二次方程與一元二次方程的聯(lián)系練習(xí)題引言二次方程和一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中最重要的兩個(gè)內(nèi)容之一，本文將結(jié)合幾個(gè)習(xí)題來講解它們之間的聯(lián)系。例題1已知一元二次方程$x^{2}+px+q=0$有兩個(gè)不等實(shí)根，求$p,q$的值。解答這里我們先用配方法將其寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：$x^{2}+px+q=0$$\Leftrightarrow$$(x+\dfrac{p}{2})^2-q+\dfrac{p^2}{4}=0$。因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等實(shí)根，所以$q-\frac{p^2}{4}>0$。又因?yàn)橐辉畏匠痰呐袆e式$Δ=b^2-4ac$，所以$Δ=p^2-4q>0$。將其代入可得：$$q-\frac{p^2}{4}>0\\p^2-4q>0$$解得$p\in(0,\infty),q\in(-\infty,0)\text{或}(0,\infty)$。例題2已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^{2}+px+q=0$的兩個(gè)實(shí)根，證明：$(x_1-1)^{2}+(x_2-1)^{2}=p^{2}-2q+2$。解答同樣使用配方法將其改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式：$x^{2}+px+q=0$$\Leftrightarrow$$(x+\frac{p}{2})^{2}=q-\frac{p^{2}}{4}$。又因?yàn)?x_1,x_2$是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以有：$(x_1-\frac{p}{2})^{2}=q-\frac{p^{2}}{4},(x_2-\frac{p}{2})^{2}=q-\frac{p^{2}}{4}$?；喛傻茫篭begin{align*}(x_1-1)^{2}+(x_2-1)^{2}&=x_1^{2}-2x_1+x_2^{2}-2x_2+2\\&=2(x_1^{2}+x_2^{2})-2(x_1+x_2)+2\\&=2[(x_1+\frac{p}{2})^{2}+(x_2+\frac{p}{2})^{2}-q]+\frac{p^{2}}{2}-p+2\\&=2q-q+\frac{p^{2}}{2}-p+2\\&=p^{2}-2q+2\end{align*}證畢。例題3已知二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的兩個(gè)根為$\alpha,\beta$，并且有$a+b+c=0$。求解下列二次方程：$$\left|\begin{matrix}x^{2}&x&1\\\alpha^{2}&\alpha&1\\\beta^{2}&\beta&1\end{matrix}\right|=0$$解答代入$\alpha,\beta$的值并展開可得：$$\left|\begin{matrix}x^{2}&x&1\\\alpha^{2}&\alpha&1\\\beta^{2}&\beta&1\end{matrix}\right|=\alpha\beta^{2}x^{2}+(\alpha^{2}\beta+\alpha\beta^{2})x+(\alpha^{2}+\beta^{2}+1)-\alpha\beta(\alpha+\beta)x-\alpha\beta=0$$根據(jù)維達(dá)定理可得，$$(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+2\alpha\beta\\\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta\\$$將其代入可得：$$\left|\begin{matrix}x^{2}&x&1\\\alpha^{2}&\alpha&1\\\beta^{2}&\beta&1\end{matrix}\right|=\alpha\beta^{2}x^{2}+(\alpha^{2}\beta+\alpha\beta^{2})x+\alpha\beta(\alpha\beta-(\alpha+\beta))+\alpha^{2}+\beta^{2}+1\\=\alpha\beta^{2}(x-(\alpha+\beta))^{2}+(\alpha^{2}+\beta^{2}+1-\alpha\beta(\alpha+\beta))$$將$a+b+c=0$代入可得，$$\alpha^{2}+\beta^{2}+1-\alpha\beta(\alpha+\beta)=-a$$所以，$$\left|\begin{matrix}x^{2}&x&1\\\alpha^{2}&\alpha&1\\\beta^{2}&\beta&1\end{matrix}\right|=\alpha\beta^{2}(x-(\alpha+\beta))^{2}-a$$方程的根為$x=(\alpha+\beta)\pm\sqrt{\frac{a}{\alpha\beta^{2}}}$.結(jié)論通