第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年上海重點大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線Γ：x2?y2=4，直線l過(0,2).“直線A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件2.空間中，設(shè)P是直線l外一點，α是一個平面，則以下列命題中，錯誤的是(

)A.過點P有且僅有一條直線平行于l B.過點P有且僅有一條直線垂直于l

C.過點P有且僅有一條直線垂直于α D.過點P有且僅有一個平面垂直于l3.已知M(x0,y0)是圓A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定4.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD，AB：AD=λ(λ>0)，E是棱AA.①成立，②成立 B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立二、填空題：本題共12小題，共54分。5.拋物線y2=8x的焦點坐標(biāo)為6.空間直角坐標(biāo)系中，三個坐標(biāo)平面將空間分為______個部分．7.設(shè)點P橢圓Γ：x24+y23=1上異于長軸端點的一點，F(xiàn)1、F8.一個球體的表面積是4π，則這個球體的體積是______．9.若直線l：y=kx+3平分圓x2?10.在正方體ABCD?A1B11.已知直線l1：mx?2y+1=0，直線l2：12.已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓柱的表面積為______．13.斜率為1的直線l被橢圓x24+y2=1截得的弦長為414.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)MN分別是線段DA

15.過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F的直線交該拋物線于A、B16.在xOy平面上，將一段圓弧C：x2+y2=1(x≥0)和一段橢圓弧Γ：x22+y2=1

三、解答題：本題共5小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(0,2,3)、B(?2,1,6)、C(1,?1,5)、D(3,3,4)．18.(本小題14分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為BC的中點，N為AB的中點，P為BB1中點．19.(本小題14分)

在如圖所示的圓錐中，P是頂點，O是底面的圓心，A、B是圓周上兩點，且OA⊥OB，OA=OB=2．

(1)若圓錐側(cè)面積為6π，求圓錐的體積；

(2)20.(本小題18分)

已知雙曲線Γ：x24?y2=1的左右頂點分別為A1、A2．

(1)求以A1、A2為焦點，離心率為12，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l過點C(1,1)與雙曲線Γ交于A、B兩點，若點C恰為弦AB的中點，求出直線l的方程；

(3)動直線l′：x21.(本小題16分)

類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面(含平面)S的方程，若曲面S和三元方程F(x,y,z)=0之間滿足：

①曲面S上任意一點的坐標(biāo)均為三元方程F(x,y,z)=0的解；

②以三元方程F(x,y,z)=0的任意解(x0,y0,z0)為坐標(biāo)的點均在曲面S上，則稱曲面S的方程為F(x,y,z)=0，方程F(x,y,z)=0的曲面為S.已知曲面C的方程為x21+y21?z

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由點(0,2)不在雙曲線Γ：x2?y2=4上，且漸近線方程為y=±x，

若直線l平行于雙曲線Γ的漸近線，可得直線l與雙曲線僅有一個交點；

若直線l與雙曲線Γ恰有一個公共點，可得直線l與雙曲線相切，或與漸近線平行，

則“直線l平行于雙曲線Γ2.【答案】B

【解析】解：對A選項，∵空間中，P是直線l外一點，

∴過點P有且僅有一條直線平行于l，∴A選項正確；

對B選項，∵空間中，P是直線l外一點，

∴過點P有且僅有一個平面垂直于l，

而在該垂面內(nèi)過P有無數(shù)條直線，這些直線都垂直l，∴B選項錯誤；

對C選項，∵空間中，P是直線l外一點，α是一個平面，

∴過點P有且僅有一條直線垂直于α，∴C選項正確；

對D選項，由B選項分析知：過點P有且僅有一個平面垂直于l，∴D選項正確．

故選：B．3.【答案】C

【解析】解：圓心到直線的距離d=r2x02+y02，

∵點M在圓內(nèi)，且異于圓心，

∴x04.【答案】C

【解析】解：如圖所示，假設(shè)在長方形中必存在λ使得PC1⊥B1D1，又易知CC1⊥平面A1C1，B1D1?平面A1C1，

所以CC1⊥B1D1，

因為PC1∩CC1=C1，PC1、CC1?平面PCC1，所以B1D1⊥平面PCC1，

又B1D1/?/BD，則BD⊥平面PCC1，

因為PC?平面PCC1，所以BD⊥PC，即存在λ使得BD⊥PC，

但若λ5.【答案】(2【解析】解：拋物線y2=8x的焦點在x正半軸上，開口向右，p=4，所以拋物線的焦點坐標(biāo)(2,06.【答案】8

【解析】解：根據(jù)題意，空間直角坐標(biāo)系中，三個坐標(biāo)平面兩兩相交，且交于一點，

將空間分8部分．

故答案為：8．

根據(jù)題意，由坐標(biāo)平面的關(guān)系，分析可得答案．

本題考查平面的基本性質(zhì)，涉及空間直角坐標(biāo)系，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】6

