分圖形面積的總集合，考點(diǎn)和題型主要以圖形計(jì)算和應(yīng)用解答為主，考題綜合性強(qiáng)，難度極大，其中多數(shù)以思維拓展題型為主，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點(diǎn)考題，一共劃分為十六個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。目錄導(dǎo)航目錄TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其一：一般型 3【考點(diǎn)二】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其二：拓展型 4【考點(diǎn)三】陰影部分面積法其一：直接求法 6【考點(diǎn)四】陰影部分面積法其二：相加法（S陰影=S1+S2） 7【考點(diǎn)五】陰影部分面積法其三：相減法（S陰影=S整體-S空白） 8【考點(diǎn)六】陰影部分面積法其四：加減法與“混合型圖形”（S陰影=S1+S2-S3） 10【考點(diǎn)七】陰影部分面積法其五：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法） 11【考點(diǎn)八】陰影部分面積法其六：拼接法 12【考點(diǎn)九】陰影部分面積法其七：割補(bǔ)法 14【考點(diǎn)十】陰影部分面積法其八：重組法 15【考點(diǎn)十一】陰影部分面積法其九：等積轉(zhuǎn)化法 16【考點(diǎn)十二】陰影部分面積法其十：輔助線法 19【考點(diǎn)十三】陰影部分面積法其十一：容斥原理 20【考點(diǎn)十四】陰影部分面積法其十二：差不變?cè)?22【考點(diǎn)十五】陰影與圓環(huán)面積 24【考點(diǎn)十六】羊吃草問(wèn)題 25典型例題【考點(diǎn)一】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其一：一般型?！痉椒c(diǎn)撥】不規(guī)則或組合圖形的周長(zhǎng)，尋找該圖形是由哪些邊組合而成的，將這些邊的長(zhǎng)度相互加起來(lái)，注意觀察弧形是否可以組合一起構(gòu)成半圓或整圓?！镜湫屠}】求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：cm）（取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，已知圓心為O的半圓里還有兩個(gè)較小的半圓，其中半圓A的半徑為3cm，半圓B的半徑為1cm，求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：dm)【考點(diǎn)二】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其二：拓展型?！痉椒c(diǎn)撥】不規(guī)則或組合圖形的周長(zhǎng)，尋找該圖形是由哪些邊組合而成的，將這些邊的長(zhǎng)度相互加起來(lái)，注意觀察弧形是否可以組合一起構(gòu)成半圓或整圓?！镜湫屠}】將三根同樣粗細(xì)的圓木像下圖這樣用鐵絲在兩頭各捆一圈，如果每根圓木橫截面的直徑都是4分米，那么至少需要多長(zhǎng)的鐵絲？（接頭處忽略不計(jì)）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，將兩根直徑是15cm的鋼管用繩子捆在一起，每周需要繩子多少厘米？（接口處不計(jì)）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】用一根繩子把4個(gè)酒瓶捆扎起來(lái)（如下圖），酒瓶的外直徑是6厘米，打結(jié)處需要15厘米長(zhǎng)的繩子。問(wèn)這根繩子長(zhǎng)多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把一些同樣大小的圓柱形物體分別捆成如圖（從底面方向看）的形狀，圖中每個(gè)圓的直徑都為3厘米。（1）像這樣繼續(xù)捆下去，第④組至少需要（）厘米的繩子。請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）按照這樣的方法繼續(xù)捆下去，捆n組至少需要（）厘米的繩子。【考點(diǎn)三】陰影部分面積法其一：直接求法?！痉椒c(diǎn)撥】直接求法，即根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)，利用面積相關(guān)公式直接求出陰影部分的面積，是最為簡(jiǎn)單的求面積方法，熟練掌握?qǐng)D形面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?！镜湫屠}】求圓的面積和周長(zhǎng)。（單位：m)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求圓的周長(zhǎng)和面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面各圓的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求下面各圓的周長(zhǎng)。（單位：cm)【考點(diǎn)四】陰影部分面積法其二：相加法（S陰影=S1+S2）?！痉椒c(diǎn)撥】相加法，即加法分割思路，把所求陰影部分面積分割成幾塊能用公式計(jì)算的規(guī)則圖形（三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、圓、扇形），分別計(jì)算出面積，并相加得出陰影部分的面積?！镜湫屠}】求下面圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】圖中愛(ài)心是由一個(gè)正方形和兩個(gè)半圓拼成的，請(qǐng)計(jì)算出它的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算如圖圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【考點(diǎn)五】陰影部分面積法其三：相減法（S陰影=S整體-S空白）?！痉椒c(diǎn)撥】相減法，即減法拓展思路，是把不規(guī)則圖形陰影部分面積拓展到包含陰影部分的規(guī)則圖形中進(jìn)行分析，通過(guò)計(jì)算這個(gè)規(guī)則圖形的面積和規(guī)則圖形中除陰影部分面積之外多余的面積，運(yùn)用“總的”減去“部分的”方法解得答案?！镜湫屠}1】基礎(chǔ)型。求圖中陰影部分的面積。（單位：cm）【典型例題2】提高型。如圖，直角三角形ABC的面積為12平方厘米，半圓以BC為直徑，求陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積。（單位：cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算下面圖形中陰影部分的面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算下面圖形中陰影部分的面積。（單位：m)【考點(diǎn)六】陰影部分面積法其四：加減法與“混合型圖形”（S陰影=S1+S2-S3）?！痉椒c(diǎn)撥】混合型圖形處理起來(lái)非常困難，可以首先觀察圖形，然后合理分解成部分可求的圖形，最后再相加或相減?！镜湫屠}】已知正方形的邊長(zhǎng)是8cm，計(jì)算圖中陰影部分的面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，O為圓心，AB＝BC＝8厘米，求陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，兩個(gè)相連的正方形的邊長(zhǎng)是8厘米和3厘米，求陰影部分的面積。（結(jié)果保留）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖中的圓是以O(shè)為圓心、半徑是10厘米的圓，求陰影部分的面積?！究键c(diǎn)七】陰影部分面積法其五：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法）?！痉椒c(diǎn)撥】旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法），即根據(jù)圖形的特征，將原圖的某一部分進(jìn)行翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)，最后得到便于求解的新圖形?！镜湫屠}】求下圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)】求圖中涂色部分的面積。【考點(diǎn)八】陰影部分面積法其六：拼接法?！痉椒c(diǎn)撥】拼接法，即在部分扇形半徑相等的情況下，可以通過(guò)移動(dòng)扇形，把扇形拼接成一個(gè)整體?！镜湫屠}1】三個(gè)扇形的半徑均為6cm，π取3.14，求下圖中陰影部分的面積。

