高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考（江蘇專用）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題1．已知集合，則＝（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以，故選：C2．已知是虛數(shù)單位，若非零復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，由可得，所以，，又因?yàn)?，所以，，則，故.故選：A.3．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗,則.故選：A4．在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.故選：A.5．凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的棉濾芯過(guò)濾，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑為5微米的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層棉濾芯可以過(guò)濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過(guò)濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2mg/L，則棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．9 B．8 C．7 D．6〖答案〗A〖解析〗設(shè)經(jīng)過(guò)層棉濾芯過(guò)濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為，則，令，解得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即即，因?yàn)?，，所以，解得，因?yàn)?，所以的最小值?．故選：A6．已知是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.7．道韻樓以“古?大?奇?美”著稱，內(nèi)部雕梁畫棟，有倒吊蓮花?壁畫?雕塑等，是歷史?文化?民俗一體的觀光勝地道韻樓可近似地看成一個(gè)正八棱柱，其底面面積約為平方米，高約為11.5米，則該八棱柱的側(cè)面積約是（

）A．460平方米 B．1840平方米 C．2760平方米 D．3680平方米〖答案〗D〖解析〗如圖，由題意可知底面是正八邊形，，由余弦定理可得，則.因?yàn)榈酌娴拿娣e為平方米，所以，解得.則該八棱柱的側(cè)面積為平方米.故選：D.8．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)恰好是，設(shè)雙曲線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗過(guò)點(diǎn)分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為,不妨設(shè)則因?yàn)闉殡p曲線上的點(diǎn)，所以即故又在三角形中，由余弦定理得化簡(jiǎn)可得即解得，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9．甲?乙兩地12月初連續(xù)7天的日最高氣溫?cái)?shù)據(jù)如圖所示，則關(guān)于這7天，以下判斷正確的是（

）A．甲地日最高氣溫的平均數(shù)為 B．甲地日最高氣溫的極差為C．乙地日最高氣溫的眾數(shù)為 D．乙地日最高氣溫的中位數(shù)為〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)最高氣溫?cái)?shù)據(jù)折線圖可知，甲地日最高氣溫的平均數(shù)為，即可知A正確；易知甲地日最高氣溫的極差為，故B錯(cuò)誤；由折線圖可知乙地日最高氣溫分別為，所以眾數(shù)為，即C錯(cuò)誤；將乙地日最高氣溫排序可得，即中位數(shù)為，可得D正確；故選：AD10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（

）A．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象〖答案〗ABD〖解析〗由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達(dá)式為，對(duì)于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱C． D．〖答案〗AC〖解析〗由題意定義域?yàn)椋覞M足，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，A正確，B錯(cuò)誤．又在上遞增，故在上遞增．由，因?yàn)椋?，則，所以，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC．第Ⅱ卷三、填空題12．展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．〖答案〗8〖解析〗由題意可知：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.13．過(guò)直線上一點(diǎn)向圓：引切線，切點(diǎn)為，則的最小值為．〖答案〗4〖解析〗由題設(shè)，圓，即，半徑為2，而到的距離為，所以直線與圓相離，如下圖，由，要使的最小，只需最小，而，故.14．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將數(shù)列1，3進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1，3，3；第二次得到數(shù)列1，3，3，9，3；…；第次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為.記，其中，，則數(shù)列的第6項(xiàng).〖答案〗365〖解析〗因?yàn)椋?，?故，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故，所以，所以.四、解答題15．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值.解：(1)當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，則，變化時(shí)，，的變化情況如下表：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減則的極大值為：，沒(méi)有極小值；(2)當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，定義域?yàn)?，，則在上是增函數(shù)，則，所以，即在上是增函數(shù)，則.16．近年來(lái)，國(guó)家鼓勵(lì)德智體美勞全面發(fā)展，舞蹈課是學(xué)生們熱愛(ài)的課程之一，某高中隨機(jī)調(diào)研了本校2023年參加高考的90位考生是否喜歡跳舞的情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，跳舞與性別情況如下表：（單位：人）喜歡跳舞不喜歡跳舞女性2535男性525(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡跳舞與性別是否有關(guān)聯(lián)？(2)用樣本估計(jì)總體，用本次調(diào)研中樣本的頻率代替概率，從2023年本市考生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中喜歡跳舞的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879解：(1)零假設(shè)：：喜歡跳舞與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，由題意，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷不成立，即認(rèn)為喜歡跳舞與性別有關(guān)聯(lián).(2)由題知，考生喜歡跳舞的概率，不喜歡跳舞的概率為X的可能取值為0，1，2，3，，，所以X的分布列如下：0123由，數(shù)學(xué)期望.17．如圖，在直三棱柱中，，，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別向點(diǎn)，作直線移動(dòng).如圖，點(diǎn),分別是兩質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)秒后到達(dá)的位置．(1)證明：平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．(1)證明：分別過(guò),作平行于的直線交于，交于,連接,因?yàn)?兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相同，所以,因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所?又因?yàn)槠矫?平面，所以平面；(2)解：過(guò)作的垂線，垂足為,過(guò)作的垂線，垂足為，由題意可得，，所以，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí),分別為，的中點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，,設(shè)平面的法向量為，所以，得，令，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．已知橢圓E:，點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C，D），直線與x軸分別交于M，N兩點(diǎn).證明:在x軸上存在兩點(diǎn)A，B，使得·是定值，并求此定值.解：(1)將點(diǎn)C，D代入橢圓方程有，所以橢圓E的方程為；(2)設(shè)，則，且直線，令y=0，得，所以，令，則，則，故存在和，使得是定值，且定值為.19.若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”.(1)求證：對(duì)任意“好數(shù)”一定為20的倍數(shù)；(2)若，且為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值.(1)證明：