第一章三角形的證明1等腰三角形第4課時等邊三角形的判定?

等邊三角形的判定123456789101112131.【2023·哈爾濱第十七中學(xué)月考】下列結(jié)論：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；④三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.其中正確的個數(shù)是（

C

）A.4B.3C.2D.1C

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰非等邊三角形D.鈍角三角形B123456789101112133.【學(xué)科素養(yǎng)·推理能力】小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時將幾種三角形的關(guān)系按如圖進行整理，請幫他在括號內(nèi)填上一個適當(dāng)?shù)臈l件.60°123456789101112134.【2023·無錫梁溪區(qū)期中】如圖，一艘輪船從A地出發(fā)，向南偏西40°的方向行駛100海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛100海里到達C地，則A，C兩地相距（

A

）AA.100海里B.80海里C.60海里D.40海里12345678910111213?

含30°角的直角三角形的性質(zhì)5.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于______________

?.斜邊的一半123456789101112136.如圖，一棵樹在一次強臺風(fēng)中在離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（

B

）A.6米B.9米C.12米D.15米B123456789101112137.【2023·濟南槐蔭區(qū)期末】如圖，在長方形臺球桌上打臺球時，球的入射角∠1等于反射角∠2.如果擊打白球時入射角∠1＝30°，恰好使白球在上邊框的點A處反彈后進入袋中，點A到右邊框BC的距離AB為3，則白球從點A到進袋所走過的路徑AC為（

D

）A.3B.4C.5D.6D123456789101112138.【2023·天津河西區(qū)期末】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝3a，則AB的長為（

C

）CA.6aB.9aC.12aD.15a12345678910111213點撥：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠A＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠BCD＝∠A＝30°，在直角三角形BCD中，BC＝2BD＝6a，在直角三角形ABC中，AB＝2BC＝12a.9.【2023·長沙雅禮實驗中學(xué)期末】閱讀下面內(nèi)容，解答后面的問題.題目：尺規(guī)作圖：如圖①，已知線段MN（長度等于a），求作一個一條邊長等于a，且有一個角為60°的直角三角形.小雅同學(xué)的作圖方法如下：12345678910111213

12345678910111213則△ABC就是所求作的直角三角形，如圖②所示.根據(jù)小雅同學(xué)的作圖方法求解：若CD＝2，求AC的長.

12345678910111213

點撥：∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝2AC，A12345678910111213

1234567891011121311.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線AM的長為15cm，則直角三角形斜邊AB的長為___________

cm.

12345678910111213點撥：∵∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°，

1234567891011121312.【2023·安陽二中期末】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是BC的中點，O是DC的中點，連接AO并延長至E，使OE＝OA，連接BE，AD.（1）若AC＝4，則OD＝

______?.212345678910111213（2）求證：△ABE是等邊三角形.

12345678910111213∵O是DC的中點，∴AO⊥BC，又∵∠ABC＝30°，∴∠BAO＝60°，∵OE＝OA，AO⊥BC，∴BA＝BE，∴△ABE是等邊三角形.1234567891011121313.△ABC和△ADE都是等邊三角形.（1）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有PA＋PB＝PC（或PA＋PC＝PB）成立（不需證明）.12345678910111213（2）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA，PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.解：（2）PB＝PA＋PC.證明：如圖②，在BP上截取BF＝PC，連接AF.12345678910111213∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD＝∠ACE.12345678910111213又∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS）.∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP.∴∠PAF＝∠BAC＝60°.∴△AFP是等邊三角形.∴PF＝PA.∴PB＝BF＋PF＝PC＋PA.1234567891