【典型例題2】求如圖中陰影部分的面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】

如圖，四個(gè)扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】

如圖，三個(gè)扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，圖中四個(gè)等圓的周長(zhǎng)都是50.24厘米，求陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)4】計(jì)算陰影部分面積。（單位：cm)（取3.14）【考點(diǎn)九】陰影部分面積法其七：割補(bǔ)法?！痉椒c(diǎn)撥】割補(bǔ)法，即分割拼補(bǔ)的思路，是把不規(guī)則的陰影面積通過(guò)分割和拼補(bǔ)，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形?！镜湫屠}】求陰影部分面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】求陰影部分的面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【考點(diǎn)十】陰影部分面積法其八：重組法?！痉椒c(diǎn)撥】重組法，即根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要把原來(lái)圖形拆開，并加以重新組合，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形，然后結(jié)合相減法求出陰影面積?！镜湫屠}】如圖，大圓半徑R=8厘米，小圓的半徑r=4厘米．求陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】求陰影部分的面積。（單位：厘米）【考點(diǎn)十一】陰影部分面積法其九：等積轉(zhuǎn)化法?！痉椒c(diǎn)撥】等積轉(zhuǎn)化法，即通過(guò)平面圖形之間的等積變換，化難為易，求出陰影部分的面積，要注意分析長(zhǎng)方形、正方形、三角形面積公式與圓的面積的共同特點(diǎn)，以達(dá)到合理轉(zhuǎn)化?！镜湫屠}1】圓與正方形的等積轉(zhuǎn)化。如圖，以圓的半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積是10平方厘米，則圓的面積是（）平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】下中正方形部分是一個(gè)水池，其余部分是草坪。已知正方形的面積是225m2，草坪的面積是多少平方米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】已知下圖正方形的面積是50平方分米，圓的面積是（）平方分米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，已知正方形的面積是9cm2，這個(gè)圓的面積是（)cm2。【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】如圖中正方形的面積是16平方厘米，圓形的面積是（）平方厘米?！镜湫屠}2】圓與長(zhǎng)方形的等積轉(zhuǎn)化。如圖，圓的面積與長(zhǎng)方形的面積相等，圓的半徑是3cm，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是（)cm?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，圓的面積和長(zhǎng)方形的面積相等，如果圓的半徑是6厘米，那么長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，圓的周長(zhǎng)是18.84厘米，圓的面積等于長(zhǎng)方形的面積，那么陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，長(zhǎng)方形面積和圓面積相等，已知圓的半徑是3厘米，求陰影部分的面積和周長(zhǎng)?！镜湫屠}3】圓與三角形的等積轉(zhuǎn)化。如圖中，直角三角形（陰影部分）的面積是12平方厘米，圓的面積是（）平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖中等腰直角三角形的兩條直角邊正好是半徑，三角形的面積是20平方厘米，圖中空白部分的面積是多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】圖中，三角形的面積是8平方厘米，求涂色部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，已知三角形OAB的面積是18平方厘米，求陰影部分的面積。【考點(diǎn)十二】陰影部分面積法其十：輔助線法?！痉椒c(diǎn)撥】輔助線法，即在通常手段無(wú)法求出陰影部分面積時(shí)，需要嘗試使用添加輔助線的方法解決?！镜湫屠}】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（π取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算下圖中陰影部分的面積。（單位：cm)

【考點(diǎn)十三】陰影部分面積法其十一：容斥原理。【方法點(diǎn)撥】容斥原理，即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個(gè)規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，利用分層把重疊部分分出來(lái)，組成重疊圖形各個(gè)規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積?！镜湫屠}】求下面陰影部分的面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積。（單位：cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA為半徑的圓的一部分，，求圖中陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】下圖中，底邊和高都是6厘米的等腰三角形，分別以高的長(zhǎng)為直徑畫圓，以底的一半長(zhǎng)為直徑畫兩個(gè)半圓，求陰影部分的面積。（π取3.14）【考點(diǎn)十四】陰影部分面積法其十二：差不變?cè)?。【方法點(diǎn)撥】差不變思想，即利用等式的性質(zhì)來(lái)求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可?！镜湫屠}1】如圖，是一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)半徑為4厘米、圓心角為90°的扇形拼成的圖形，利用差不變思想計(jì)算下圖中兩個(gè)陰影部分的差是多少平方厘米？