離散數(shù)學(xué)集合論部分綜合練習(xí)本課程綜合練習(xí)共分3次，分別是集合論部分、圖論部分、數(shù)理邏輯部分的綜合練習(xí)，這3次綜合練習(xí)基本上是按照考試的題型安排練習(xí)題目，目的是通過(guò)綜合練習(xí)，使同學(xué)自己檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握。本次是集合論部分的綜合練習(xí)。一、單項(xiàng)選擇題1．若集合A={a，b}，B={a，b，{a，b}}，則（）．A．AB，且ABB．AB，但ABC．AB，但ABD．AB，且AB2．若集合A＝{2，a，{a}，4}，則下列表述正確的是()． A．{a，{a}}AB．{a}A C．{2}AD．A3．若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，則下列表述正確的是()．A．{a，{a}}AB．{2}AC．{a}AD．A4．若集合A={a，b，{1，2}}，B={1，2}，則（）．A．BA，且BAB．BA，但BAC．BA，但BAD．BA，且BA5．設(shè)集合A={1,a}，則P(A)=()．A．{{1},{a}}B．{,{1},{a}}C．{,{1},{a},{1,a}}D．{{1},{a},{1,a}}6．若集合A的元素個(gè)數(shù)為10，則其冪集的元素個(gè)數(shù)為（）．A．1024B．10C．100D 7．集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的關(guān)系R={<x，y>|x+y=10且x,yA}，則R的性質(zhì)為（）．A．自反的B．對(duì)稱的C．傳遞且對(duì)稱的D．反自反且傳遞的8．設(shè)集合A={1，2，3，4，5，6}上的二元關(guān)系R={a,ba,bA,且a+b=8}，則R具有的性質(zhì)為（）．A．自反的B．對(duì)稱的C．對(duì)稱和傳遞的D．反自反和傳遞的9．如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，則R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反關(guān)系有（）個(gè)．A．0B．2C．110．設(shè)集合A={1,2,3,4}上的二元關(guān)系R={1,1，2,2，2,3，4,4}，S={1,1，2,2，2,3，3,2，4,4}，則S是R的（）閉包．A．自反B．傳遞C．對(duì)稱D．以上都不對(duì)24135圖一24135圖一的哈斯圖如圖一所示，若A的子集B={3,4,5}，則元素3為B的（）．A．下界B．最大下界C．最小上界D．以上答案都不對(duì)12．設(shè)A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除關(guān)系，B={2,4,6}，則集合B的最大元、最小元、上界、下界依次為()．A．8、2、8、2B．無(wú)、2、無(wú)、2C．6、2、6、2D．8、1、6、113．設(shè)A={a,b}，B={1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元關(guān)系，且R1={<a，2>,<b，2>}，R2={<a，1>,<a，2>,<b，1>}，R3={<a，1>,<b，2>}，則（）不是從A到B的函數(shù)．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1二、填空題1．設(shè)集合A有n個(gè)元素，那么A的冪集合P(A)的元素個(gè)數(shù)為．2．設(shè)集合A＝{a，b}，那么集合A的冪集是．應(yīng)該填寫(xiě)：{,{a,b},{a},}3．設(shè)集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元關(guān)系，則R的有序?qū)蠟椋?．設(shè)集合A={0,1,2}，B={0,2,4},R是A到B的二元關(guān)系，則R的關(guān)系矩陣MR＝．5．設(shè)集合A={a,b,c}，A上的二元關(guān)系R={<a,b>,<c.a>}，S={<a,a>,<a,b>,<c,c>}則(RS)－1=．6．設(shè)集合A=｛a,b,c｝，A上的二元關(guān)系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，則二元關(guān)系R具有的性質(zhì)是．7．若A={1,2}，R={<x,y>|xA,yA,x+y=10}，則R的自反閉包為．8．設(shè)集合A={1,2}，B={a,b}，那么集合A到B的雙射函數(shù)是．9．設(shè)A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，則不同的函數(shù)個(gè)數(shù)為．三、判斷說(shuō)明題（判斷下列各題，并說(shuō)明理由．）圖一1．設(shè)A、B、C為任意的三個(gè)集合，如果A∪B=A∪C，判斷結(jié)論B=C圖一2．如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，判斷結(jié)論：“R-11、R1∪R2、R1R2是自反的”是否成立？并說(shuō)明理由．3．若偏序集<A，R>的哈斯圖如圖一所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在．4．若偏序集<A，R>的哈斯圖如圖二所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在．圖二圖二5．設(shè)N、R分別為自然數(shù)集與實(shí)數(shù)集，f：N→R，f(x)=x+6，則f是單射．四、計(jì)算題1．設(shè)集合A＝{a,b,c}，B={b,d,e}，求（1）BA；（2）AB；（3）A－B；（4）BA．2．