考向34拋物線

1.(2022?全國乙(文)T6)設尸為拋物線Uy2=4χ的焦點，點A在C上，點5(3,0),若IA耳=IM

則I陰=()

A.2B.2√2C.3D.3√2

【答案】B

【解析】由題意得，F(xiàn)(l,0),則IA耳=忸目=2,即點A到準線X=-I的距離為2,所以點A的橫坐標為

—1+2=1,不妨設點A在X軸上方，代入得，A(L2),所以MBI=J(3-iy+(0-2)2=2近.

2.(2022?新高考I卷TlI)已知。為坐標原點，點A(l,l)在拋物線C：必=2Py(P>0)上，過點8(0,T)

的直線交C于尸，Q兩點，則()

A.C的準線為y=-lB.直線AB與C相切

C.∣OP∣?∣□ρ∣>∣OA∣2D.?BP?-?BQ?>?BA?1

【答案】BCD

【解析】將點A的代入拋物線方程得1=2”，所以拋物線方程為f=y,故準線方程為y=-』，A錯誤;

4

心B=EP=2,所以直線AB的方程為y=2x-l,

y=2x-1

聯(lián)立｛2，可得W—2χ+l=0,解得X=1,故B正確；

X=y

設過8的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線。只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設其方程為y=Aχ-l,P(XJ),。(馬，必)，

y=∕ζjζ—]

聯(lián)立<2，得Y一"+1=0，

%=y

Δ=?2-4>0

2

所以,xl+x2=k,所以Z>2或Z<-2,yiy2=(xlχ2)=?>

x1x2=1

又IOPl=+y2=JX+y：，?QQI=J+￡=y∣y2+yl，

所以IOPl?IOQI=√y,y2(l+y1)(l+y2)=JgX也=1k1>2=|。4『，故C正確；

因為IBPl=Jl+二|西|,?BQ∣=√1+P^∣X2∣,

所以∣3PH3Q∣=(1+公)∣X∕∕=1+F>5,而IBAF=5,故D正確.

3.(2022?新高考II卷TIo)已知。為坐標原點，過拋物線C:V=2pχ(p>0)的焦點尸的直線與C交于4,

B兩點,點A在第一象限，點M（P,0）,若IAFHAM則（）

?.直線AB的斜率為2JSB.∣OB∣=∣OF∣

C.?AB?>4?0F?D.ZOAM+ZOBM<↑SQo

P

對于A,易得/（4,0）,由IA目=IAMl可得點A在QW的垂直平分線上，則A點橫坐標為＜+"_3。,

22^^4^

瓜P

代入拋物線可得V=2p?*∣p2,則A呼,半），則直線AB的斜率為/方=2瓜A正確；

^4~2

L1p?1?

對于B,由斜率為2m可得直線AB的方程為X=云后y+,,聯(lián)立拋物線方程得尸一布py-P-=o,

設B(Xl,y),則逅p+χ=偵p,則X=一圓,代入拋物線得

2p?X],解得Xl=&,

263

則陽=Qj+，用=乎刈叫/，B錯誤;

對于C,由拋物線定義知：IAM=芋+^+p=書>2p=4∣。川，C正確;

對于D,QA?OB=（*,警）?寧,一孚）=?（+理（—理卜一年<0,則ZAQB為鈍角,

tt

,14JJIJ乙ID）I

乂MA?MB=（/,孚）.（§一字T卜第+當卜Wl=#<0,則RB為

鈍角，

又ZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360，則ZOAM+ZOBM<180，D正確.

故選：ACD.

4.(2022?全國甲(文)T21)設拋物線Uy2=2pχ(p>0)的焦點為F,點。(p,0),過尸的直線交C于

M,N兩點.當直線MO垂直于X軸時，∣MF∣=3.

(1)求C的方程；

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MMAB的傾斜角分別為a,￡.當α-/取

得最大值時，求直線AB的方程.

【答案】(1)>2=4X；(2)AB-.x=y[2y+4.