【典型例題2】如圖，半圓的直徑是10厘米，陰影部分甲比乙的面積少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的邊OA的長(zhǎng)。【典型例題3】如下圖，甲、乙兩個(gè)陰影部分面積相等，BC長(zhǎng)是8厘米，求AB長(zhǎng)是多少厘米？（本題π取值為3）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖中，涂色部分甲比乙的面積大。求的長(zhǎng)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，三角形ABC是直角三角形，AB長(zhǎng)20厘米，如果陰影（I）的面積比陰影（II）的面積大37平方厘米，求BC的長(zhǎng)。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，已知：S1比S2多28平方厘米，求BC長(zhǎng)多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】如圖，三角形ABC是直角三角形，陰影部分①的面積比陰影部分②的面積小23平方厘米。求BC的長(zhǎng)度。【考點(diǎn)十五】陰影與圓環(huán)面積?！痉椒c(diǎn)撥】圓環(huán)的面積：S=πR2-πr2。【典型例題】下圖中陰影部分的面積是8dm2，圖中圓環(huán)的面積是（)dm2。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】圖中陰影部分的面積是15平方厘米，求環(huán)形的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖中陰影部分的面積是120平方厘米，圓環(huán)的面積是多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，陰影部分的面積是60平方厘米，求環(huán)形的面積。【考點(diǎn)十六】羊吃草問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】羊吃草問(wèn)題難度極大，該題型關(guān)鍵在于畫出羊吃草的范圍圖，部分較復(fù)雜的問(wèn)題是由多個(gè)不同部分的圖形組成，需要分開計(jì)算面積?！镜湫屠}1】“基礎(chǔ)型”。在一塊草坪地的木樁上拴著一只羊，繩長(zhǎng)2米，這只羊最多能吃著草地的面積是多少平方米？【典型例題2】“拓展型”其一。草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20m，寬10m的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30m的繩子拴著一只羊（見(jiàn)右圖），這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？【典型例題3】“拓展型”其二。墻角O點(diǎn)處有一木樁上拴著一只羊（如圖），拴羊的繩子長(zhǎng)4m，墻角兩邊的墻長(zhǎng)2m。問(wèn)這只羊能吃到草的面積最多是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，一只狗被縛在一建筑物的墻角O處，這個(gè)建筑物是邊長(zhǎng)600厘米的正方形，縛狗的繩子長(zhǎng)20米．現(xiàn)在狗從A點(diǎn)出發(fā)，將繩拉緊順時(shí)針跑，可跑多少米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一塊正方形的草地，邊長(zhǎng)是3米，在兩個(gè)對(duì)角的頂點(diǎn)處各種一棵樹，樹上各拴一只羊，拴羊的繩子都是3米。這兩只羊都能吃到的草的面積有多大？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一塊正方形的草地，邊長(zhǎng)4米，一對(duì)角線的兩個(gè)頂點(diǎn)各有一棵樹，樹上各拴著一只羊，栓羊的繩子長(zhǎng)都是4米，兩只羊都能吃到草的草地的面積是多少平方米？

篇首寄語(yǔ)我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但面對(duì)琳瑯滿目的資料時(shí)，總是費(fèi)時(shí)費(fèi)力才能找到自己心儀的那份，編者也常常為此苦惱。于是，編者就常想，如果是自己來(lái)創(chuàng)作一份資料又該怎樣？再結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際情況后，最終創(chuàng)作出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)講解，又適宜課后作業(yè)練習(xí)，還適宜階段復(fù)習(xí)的大綜合系列?！?024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精煉高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。黃金無(wú)足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過(guò)程中有任何寶貴意見(jiàn)，請(qǐng)留言于我改進(jìn)，歡迎您的使用，謝謝！2023年9月20日2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列第一單元圓總集篇·十二種陰影部分面積法【十六大考點(diǎn)】專題解讀本專題是第一單元圓總集篇·十二種陰影部分面積法。本部分內(nèi)容考察含圓的不規(guī)則或組合圖形周長(zhǎng)以及陰影部分圖形面積，一共總結(jié)了十二種常見(jiàn)的求陰影部分圖形面積方法，屬于求不規(guī)則圖形、組合圖形、陰影部分圖形面積的總集合，考點(diǎn)和題型主要以圖形計(jì)算和應(yīng)用解答為主，考題綜合性強(qiáng)，難度極大，其中多數(shù)以思維拓展題型為主，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點(diǎn)考題，一共劃分為十六個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。目錄導(dǎo)航目錄TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其一：一般型 3【考點(diǎn)二】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其二：拓展型 5【考點(diǎn)三】陰影部分面積法其一：直接求法 8【考點(diǎn)四】陰影部分面積法其二：相加法（S陰影=S1+S2） 11【考點(diǎn)五】陰影部分面積法其三：相減法（S陰影=S整體-S空白） 14【考點(diǎn)六】陰影部分面積法其四：加減法與“混合型圖形”（S陰影=S1+S2-S3） 17【考點(diǎn)七】陰影部分面積法其五：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法） 20【考點(diǎn)八】陰影部分面積法其六：拼接法 21【考點(diǎn)九】陰影部分面積法其七：割補(bǔ)法 23【考點(diǎn)十】陰影部分面積法其八：重組法 26【考點(diǎn)十一】陰影部分面積法其九：等積轉(zhuǎn)化法 28【考點(diǎn)十二】陰影部分面積法其十：輔助線法 33【考點(diǎn)十三】陰影部分面積法其十一：容斥原理 36【考點(diǎn)十四】陰影部分面積法其十二：差不變?cè)?39【考點(diǎn)十五】陰影與圓環(huán)面積 43【考點(diǎn)十六】羊吃草問(wèn)題 45典型例題【考點(diǎn)一】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其一：一般型?！