【解析】解：點P橢圓Γ：x24+y23=1上異于長軸端點的一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左右焦點，2a=4，2c=2，

8.【答案】43【解析】解：設(shè)球的半徑為R，則

∵一個球體的表面積是4π，

∴R=1，

∴球體的體積是43π，

故答案為43π．9.【答案】3π【解析】解：圓x2?2x+y2?4y?1=0的圓心C(1,2)，

由題意可知圓心C在直線l上，所以2=k?1+3=0，

解得k10.【答案】2【解析】解：連接AC、BD、A1B、A1D，AC∩BD=E，再連接A1E，

設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，因為四邊形ABCD為正方形，

所以BD⊥EA，

又因為AE是A1E在平面ABCD內(nèi)的身影，所以BD⊥A1E，11.【答案】2

【解析】解：直線l1：mx?2y+1=0，直線l2：x?(m?1)y?1=0，l1//l2，

12.【答案】6π【解析】解：∵圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，

∴圓柱底面圓的直徑長為2，高為2．

則圓柱的表面積S=2?π?2+2?π?12=613.【答案】x?【解析】解：設(shè)直線l的方程為y=x+m，

聯(lián)立y=x+mx24+y2=1，可得5x2+8mx+4m2?4=0，

14.【答案】2【解析】解：過點M，N分別作MG//A1D1，交DD1于點G，NP//A1D1，交C1D1于點P，連接PG，

要想MN/?/平面CC1D1D，則四邊形MGPN為平行四邊形，故NP=MG，

設(shè)D1G=m∈(0,1)，則P15.【答案】6

【解析】解：設(shè)|BF|=x．

∵過拋物線C：y2=2px(p>0)

的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，

|AF|=5|BF|，O為坐標(biāo)原點，

∴|AF|=5x．

如圖，作出準(zhǔn)線CD，AC⊥CD，BD⊥CD，

過B作BM⊥AC，交AC于16.【答案】43【解析】解：橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)所圍成的橢圓面繞其長軸旋轉(zhuǎn)一周后得到橢球體，

橢圓的長半軸為a，短半軸為b，構(gòu)造一個底面半徑為b，高為a的圓柱，

把半橢球與圓柱放在同一個平面α上，如圖，

在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，

即挖去的圓錐底面半徑為b，高為a，在半橢球截面圓的面積為π?b2a2(a2?b2)，

在圓柱內(nèi)圓環(huán)的面積為πb2?π?b2a2?d2=π?b2a2(a2?d2)，17.【答案】解：(1)設(shè)A(0,2,3)、B(?2,1,6)、C(1,?1,5)、D(3,3,4)，

故b=AB+AD=(?2,?1,3)+(3【解析】(1)直接利用向量的坐標(biāo)運算判斷向量間的共線；

(2)首先利用向量的夾角公式求出18.【答案】(1)證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

可得B(2,2,0)，D1(0,0,2)，M(1,2,0)，N(2,1,0)，P(2,2,1)，

BD1=(?2,?2,2)，MN=(1,?1,0)，MP=(1,0,1)，

設(shè)平面【解析】(1)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MNP的法向量，然后證明該向量與BD1平行，可得答案；

(219.【答案】解：(1)設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，r=2，

可得圓錐的側(cè)面積S=πrl=2πl(wèi)=6π，解得l=3，圓錐的高PO=32?22=5，

因此，圓錐的體積V=13π×22×5=453π；

(2)因為△PAB中，PA=PB，PM⊥AB，所以點M是線段AB中點，

取OB中點N，連接MN、PN，則MN為△ABO的中位線，可得MN/?/O【解析】(1)根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，算出母線l=3，然后利用勾股定理算出圓錐的高，進而求得圓錐的體積；

(2)取OB中點N，連接MN、PN，可證出MN⊥平面P20.【答案】解：(1)雙曲線Γ：x24?y2=1的左右頂點分別為A1、A2，

則A1(?2,0)，A2(2,0)，

則c=2，又e=12=ca，∴a=4，b2=a2?c2=12，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y212=1；

(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

點C恰為弦AB的中點，

則x1+x2=2，y1+y2=2，

又因為A，B兩點在雙曲線上，

所以x124?y12=1x224?y2【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線、橢圓的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合點差法，以及中點坐標(biāo)公式，即可求解；

21.【答案】解：(1)根據(jù)坐標(biāo)平面xOy內(nèi)點的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面xOy的方程為z=0．

已知曲面C的方程為x21+y21?z24=1，

當(dāng)z=0時，xOy平面截曲面C所得交線上的點M(x,y,0)滿足x2+y2=1，

從而xOy平面截曲面C所得交線是：平面xOy上，以原點O為圓心，1為半徑的圓．

證明：(2)直線l過曲面C上一點Q(1,1,2)，以d=(?2,0,?4)為方向量