工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料解答題1.設(shè)A是二階矩陣，且,,求矩陣A的行列式。解由于A是二階矩陣，所以A恰有兩個特征值，由題設(shè)及特征值的定義知是矩陣A的特征值，又，于是所以是矩陣A的特征值，因此2.設(shè)，求可逆矩陣P，使得為對角矩陣.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為,于是A的特征值為.對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量,則有.3.，求可逆矩陣,使得為對角矩陣.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為于是A的特征值為對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量.對于特征值，由方程組求得屬于特征值2的兩個線性無關(guān)特征向量令,則有4.矩陣能否對角化？解矩陣A的特征多項(xiàng)式為,于是A的特征值為對于二重特征值由于矩陣的秩為2，所以3元線性方程組的基礎(chǔ)解系由一個向量構(gòu)成，即屬于二重特征值的線性無關(guān)特征向量只有一個，所以矩陣A不能對角化.設(shè)3階矩陣A的特征值為1，2，3，屬于特征值1，2，3的特征向量依次為求矩陣A.解由題設(shè)得故.由于是屬于不同特征值的特征向量，所以線性無關(guān)，于是矩陣可逆，且,所以設(shè)二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型求a,b的值.解二次型的矩陣為由于在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為所以矩陣A的特征值為于是即解得判斷下列二次型是否正定？解：（1）二次型的矩陣為,由于3>0，>0>0，根據(jù)定理6.6知矩陣A是正定的，所以二次型為正定型二次型.（2）二次型的矩陣為由于2>0，>0<0，根據(jù)定理6.6知矩陣B不是正定的，所以二次型不是正定型二次型.設(shè)二次型當(dāng)t為何值時，為正定二次型.解：二次型的矩陣為二次型正定的充分必要條件是A的各階順序主子式均大于零，即解得從而當(dāng)時，二次型為正定二次型.9.設(shè)，對于，求.解由于，，.故.可見，方陣的多項(xiàng)式仍為一個方陣.10.求下列齊次方程組的一個基礎(chǔ)解析與通解.解.則令，，.得基礎(chǔ)解系，，.于是方程組的通解為（，，為任意常數(shù)）.11.求下列齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系與通解.解.則得基礎(chǔ)解系，.通解為（，為任意常數(shù)）.12.設(shè)線性方程組當(dāng)為何值時，方程組有非零解？此時求出通解.解.所以當(dāng)時，<，方程組有非零解，此時.于是通解為，為任意常數(shù).13.設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為，且有3階非零矩陣使得，求的值.解設(shè)，其中為三維列向量，由于，則即矩陣的每一列均為方程組的解，又為非零矩陣，故方程組有非零解，從而，于是.14.求矩陣的全部特征值和特征向量.解，所以矩陣有兩個特征值.對于特征值，解齊次方程組，即求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù)對于特征值，解齊次方程組，即求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).15.求矩陣的全部特征值和特征向量.解，所以矩陣的特征值.對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換求得基礎(chǔ)解系，，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，，是不為零的任意常數(shù).16.求矩陣的全部特征值和特征向量.解，所以矩陣有3個不同的特征值.對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).17.已知二階實(shí)對稱矩陣的特征值為，，向量是矩陣的屬于特征值的特征向量.（1）求的屬于特征值的特征向量.（2）求矩陣.解（1）設(shè)屬于特征值的特征向量是，和正交，即，解得，所以矩陣屬于特征值的特征向量是，是不為零的任意常數(shù).（2）令，則，于是\.18.設(shè)二次型，求一個正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型.解二次型的矩陣是