痉椒c(diǎn)撥】不規(guī)則或組合圖形的周長(zhǎng)，尋找該圖形是由哪些邊組合而成的，將這些邊的長(zhǎng)度相互加起來(lái)，注意觀察弧形是否可以組合一起構(gòu)成半圓或整圓?！镜湫屠}】求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：cm）（取3.14）解析：大半圓?。?.14×12÷2＝37.68÷2＝18.84（cm）小半圓?。?.14×8÷2＝25.12÷2＝12.56（cm）18.84＋12.56＋（12－8）＝31.4＋4＝35.4（cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：cm)解析：3.14×(3+5)÷2+3.14×3÷2+3.14×5÷2=12.56+4.71+7.85=25.12(cm)【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，已知圓心為O的半圓里還有兩個(gè)較小的半圓，其中半圓A的半徑為3cm，半圓B的半徑為1cm，求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：cm)解析：圓O的直徑：3×2＋1×2＝8（厘米）；圓A的直徑：3×2＝6（厘米）；圓B的直徑：1×2＝2（厘米）陰影部分的周長(zhǎng)：3.14×8÷2＋3.14×6÷2＋3.14×2÷2＝12.56＋9.42＋3.14＝25.12（厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：dm)解析：24×2＋16＋3.14×16÷2＝48＋16＋25.12＝64＋25.12＝89.12（dm）【考點(diǎn)二】不規(guī)則圖形或組合圖形的周長(zhǎng)其二：拓展型?！痉椒c(diǎn)撥】不規(guī)則或組合圖形的周長(zhǎng)，尋找該圖形是由哪些邊組合而成的，將這些邊的長(zhǎng)度相互加起來(lái)，注意觀察弧形是否可以組合一起構(gòu)成半圓或整圓?！镜湫屠}】將三根同樣粗細(xì)的圓木像下圖這樣用鐵絲在兩頭各捆一圈，如果每根圓木橫截面的直徑都是4分米，那么至少需要多長(zhǎng)的鐵絲？（接頭處忽略不計(jì)）解析：（4×3＋3.14×4）×2＝（12＋12.56）×2＝24.56×2＝49.12（分米）答：至少需要49.12分米的鐵絲。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，將兩根直徑是15cm的鋼管用繩子捆在一起，每周需要繩子多少厘米？（接口處不計(jì)）解析：3.14×15＋15×2＝47.1＋30＝77.1（cm）答：每周需要繩子77.1厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】用一根繩子把4個(gè)酒瓶捆扎起來(lái)（如下圖），酒瓶的外直徑是6厘米，打結(jié)處需要15厘米長(zhǎng)的繩子。問(wèn)這根繩子長(zhǎng)多少厘米？解析：6×4＋3.14×6＋15＝24＋18.84＋15＝57.84（厘米）答：這根繩子長(zhǎng)57.84厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】把一些同樣大小的圓柱形物體分別捆成如圖（從底面方向看）的形狀，圖中每個(gè)圓的直徑都為3厘米。（1）像這樣繼續(xù)捆下去，第④組至少需要（）厘米的繩子。請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）按照這樣的方法繼續(xù)捆下去，捆n組至少需要（）厘米的繩子?！敬鸢浮浚?）57.42，理由見(jiàn)詳解（2）（9.42＋12n）【分析】如下圖所示，第1組中，四個(gè)角落為4個(gè)的圓，其可以組成一個(gè)完整的圓，可以算出一個(gè)圓的周長(zhǎng)，其次在兩個(gè)圓中間的部分，其長(zhǎng)度是由兩個(gè)圓的半徑組成，則可以組成為一個(gè)直徑，圖中有4條邊，那么共有4條直徑，則周長(zhǎng)為：一個(gè)圓的周長(zhǎng)＋4條直徑的長(zhǎng)度；第2組與第1組的區(qū)別為每邊中間多了一個(gè)圓，即每條邊多了一條直徑，則比第一組多了4條直徑，則周長(zhǎng)為：一個(gè)圓的周長(zhǎng)＋8條直徑的長(zhǎng)度第3組與第2組比較，每條邊又多了1個(gè)圓，則周長(zhǎng)比第2組又多了4條直徑，則周長(zhǎng)為：一個(gè)圓的周長(zhǎng)＋12條直徑的長(zhǎng)度；由以上分析可得，每增加一組都會(huì)增加4條直徑，第1組為4條直徑，第2組為2×4條直徑，第3組為3×4條直徑，由此規(guī)律可得第n組為n×4條直徑，則可以推算出第n組的周長(zhǎng)為：一個(gè)圓的周長(zhǎng)＋4n條直徑的長(zhǎng)度，已知一個(gè)圓的直徑為3厘米，則可以推算出第n組的周長(zhǎng)為：一個(gè)圓的周長(zhǎng)＋3×4n，即一個(gè)圓的周長(zhǎng)＋12n，據(jù)此即可解答。【詳解】（1）理由：第①組：3×3.14＋12×1＝9.42＋12＝21.42（厘米）第②組3×3.14＋12×2＝9.42＋24＝33.42（厘米）第③組3×3.14＋12×3＝9.42＋36＝45.42（厘米）第④組3×3.14＋12×4＝9.42＋48＝57.42（厘米）（2）3×3.14＋3×4×n＝（9.42＋12n）厘米【點(diǎn)睛】此題難度較大，找到圖中每增加一組與增加直徑的關(guān)系為解題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)三】陰影部分面積法其一：直接求法。【方法點(diǎn)撥】直接求法，即根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)，利用面積相關(guān)公式直接求出陰影部分的面積，是最為簡(jiǎn)單的求面積方法，熟練掌握?qǐng)D形面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?！镜湫屠}】求圓的面積和周長(zhǎng)。（單位：m)

【答案】12.56平方米；12.56米【分析】根據(jù)題意可知，圓的直徑為4米，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝，代入數(shù)據(jù)求出圓的周長(zhǎng)；圓的半徑為（4÷2）米，根據(jù)圓的面積公式：S＝，代入數(shù)據(jù)求出圓的面積?！驹斀狻?÷2＝2（米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）3.14×4＝12.56（米）即圓的面積是12.56平方米，圓的周長(zhǎng)是12.56米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求圓的周長(zhǎng)和面積。（單位：厘米）【答案】20.096厘米；32.1536平方厘米；28.26厘米；63.585平方厘米【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝或C＝，圓的面積公式：S＝，已知圖1圓的半徑為3.2厘米，圖2的直徑為9厘米，半徑為（9÷2）厘米，代入到公式中，分別求出圓的周長(zhǎng)和面積?！驹斀狻?×3.14×3.2＝6.28×3.2＝20.096（厘米）3.14×3.22＝3.14×10.24＝32.1536（平方厘米）圖1中圓的周長(zhǎng)是20.096厘米，面積是32.1536平方厘米。3.14×9＝28.26（厘米）3.14×（9÷2）2＝3.14×4.52＝3.14×20.25＝63.585（平方厘米）圖2中圓的周長(zhǎng)是28.26厘米，面積是63.585平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面各圓的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)