設(shè)A={{a,b},1,2}，B={a,b,{1},1}，試計(jì)算（1）（AB）（2）（A∪B）（3）（A∪B）（A∩B）．3．設(shè)集合A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，試計(jì)算（1）（AB）；（2）（A∩B）；（3）A×B．4．設(shè)A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|xA，yA且x+y<0}，S={<x，y>|xA，yA且x+y3}，試求R，S，RS，R-1，S-1，r(R)．5．設(shè)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，R是A上的整除關(guān)系，B={2,4,6}．（1）寫(xiě)出關(guān)系R的表示式；（2）畫(huà)出關(guān)系R的哈斯圖；adbcadbc圖三6．設(shè)集合A＝{a,b,c,d}上的二元關(guān)系R的關(guān)系圖如圖三所示．（1）寫(xiě)出R的表達(dá)式；（2）寫(xiě)出R的關(guān)系矩陣；（3）求出R2．7．設(shè)集合A={1，2，3，4}，R={<x,y>|x,yA；|xy|=1或xy=0}，試（1）寫(xiě)出R的有序?qū)Ρ硎荆唬?）畫(huà)出R的關(guān)系圖；（3）說(shuō)明R滿足自反性，不滿足傳遞性．五、證明題1．試證明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．2．試證明集合等式A(BC)=(AB)(AC)．3．設(shè)R是集合A上的對(duì)稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，試證明：若對(duì)任意aA，存在bA，使得<a,b>R，則R是等價(jià)關(guān)系．4．若非空集合A上的二元關(guān)系R和S是偏序關(guān)系，試證明：也是A上的偏序關(guān)系．參考解答一、單項(xiàng)選擇題1．A2．B3．C4．B5．C6．A7．B8．B 9．B10．C11．C12．B13．B二、填空題1．2n2．{,{a,b},{a},}3．{<2,2>，<2,3>，<3,2>}，<3,3>4．5．{<a.c>,<b,c>}6．反自反的7．{<1,1>,<2,2>}8．{<1,a>,<2,b>}，{<1,b>,<2,a>}9．8三、判斷說(shuō)明題（判斷下列各題，并說(shuō)明理由．）1．解：錯(cuò)．設(shè)A={1,2}，B={1}，C={2}，則A∪B=A∪C，但BC．2．解：成立．因?yàn)镽1和R2是A上的自反關(guān)系，即IAR1，IAR2。由逆關(guān)系定義和IAR1，得IAR1-1；由IAR1，IAR2，得IAR1∪R2，IAR1R2。所以，R1-1、R1∪R2、R1R2是自反的。3．解：正確．對(duì)于集合A的任意元素x，均有<x,a>R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．按照最小元的定義，在集合A中不存在最小元．4．解：錯(cuò)誤．集合A的最大元不存在，a是極大元．5．解：正確．設(shè)x1，x2為自然數(shù)且x1x2，則有f(x1)=x1+6x2+6=f(x2)，故f為單射．四、計(jì)算題1．解：（1）BA={a,b,c}{b,d,e}=（2）AB={a,b,c}{b,d,e}={a,b,c,d,e}（3）A－B={a,b,c}－{b,d,e}={a,c}（4）BA=AB－BA={a,b,c,d,e}－={a,c,d,e}2．解：（1）（AB）={{a,b},2}（2）（A∪B）={{a,b},1,2,a,b,{1}}（3）（A∪B）（A∩B）={{a,b},2,a,b,{1}}3．解：（1）AB={{1},{2}}（2）A∩B={1,2}（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1,{1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2,{1,2}>}4．解：R=,S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}RS=，123469123469578101112圖四：關(guān)系R的哈斯圖S-1=S，r(R)=IA．5．解：（1）R=I{<1,2>,<1,3>,…,<1,12>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,10>,<2,12>,<3,6>,<3,9>,<3,12>,<4,8>,<4,12>,<5,10>,<6,12>}（2）關(guān)系R的哈斯圖如圖四（3）集合B沒(méi)有最大元，最小元是：26．解：R＝{<a,a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>}R2={<a,a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>}{<a,a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>}1234圖五={<a,a>,<a,1234圖五7．解：（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}（2）關(guān)系圖如圖五（3）因?yàn)?lt;1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均屬于R，即A的每個(gè)元素構(gòu)成的有序?qū)赗中，故R在A上是自反的。因有<2,3>與<3,4>屬于R，但<2,4>不屬于R，所以R在A上不是傳遞的。五、證明題1．證明：設(shè)，若x∈A(BC)，則x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以A(BC)(AB)(AC)．反之，若x∈(AB)(AC)，則x∈AB且x∈A