【解析】(1)拋物線的準線為X=-當MD與X軸垂直時，點M的橫坐標為p,

止匕時IMRI=P+?^=3,所以p=2,所以拋物線C的方程為V=4x；

(2)設M-γ,yl,N?,%,A-?,??,B?，”，直線MN:x=my+l,

<4√(4)4))

x=my+l

由〈2可得y--4my-4=0,Δ>0,yy=-4,

y=4xi2

k；—4--F,4

由斜率公式可得"N-g.又一x+必，”_貨_覺一%+/，

4444

X,-2

.?.?924(x—2)

直線MO:X=」-y+2,代入拋物線方程可得y一一U~?L.y-8=0,

yX

44=kMN

△〉0，乂%=一8，所以為=2%，同理可得％=2%，所以"8

%+%2(χ+%)2

kfanCi

又因為直線MMAB的傾斜角分別為α,/?,所以匕48=tan4=年=下上,

若要使α一夕最大，則O,5

tan&-tan尸_k

設鼬=2心8=2Z>0,則tan(α一⑶=

v1+tanαtan夕?-v21c

當且僅當』=2左即左=變時，等號成立，所以當&一方最大時，k&tt=顯,設直線AB:x=0y+”,

k2ab2

代入拋物線方程可得y2-40y-4〃=0，A〉。,%%=-4"=4χy2=一16,所以〃=4,

所以直線A8:x=&y+4.

5.（2022?全國甲（理）T）20.設拋物線。：：/=2〃%（〃>0）的焦點為尸，點0（〃,0）,過尸的直線交C于

M,N兩點.當直線MC垂直于X軸時，∣MF∣=3.

（1）求C的方程；

（2）設直線“2NO與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,43的傾斜角分別為α,∕Λ當a-夕取

得最大值時，求直線AB的方程.

【答案】（1）y2=4x；（2）AAx=√Σy+4.

【解析】（1）拋物線的準線為x=-5,當M3與X軸垂直時，點例的橫坐標為p,

此時IMF'∣=p+=3,所以p=2,所以拋物線C的方程為V=4》；

（2）設Λ∕（q,χ,N,B號■，”，直線MN:龍=Wy+1,

X=77W+1C

由《2'可得?-4my-4=0,Δ>O,?γ=-4,

y=Axl2

krXf_4-_4

由斜率公式可得Aw—g一式一X+必，口一久_匕一%+”，

4444

4A2

直線MD:尤=五二2?y+2,代入拋物線方程可得V_(C).y_8^o,

Xy

Δ>0,γl>?=-8,所以為=2丫2，同理可得％=2%，

4_4%”

所以^AB

為+”2(χ+%)2

kfrot?zy

又因為直線MN、AB的傾斜角分別為ɑ,p,所以"B=tan夕=—學=”上,

若要使&一方最大，則用e[θ,g],

\2J

tana-tan/?_k1/1√2

_j八一⑶

?,Janv(α---------——.=—

設ABr則ι)2

kMN=2k=2Z>0,1+tan。tan41+2Z)+2左2L2k4'

kNk

I6

當且僅當一=2k即Z=在時，等號成立,

k2

所以當a一夕最大時，％=YZ,設直線AB∕=√?y+”,

2

代入拋物線方程可得γ2-4√2j-4/1=0.

Δ>0,y3y4=-4/?=4ylγ2=-16,所以〃=4,

所以直線A8:x=0y+4.

1.由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，從而進一步確定拋物線的焦

點坐標及準線方程.

2.拋物線定義的應用

(1)利用拋物線的定義解決問題，應靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化.即“看

到準線想到焦點，看到焦點想到準線”.

(2)注意靈活運用拋物線上一點尸(x,y)到焦點尸的距離IPfl=IXI+§或IPFI=M+§

3.與拋物線有關的最值問題的轉換方法

(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解.

(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為該點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原

理解決.

4.拋物線性質(zhì)的應用技巧

(1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程.

(2)要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算.

5.求解拋物線綜合問題的方法

(1)研究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關系的方法類似，一般是用方程法，但

涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應用.

(2)有關直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式IA用

=M+及+雙焦點在》軸正半軸)，若不過焦點，則必須用弦長公式.

J常用結論)

拋物線焦點弦的幾個常用結論

設AB是過拋物線y2=2pMp>0)的焦點P的弦，若A(X力)，β(χ2,y2),則：

小E2

(I)XIX2=N，yιyι--p;

(2)若A在第一象限，8在第四象限，則IAfl=]∕os/M=]+fosα,弦長IABl=Xl+及+p=磊(α為弦

AB的傾斜角)；

⑶向十兩='

(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；

⑸以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；

(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；

(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p?

J易錯點）

1.定義中易忽視”定點不在定直線上''這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與定直線垂

直的直線.

2.求拋物線的標準方程時一般要用待定系數(shù)法求P的值，但首先要判斷拋物線是不是標準方程，以及是哪

一種標準方程.