【答案】左圖：周長(zhǎng)是31.4厘米；面積是78.5平方厘米右圖：周長(zhǎng)是18.84厘米；面積是28.26平方厘米【分析】（1）已知直徑，可根據(jù)圓的周長(zhǎng)求出圓的周長(zhǎng)；根據(jù)圓的面積求出圓的面積。（2）已知半徑，可根據(jù)圓的周長(zhǎng)求出圓的周長(zhǎng)；根據(jù)圓的面積求出圓的面積?！驹斀狻孔髨D：周長(zhǎng)：3.14×10＝31.4（厘米）面積：3.14×（10÷2）2＝3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）右圖：周長(zhǎng)：2×3.14×3＝18.84（厘米）面積：3.14×33＝3.14×9＝28.26（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求下面各圓的周長(zhǎng)。（單位：cm)【答案】18.84cm；18.84cm；31.4cm【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr、C＝πd，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻浚?）2×3.14×3＝18.84（cm）圓的周長(zhǎng)是18.84cm。（2）3.14×6＝18.84（cm）圓的周長(zhǎng)是18.84cm。（3）2×3.14×5＝31.4（cm）圓的周長(zhǎng)是31.4cm?！究键c(diǎn)四】陰影部分面積法其二：相加法（S陰影=S1+S2）?！痉椒c(diǎn)撥】相加法，即加法分割思路，把所求陰影部分面積分割成幾塊能用公式計(jì)算的規(guī)則圖形（三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、圓、扇形），分別計(jì)算出面積，并相加得出陰影部分的面積?！镜湫屠}】求下面圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【答案】63.7cm；218.5cm2【分析】組合圖形的周長(zhǎng)＝長(zhǎng)方形周長(zhǎng)＋圓的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2，圓的周長(zhǎng)＝2πr；組合圖形的面積＝長(zhǎng)方形面積＋圓的面積，長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，圓的面積＝πr2，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻浚?4＋10）×2＋2×3.14×10×＝24×2＋15.7＝48＋15.7＝63.7（cm）14×10＋3.14×102×＝140＋3.14×100×＝140＋78.5＝218.5（cm2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】圖中愛(ài)心是由一個(gè)正方形和兩個(gè)半圓拼成的，請(qǐng)計(jì)算出它的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【答案】20.56cm；28.56cm2【分析】組合圖形的周長(zhǎng)＝圓的周長(zhǎng)＋正方形邊長(zhǎng)×2，圓的周長(zhǎng)＝πd；組合圖形的面積＝圓的面積＋正方形面積，圓的面積＝πr2，正方形面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻?.14×4＋4×2＝12.56＋8＝20.56（cm）3.14×（4÷2）2＋4×4＝3.14×22＋16＝3.14×4＋16＝12.56＋16＝28.56（cm2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【答案】周長(zhǎng)：245.6厘米；面積：3656平方厘米【分析】組合圖形的周長(zhǎng)是由一個(gè)直徑為40厘米的圓的周長(zhǎng)和兩條長(zhǎng)為60厘米的長(zhǎng)組合而成，利用圓的周長(zhǎng)公式求出這個(gè)圓的周長(zhǎng)，再加上（60×2）厘米，即可求出組合圖形的周長(zhǎng)；組合圖形的面積是由一個(gè)半徑為（40÷2）厘米的圓的面積和一個(gè)長(zhǎng)為60厘米，寬為40厘米的長(zhǎng)方形的面積組合而成，分別利用圓的面積和長(zhǎng)方形的面積公式求出這兩個(gè)圖形的面積，再相加即可求出組合圖形的面積?！驹斀狻?.14×40＋60×2＝125.6＋120＝245.6（厘米）3.14×（40÷2）2＋60×40＝3.14×202＋2400＝3.14×400＋2400＝1256＋2400＝3656（平方厘米）即圖形的周長(zhǎng)是245.6厘米，面積是3656平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算如圖圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【答案】35.7厘米；89.25平方厘米【分析】通過(guò)觀察可知本題的圖形可以分成一個(gè)半圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形，計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，計(jì)算出半徑為5厘米的一個(gè)圓周長(zhǎng)的一半，再加上長(zhǎng)方形的一個(gè)長(zhǎng)和兩個(gè)寬，計(jì)算面積時(shí)，計(jì)算出一個(gè)半圓的面積再加上一個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可?！驹斀狻恐荛L(zhǎng)：3.14×2×5÷2＋5×4＝15.7＋20＝35.7（厘米）面積：3.14×52÷2＋2×5×5＝3.14×25÷2＋2×5×5＝39.25＋50＝89.25（平方厘米）圖形的周長(zhǎng)為35.7厘米；面積為89.25平方厘米。【考點(diǎn)五】陰影部分面積法其三：相減法（S陰影=S整體-S空白）?！痉椒c(diǎn)撥】相減法，即減法拓展思路，是把不規(guī)則圖形陰影部分面積拓展到包含陰影部分的規(guī)則圖形中進(jìn)行分析，通過(guò)計(jì)算這個(gè)規(guī)則圖形的面積和規(guī)則圖形中除陰影部分面積之外多余的面積，運(yùn)用“總的”減去“部分的”方法解得答案。【典型例題1】基礎(chǔ)型。求圖中陰影部分的面積。（單位：cm）解析：3.14×82÷2﹣（8+8）×8÷2=3.14×64÷2﹣16×8÷2=100.48﹣64=36.48（平方厘米）答：陰影部分的面積是36.48平方厘米?！镜湫屠}2】提高型。如圖，直角三角形ABC的面積為12平方厘米，半圓以BC為直徑，求陰影部分的面積。解析：觀察圖形可知，直角三角形也是等腰三角形，所以BC＝AC＝半圓的直徑d＝2r；根據(jù)“三角形的面積＝底×高÷2”可求出半徑的平方，代入圓的面積公式S＝πr2，再除以2，即半圓的面積；根據(jù)陰影部分的面積＝半圓的面積－直角三角形ABC面積的一半，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。解：設(shè)半圓的半徑為r厘米。2r×2r÷2＝124r2÷2＝122r2＝12r2＝12÷2r2＝6陰影部分的面積：3.14×6÷2－12÷2＝18.84÷2－6＝9.42－6＝3.42（平方厘米）答：陰影部分的面積是3.42平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積。（單位：cm）解析：8÷2=4（厘米）（8+12）×4÷2﹣3.14×42÷2=40﹣25.12=14.88（平方厘米）答：陰影部分的面積是14.88平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算下面圖形中陰影部分的面積。（單位：cm)解析：

