第一章三角形的證明1等腰三角形素養(yǎng)集訓1.等腰三角形中作輔助線的常見方法?

利用“三線合一”作輔助線1.【2023·聊城】如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.12345678910（1）求證：∠EAD＝∠EDA；

12345678910（2）若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面積.1.【2023·聊城】如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.（2）解：過點E作EF⊥AD于點F，由（1）知EA＝ED，∴AF＝FD，∠AEF＝∠DEF.12345678910

12345678910作腰的平行線構(gòu)造等腰三角形2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于點E，交AC的延長線于點F，交BC于點D，且BE＝CF.求證：DE＝DF.12345678910證明：如圖，過點E作EG∥AC，且EG交BC于點G，則∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG.∵BE＝CF，∴EG＝CF.

∴△EGD≌△FCD（AAS）.∴DE＝DF.12345678910?

?作底邊的平行線證線段相等3.如圖，在等邊三角形ABC中，D在AC上，延長BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G.求證：DB＝DE.證明：如圖，過點D作DF∥BC，DF交AB邊于點F.∵△ABC是等邊三角形，DF∥BC，∴AB＝AC，12345678910∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.∴△ADF是等邊三角形.∴AD＝DF＝AF.∴CD＝BF.∵AD＝CE，∴FD＝CE.又∵∠DFB＝∠DCE＝180°－60°＝120°，∴△BFD≌△DCE（SAS）.∴DB＝DE.123456789104.如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度數(shù).?

繞頂點旋轉(zhuǎn)三角形求角的度數(shù)12345678910解：如圖，將△BCP繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAP'.連接PP'，則∠PBP'＝60°，BP＝BP'，AP'＝PC＝10.∴△PBP'是等邊三角形，∴∠BPP'＝60°，PP'＝BP＝8，∵PP'＝8，AP'＝10，PA＝6，∴PP'2＋PA2＝AP'2，∴∠APP'＝90°，∴∠APB＝60°＋90°＝150°.12345678910?

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倍長中線法證與中線有關(guān)的線段的倍分關(guān)系5.如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.12345678910

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截長補短法證線段的倍分或和差關(guān)系

證明：如圖，延長CB到點E，使BE＝BA，連接AE，則∠E＝∠BAE.12345678910∵∠E＋∠BAE＝∠ABC，∴∠ABC＝2∠E.∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD⊥BC，∴CD＝DE.∵點M為BC的中點，∴BM＝MC

123456789107.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E為BC上一點，BE＝DE.求證：BC＝CD＋AD.證明：如圖，過D分別作直線BC，AC的垂線，垂足分別為F，G，則DF＝DG.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACB＝40°，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE＝40°，12345678910

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以底或腰為邊作等邊三角形構(gòu)造全等8.如圖，△ABC是等邊三角形，D為AC延長線上一點，E是BC延長線上一點，CE＝AD，求證：DB＝DE.證明：如圖，過點D作DF∥AB交CE于F，12345678910

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根據(jù)已知條件有60°的角構(gòu)造等邊三角形9.如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，D為AB上一點，且AC＝2AD＋BD，∠B＝4∠ACD，求∠DCB的度數(shù).12345678910解：如圖，延長AB至點E使BE＝AD，連接CE.12345678910

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利用“角平分線＋平行線”構(gòu)造等腰三角形10.（1）如圖①，點O為線段MN的中點，PQ與MN相交于點O，且PM∥NQ，求證：△PMO≌△QNO.

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12345678910（2）根據(jù)上述結(jié)論探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F.試探究線段AB與AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）解：AB＝AF＋CF.證明：如圖，分別延長DC，AE，交于G點，123