一、單選題

1.己知O為坐標原點，拋物線X=；V的焦點為F,點M在拋物線上，且IM曰=3,則M點到X軸的距離

為（）

A.2B.—C.2>∕3D.2?∣2

16

【答案】D

【解析】由題意得y,=4x,所以準線為;c=T,

又因為I"/1=3,設點用的坐標為（七,%）,則有IMq=%+l=3,解得：X0=2

將々=2代入解析式y(tǒng)?4x得：Λ=±2√2,所以M點到X軸的距離為2夜.

2.已知拋物線C：V=2pχ（p>o）的焦點為產(chǎn)，準線為/,點A是拋物線C上一點，AO_U于。.若AF=4,

NZMF=60。，則拋物線C的方程為（）

A.y2=8xB.y2=4xC.√=2xD.∕=x

【答案】B

【解析】根據(jù)拋物線的定義可得4）=AF=4,又/ZX/=60。，所以AO-p=；AF,

所以4-p=2,解得p=2,所以拋物線C的方程為V=4x.

3.設0、尸分別是拋物線V=4x的頂點和焦點，點尸在拋物線上，若OP?θ=lθ,則冏=

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

2?,2、/2、

（3,yj,FP=七葉F（l,O）=g_l,“，

因為ORFP=I0，［?，）'］（Ty=1°，∕l+12y2-160=0,V=8,y=±2√∑

FP=仔網(wǎng)=3

4.拋物線丁=?的焦點為F,點A(3,2),尸為拋物線上一點，且「不在直線AF上，則MAF周長的最小

值為()

A.4B.5C.4+2√2D.5+20

【答案】C

【解析】由拋物線為V=4x可得焦點坐標E(1,O),準線方程為x=T.

由題可知求APAF周長的最小值.即求IPAI+∣P尸I的最小值.

設點P在準線上的射影為點O.

則根據(jù)拋物線的定義.可知IPFl=IP/

因此求IPAl+∣p目的最小值即求IpH+1Pa的最小值.

根據(jù)平面幾何知識，當尸、A、。三點共線時，∣R4∣+∣PD∣最小.

所以(附+1PMrahI=XlT)=3+1=4.

3122-02

又因為IAFI=λ∕(^)+()=20，

所以ZV5A尸周長的最小值為4+2忘.

5.己知拋物線C：∕=-2py3>0)的焦點為死點例是C上的一點，M到直線產(chǎn)2P的距離是M到C的準線距

離的2倍，且IMF]=6,則P=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

'2p-y0=6×2

【解析】設材(。九)，則pC,解得P=4

L=6

6.已知拋物線C:/=4x上任意一點P,定點A(2,l),若點M是圓(x-iy+y2=:上的動點，則IpAl+∣PM∣

的最小值為()

5

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】B

【解析】拋物線焦點F(1,O),準線=設點P到準線/的距離為d,點A到準線/的距離為d'

?PA?+?PM^PA?+?PF?--^PA?+d--≥d'--=-.

2222

7.已知雙曲線U-W?=1Q>O)右焦點為士，過「且垂直于X軸的直線與雙曲線交于A,8兩點，拋物線

y2=-16x的焦點為F,若AB/為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.1+^1,+8B.(λ∕13,+∞)C.(1,3)D.?1-??

\7\/

【答案】D

【解析]在拋物線y2=-16x中，F(xiàn)(-4,0),

2

v?22*(b?

在雙曲線±一v與=1中，當X=C時，y=±2,取AC=.

4b22I2J

因為一AB廠是銳角三角形，所以NAF耳

/

則,萬八711?即從<8+2c?

tanZAFF="<tan—=1

14+c4

?22

因為雙曲線工-』v=1中4=2,

4b

^l^h2=c2-a2=c2-4,所以C2-4<8+2C,

^Wl-√i3<c<l+√13,所以1一屈<￡<1+9.

2a2

因為e=￡>l,則ι<e<匕巫，

a2

所以雙曲線的離心率的取值范圍是(1,耳?.