×3.14×[（2＋4）÷2]2－×3.14×（2÷2）2－×3.14×（4÷2）2＝×3.14×9－×3.14×1－×3.14×4＝×3.14×（9－1－4）＝×3.14×4＝6.28（cm2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算下面圖形中陰影部分的面積。（單位：m)解析：6×6－3.14×（6÷2）2＝36－3.14×32＝36－3.14×9＝36－28.26＝7.74（m2）【考點(diǎn)六】陰影部分面積法其四：加減法與“混合型圖形”（S陰影=S1+S2-S3）?！痉椒c(diǎn)撥】混合型圖形處理起來(lái)非常困難，可以首先觀察圖形，然后合理分解成部分可求的圖形，最后再相加或相減。【典型例題】已知正方形的邊長(zhǎng)是8cm，計(jì)算圖中陰影部分的面積?！敬鸢浮?8.88cm2【詳解】略【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，O為圓心，AB＝BC＝8厘米，求陰影部分的面積?！敬鸢浮?0.56平方厘米【分析】如圖，將陰影部分進(jìn)行拆分，先計(jì)算弓形面積，再計(jì)算三角形面積，相加的陰影部分的面積?！驹斀狻咳鐖D所示，弓形面積可以用圓的面積減去三角形面積，右圖三角形面積直接利用底和高來(lái)計(jì)算；（厘米）（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，兩個(gè)相連的正方形的邊長(zhǎng)是8厘米和3厘米，求陰影部分的面積。（結(jié)果保留）【答案】【分析】陰影部分包括大正方形里面的和小正方形里面的兩部分。其中，大正方形里面的陰影部分等于半徑為8厘米的扇形面積減去空白小扇形（半徑為8－3＝5厘米）的面積，小正方形里面的陰影部分等于正方形的面積減去半徑為3厘米的扇形面積，最后把兩部分陰影加起來(lái)即整個(gè)陰影部分的面積。根據(jù)圓的面積＝πr2，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)求出各部分的面積?！驹斀狻喀小?2÷4－π×（8－3）2÷4＝16π－π＝π（平方厘米）3×3－π×32÷4＝9－π（平方厘米）π＋9－π＝【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖中的圓是以O(shè)為圓心、半徑是10厘米的圓，求陰影部分的面積?！敬鸢浮?00平方厘米【分析】由圖意可知：陰影部分的面積＝半徑為10厘米的圓面積的﹣（半徑為AC的圓的面積﹣三角形ABC的面積），又因AB＝20厘米，OC＝10厘米，從而可以依據(jù)三角形ABC的面積求出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得陰影部分的面積．【詳解】三角形ABC的面積為：所以AC2÷2＝AB×OC÷2＝10×2×10÷2＝100（平方厘米）由上面計(jì)算可得：AC2＝100×2＝200，所以陰影部分的面積是：3.14×10×10÷2﹣（×3.14×200﹣100）＝157﹣（157﹣100）＝157﹣57＝100（平方厘米）答：陰影部分的面積是100平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查圓的面積與扇形的面積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)三角形ABC的面積得出AC2的值?！究键c(diǎn)七】陰影部分面積法其五：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法）。【方法點(diǎn)撥】旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法），即根據(jù)圖形的特征，將原圖的某一部分進(jìn)行翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)，最后得到便于求解的新圖形?！镜湫屠}】求下圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm）【答案】；【分析】結(jié)合圖示可知，①陰影部分周長(zhǎng)由6段弧及一條正方形的邊長(zhǎng)組成，且每段弧長(zhǎng)是整個(gè)圓的周長(zhǎng)的，故可列式為：；②將左邊的陰影部分繞正方形的中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，恰好與右邊的合為半圓，即陰影部分面積就是半圓的面積，故可列式為：?！驹斀狻俊緦?duì)應(yīng)練習(xí)】求圖中涂色部分的面積?！敬鸢浮?.785【分析】圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼在一起，此圖中的陰影部分可以通過(guò)切割旋轉(zhuǎn)的方法將其拼成一個(gè)圓（即把左邊正方形的陰影部分旋轉(zhuǎn)到右邊正方形的下部分），然后根據(jù)圓的面積公式，求解即可?！驹斀狻?.14×12×＝0.785【點(diǎn)睛】本題主要是對(duì)平面圖形的綜合考查，一定要擁有轉(zhuǎn)化的思想，并且對(duì)旋轉(zhuǎn)、平移、等積變形等方法要理解以及靈活應(yīng)用?！究键c(diǎn)八】陰影部分面積法其六：拼接法?！痉椒c(diǎn)撥】拼接法，即在部分扇形半徑相等的情況下，可以通過(guò)移動(dòng)扇形，把扇形拼接成一個(gè)整體?！镜湫屠}1】三個(gè)扇形的半徑均為6cm，π取3.14，求下圖中陰影部分的面積。

解析：3.14×62÷2=56.52（cm2）?！镜湫屠}2】求如圖中陰影部分的面積。（單位：cm)解析：3.14×（4÷2）2×2＝3.14×4×2＝25.12（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】

如圖，四個(gè)扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：四邊形的內(nèi)角和為360°，四個(gè)扇形正好可以拼成一個(gè)圓。S陰影=S梯形-S圓（4+7）×4÷2-3.14×（4÷2）2=22-12.56=9.44（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】

如圖，三個(gè)扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：3.14×32÷2=14.13（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，圖中四個(gè)等圓的周長(zhǎng)都是50.24厘米，求陰影部分的面積。解析：50.24÷3.14÷2=8（厘米）3.14×82=200.96（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】計(jì)算陰影部分面積。（單位：cm)（取3.14）解析：3.14×42×＝3.14×16×＝12.56（平方厘米）【考點(diǎn)九】陰影部分面積法其七：割補(bǔ)法?！痉椒c(diǎn)撥】割補(bǔ)法，即分割拼補(bǔ)的思路，是把不規(guī)則的陰影面積通過(guò)分割和拼補(bǔ)，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形?！镜湫屠}】求陰影部分面積。（單位：厘米）【答案】25平方厘米【分析】如上圖，用割補(bǔ)法把左邊的小陰影移補(bǔ)到右邊后，陰影部分的面積等于等腰直角三角形面積的一半，根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，據(jù)此解答?！驹斀狻?0×10÷2÷2＝100÷2÷2＝50÷2＝25（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積。【答案】48【分析】連接半圓中右邊部分的兩條半徑，左邊陰影部分為A，右邊小空白處為B，如圖；，觀察圖形可知，陰影部分化為一個(gè)底是8，高是6的平行四邊形，根據(jù)平行四邊形面積公式：底×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，陰影部分面積：8×6＝48【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求陰影部分的面積。（單位：cm)【答案】【分析】如上圖，畫出正方形的兩條對(duì)角線，相交于O點(diǎn)，將1所在部分繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到3的位置，將2所在的部分繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到4的位置，可以發(fā)現(xiàn)，陰影部分的面積就是正方形面積的一半。據(jù)此解答。【詳解】＝＝陰影部分的面積是【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm)【答案】陰影部分周長(zhǎng)為18.84厘米；陰影部分的面積為2.28平方厘米【詳解】試題分析：（1）陰影部分的周長(zhǎng)可看作由下面幾部分組成：大圓周長(zhǎng)的一半、中間小圓的周長(zhǎng)、下面兩個(gè)小半圓周長(zhǎng)的一半，并且小圓直徑和兩個(gè)小半圓直徑都相等，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式解答即可；（2）求陰影部分的面積可作幾條輔助線，如圖：將陰影1、2、3、4分別移到空白1、2、3、4，處，那么用大半圓的面積減去大三角形的面積即陰影部分的面積，據(jù)此解答．解：（1）陰影部分周長(zhǎng)：3.14×4÷2+3.14×（4÷2）×2=6.28+12.56=18.84（厘米）（2）陰影部分的面積：3.14×（4÷2）2÷2﹣4×（4÷2）÷2=6.28﹣4=2.28（平方厘米）【考點(diǎn)十】陰影部分面積法其八：重組法?！痉椒c(diǎn)撥】重組法，即根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要把原來(lái)圖形拆開，并加以重新組合，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形，然后結(jié)合相減法求出陰影面積?！镜湫屠}】如圖，大圓半徑R=8厘米，小圓的半徑r=4厘米．求陰影部分的面積?！敬鸢浮?7.68平方厘米【詳解】試題分析：如圖所示，陰影①和空白①的面積相等，陰影②和空白②的面積相等，陰影③和空白③的面積相等，陰影④和空白④的面積相等，于是將4個(gè)陰影部分移到與其面積相等的空白部分，于是可以得出圖中所有的陰影的面積和就等于大圓面積的減去小圓面積的，大小圓的半徑已知，利用圓的面積公式即可求解．解：×3.14×（82﹣42）=0.785×（64﹣16）=0.785×48=37.68（平方厘米）答：陰影部分的面積是37.68平方厘米。點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是利用“動(dòng)態(tài)”的眼光，將陰影部分移到與之面積相等的空白部分，從而容易求出陰影部分的總面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】求陰影部分的面積。（單位：厘米）【答案】4.28平方厘米【分析】通過(guò)對(duì)稱和平移，如圖，陰影部分的面積＝半圓面積－三角形面積，據(jù)此列式計(jì)算。【詳解】4÷2＝2（厘米）3.14×22÷2－2×1÷2×2＝6.28－2＝4.28（平方厘米）【考點(diǎn)十一】陰影部分面積法其九：等積轉(zhuǎn)化法?！痉椒c(diǎn)撥】等積轉(zhuǎn)化法，即通過(guò)平面圖形之間的等積變換，化難為易，求出陰影部分的面積，要注意分析長(zhǎng)方形、正方形、三角形面積公式與圓的面積的共同特點(diǎn)，以達(dá)到合理轉(zhuǎn)化。【典型例題1】圓與正方形的等積轉(zhuǎn)化。如圖，以圓的半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積是10平方厘米，則圓的面積是（）平方厘米。解析：

3.14×10＝31.4（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】下中正方形部分是一個(gè)水池，其余部分是草坪。已知正方形的面積是225m2，草坪的面積是多少平方米？解析：（m2）答：草坪的面積是529.875平方米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】已知下圖正方形的面積是50平方分米，圓的面積是（）平方分米。解析：157【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，已知正方形的面積是9cm2，這個(gè)圓的面積是（)cm2。解析：28.26【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】如圖中正方形的面積是16平方厘米，圓形的面積是（）平方厘米。解析：50.24【典型例題2】圓與長(zhǎng)方形的等積轉(zhuǎn)化。如圖，圓的面積與長(zhǎng)方形的面積相等，圓的半徑是3cm，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是（)cm。解析：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)：3×3.14＝9.42（cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，圓的面積和長(zhǎng)方形的面積相等，如果圓的半徑是6厘米，那么長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？解析：2×3.14×6÷2＝3.14×6＝18.84（厘米）（18.84＋6）×2＝24.84×2＝49.68（厘米）答：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是49.68平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，圓的周長(zhǎng)是18.84厘米，圓的面積等于長(zhǎng)方形的面積，那么陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？解析：陰影的周長(zhǎng)=πr+πr-r+r+（18.84÷4）=2πr+4.71=18.84+4.71=23.55（厘米）答：陰影部分的周長(zhǎng)是23.55厘米【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，長(zhǎng)方形面積和圓面積相等，已知圓的半徑是3厘米，求陰影部分的面積和周長(zhǎng)。解析：面積：×3.14×32＝21.195（平方厘米）周長(zhǎng)：3.14×32÷3＝9.42（厘米）9．42×2＋×3.14×3×2＝23.55（厘米）【典型例題3】圓與三角形的等積轉(zhuǎn)化。如圖中，直角三角形（陰影部分）的面積是12平方厘米，圓的面積是（）平方厘米。解析：解：設(shè)圓的半徑是r厘米，所以，r2=12，則：r2=24，把它代入圓的面積公式可得：3.14×24=75.36（平方厘米）答：圓的面積是75.36平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖中等腰直角三角形的兩條直角邊正好是半徑，三角形的面積是20平方厘米，圖中空白部分的面積是多少平方厘米？解析：三角形面積＝底×高÷2，三角形面積×2＝r2，根據(jù)圓的面積＝πr2，求出圓的面積，圓的面積－三角形面積＝空白部分面積，據(jù)此分析。3.14×（20×2）－20＝3.14×40－20＝125.6－20＝105.6（平方厘米）答：圖中空白部分的面積是105.6平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】圖中，三角形的面積是8平方厘米，求涂色部分的面積。解析：半徑的平方：（平方厘米）圓的面積：（平方厘米）涂色部分的面積：（平方厘米）答：涂色部分的面積是37.68平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，已知三角形OAB的面積是18平方厘米，求陰影部分的面積。解析：S三角形＝r218＝r2r2＝36S陰影＝r2－πr2＝36－×3.14×36＝7.74（平方厘米）【考點(diǎn)十二】陰影部分面積法其十：輔助線法?！痉椒c(diǎn)撥】輔助線法，即在通常手段無(wú)法求出陰影部分面積時(shí)，需要嘗試使用添加輔助線的方法解決?！镜湫屠}】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）解析：先作輔助線，如圖所示。即可得出：陰影部分的面積＝（直徑為10厘米的半圓的面積＋邊長(zhǎng)為10厘米的正方形的面積－等腰三角形AED的面積）÷2。圓的面積＝πr2，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，三角形的面積＝底×高÷2。代入數(shù)值計(jì)算。10÷2＝5（厘米）3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米）10×10＝100（平方厘米）10＋5＝15（厘米）10×15÷2＝75（平方厘米）39.25＋100－75＝64.25（平方厘米）64.25÷2＝32.125（平方厘米）答：陰影部分的面積是32.125平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（π取3.14）解析：加兩條輔助線，如圖：陰影部分的周長(zhǎng)為：3.14×（4÷2）×2＋3.14×4÷2＝3.14×2×2＋3.14×4÷2＝12.56＋6.28＝18.84（厘米）陰影部分的面積為：[3.14×（4÷2）2÷4－（4÷2）×（4÷2）÷2]×2＝[3.14×4÷4－2×2÷2]×2＝[3.14－2]×2＝1.14×2＝2.28（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算下圖中陰影部分的面積。（單位：cm)

【答案】22.26平方厘米【分析】連接正方形的對(duì)角線，則陰影部分的面積等于半徑為6厘米的圓的面積的減去底和高都為6厘米的三角形的面積，再加上底為4厘米，高為6厘米的三角形的面積即可，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，三角形的面積公式：S＝ah÷2，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻咳鐖D：3.14×62×－6×6÷2＋4×6÷2＝3.14×62×－36÷2＋24÷2＝3.14×36×－36÷2＋24÷2＝28.26－18＋12＝10.26＋12＝22.26（平方厘米）【考點(diǎn)十三】陰影部分面積法其十一：容斥原理。【方法點(diǎn)撥】容斥原理，即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個(gè)規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，利用分層把重疊部分分出來(lái)，組成重疊圖形各個(gè)規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積?！镜湫屠}】求下面陰影部分的面積。（單位：cm)【答案】57cm2【分析】陰影部分的面積＝半圓面積－三角形面積，半圓直徑＝直角三角形斜邊，通過(guò)兩直角邊求出三角形面積，再通過(guò)三角形面積求出斜邊長(zhǎng)，即可確定半圓的半徑，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻?0÷2＝53.14×52÷2－8×6÷2＝3.14×25÷2－24＝39.25－24＝15.25【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積。（單位：cm)【答案】15.4平方厘米【分析】由題意可知：空白三角形為直角三角形，已知兩條直角邊和斜邊的長(zhǎng)，于是可以求出斜邊上的高，也就是梯形的高。再根據(jù)“陰影部分的面積＝梯形的面積－空白三角形的面積”即可求解。【詳解】6×8÷2×2÷10＝48÷2×2÷10＝24×2÷10＝48÷10＝4.8（厘米）（10＋15）×4.8÷2－6×8÷2＝25×4.8÷2－48÷2＝120÷2－24＝60－24＝36（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA為半徑的圓的一部分，，求圖中陰影部分的面積?！敬鸢浮?8.24平方厘米【分析】觀察可知，陰影部分的面積有一部分是重合的，陰影部分的面積＝直徑8厘米的半圓面積＋弧AD半徑CA的扇形面積－三角形面積。【詳解】3.14×（8÷2）2÷2＋3.14×82×－8×8÷2＝3.14×16÷2＋3.14×64×－32＝25.12＋25.12－32＝18.24（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】下圖中，底邊和高都是6厘米的等腰三角形，分別以高的長(zhǎng)為直徑畫圓，以底的一半長(zhǎng)為直徑畫兩個(gè)半圓，求陰影部分的面積。（π取3.14）【答案】17.325平方厘米【分析】由題意可知：陰影部分的面積＝大圓的面積＋小半圓的面積×2（小圓的面積）－三角形的面積，大圓的直徑＝6厘米，兩個(gè)小圓的直徑之和也是6厘米，三角形的底和高都是6厘米，據(jù)此代入數(shù)據(jù)即可求解?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可得：3.14×（6÷2）2＋3.14×（6÷2÷2）2－6×6×＝3.14×32＋3.14×1.52－18＝3.14×9＋3.14×2.25－18＝28.26＋7.065－18＝17.325（平方厘米）所以，陰影部分的面積是17.325平方厘米。【考點(diǎn)十四】陰影部分面積法其十二：差不變?cè)??！痉椒c(diǎn)撥】差不變思想，即利用等式的性質(zhì)來(lái)求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。【典型例題1】如圖，是一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)半徑為4厘米、圓心角為90°的扇形拼成的圖形，利用差不變思想計(jì)算下圖中兩個(gè)陰影部分的差是多少平方厘米？解析：甲、乙兩部分同時(shí)加上空白扇形，就相當(dāng)于圓-三角形。3.14×42×-4×4÷2=4.56（平方厘米）【典型例題2】如圖，半圓的直徑是10厘米，陰影部分甲比乙的面積少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的邊OA的長(zhǎng)。解析：根據(jù)題意可知，乙的面積－甲的面積＝1.25平方厘米，給甲、乙分別補(bǔ)上空白部分，它們的面積差不變，即（乙的面積＋空白部分的面積）－（甲的面積＋空白部分的面積）＝1.25平方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面積－半圓的面積＝1.25平方厘米；根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓的面積，然后除以2，即半圓的面積，再加上1.25，求出直角三角形ABO的面積；已知直角三角形ABO的面積和高，根據(jù)三角形的底＝面積×2÷高，即可求出直角三角形ABO的邊OA的長(zhǎng)。半圓的面積：3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（平方厘米）直角三角形的面積：39.25＋1.25＝40.5（平方厘米）OA的長(zhǎng)：40.5×2÷10＝81÷10＝8.1（厘米）答：直角三角形ABO的邊OA的長(zhǎng)是8.1厘米。【典型例題3】如下圖，甲、乙兩個(gè)陰影部分面積相等，BC長(zhǎng)是8厘米，求AB長(zhǎng)是多少厘米？（本題π取值為3）解析：已知甲乙兩個(gè)陰影部分面積相等，S甲＝S乙，根據(jù)等式的性質(zhì)有S甲＋S空白部分＝S乙＋S空白部分，即S直角三角形＝S半圓；又知直徑BC＝8厘米，可先結(jié)合圓的面積公式求得半圓