8.已知拋物線C：V=2px(p>0),以“(-2,0)為圓心，半徑為5的圓與拋物線C交于48兩點，若IABl=8,

貝∣]P=()

A.4B.8C.IOD.16

【答案】B

【解析】以"(一2,0)為圓心，半徑為5的圓的方程為(x+2y+y2=52,

由拋物線C-.y2=2px(p>0),得到拋物線關于X軸對稱，

又Y上面的圓的圓心在X軸上，.?.圓的圖形也關于X軸對稱，

??.它們的交點A,B關于X軸對稱，

因為∣A8∣=8,.?.4,B點的縱坐標的絕對值都是4,

它們在拋物線上，于是A點的橫坐標的值j=3,

2pP

不妨設A在X軸上方，則A點的坐標為

VP)

又?.S在圓上，...[￡+2)+42=25,解得P=8

二、多選題

9.已知拋物線V=2px(p>0)上一點M到其準線及對稱軸的距離分別為3和2√Σ,則。的值可以是

A.2B.6C.4D.8

【答案】AC

【解析】設M的橫坐標為X,由題意，x+5=3,2px=8,解得p=2或。=4.

10.下列說法不IjE砸的是()

A.等比數(shù)列{α,,},%=4,q0=8,則4=±4∕

B.拋物線y=-4f的焦點尸(TO)

C.命題“Tx>0,2*>爐”的否定是："mv≤0,2*≤χ2”

D.兩個事件Al,“A與8互斥”是“A與B相互對立”的充分不必要條件.

【答案】ABCD

【解析】A.等比數(shù)列{4},%=4,4。=8,所以％2=%即>=32,

則％=±40，又&=%/>0，所以％=4近，故A錯誤；

B.拋物線>=-4/化成標準式得：x2=-→,所以其焦點尸故B錯誤；

4I16；

C命題“Vx>0,2*>V”的否定是：Fx>0,2*≤χ2”,故C錯誤;

D.兩個事件AB,若A與8互斥，則A與B不一定相互對立，但若A與8相互對立，則A與B一定互斥，故

“A與8互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，故D錯誤.

11.［多選題］已知拋物線f=g)，的焦點為八Λ7(xl,yl),N(X2,%)是拋物線上兩點，則下列結論正確的是

()

A.點F的坐標為［,θ］

B.若直線MN過點F,則4t2=~?

16

C.若MF=大NF，則IMVI的最小值為:

D.若IM/∣+∣N尸|=2，則線段MN的中點P到X軸的距離為5

2o

【答案】BCD

【解析】易知點F的坐標為(θ1),選項A錯誤；

2

根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過焦點F時，xtx2=-p=~,選項B正確；

16

若MF=2NF，則MN過點尸，則IMVl的最小值即拋物線通徑的長，

為)2p,即選項C正確，

拋物線的焦點為(0,：1,準線方程為y=-：,

2?°J8

過點Λ/,N,P分別作準線的垂線Λ∕M',NN',PP'垂足分別為M',N',P',

所以IMM［=|MFI,IMVI=INq.

所以M"∣+∣MVl=∣Λ∕F∣+W日=5,

w

所以線段IPPl=IMMl7^1=：,

所以線段MN的中點P到X軸的距離為∣P∕y∣-g=9-d="選項D正確.

O4OO

12.已知拋物線C:y2=2pχ(p>0)的焦點尸到準線/的距離為2,則()

A.焦點F的坐標為。,0)

B.過點A(T,0)恰有2條直線與拋物線C有且只有一個公共點

C.直線x+y-1=O與拋物線C相交所得弦長為8

D.拋物線C與圓公+丁=5交于M,N兩點，貝”MV∣=4

【答案】ACD

【解析】由題可知拋物線方程為V=4x

對于A,焦點廠的坐標為(1,0),故A正確

對于B,過點4-1,0)有拋物線的2條切線，還有y=0,共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤

對于C,Iy224v=>)2+4y-4=0,弦長為01-Ml=+%1-今跖=&幻~~+6H),故C

正確

r"+\?2=5

對于D,\2=>X2+4X-5=0,解得χ=l(X=-5舍去)，交點為(l,i2),有IMNl=4,故D正確

/=4x

三、填空題

2

13.拋物線y=加(α>0)的焦點與楠圓木+/=1的一個焦點相同，則拋物線的準線方程是.

【答案】y=-3

【解析】橢圓A+∕=l的焦點為(0,±3),拋物線y="2(α>0)的焦點坐標為(0,3),

.??￡=3,得。=卷，即拋物線的標準方程為丁=12)，，

因此，拋物線的準線方程是V=-3.

14.若拋物線y2=2x上的一點M到坐標原點。的距離為6，則點M到該拋物線焦點的距離為.

【答案】j3

【解析】設點M,V∣MO∣=√3

I2)

.?.---0+(y-0『=3.?y2=2或y2=-6(舍去)，x=-=1

、2J2

.?.M到拋物線y2=2x的準線χ=-g的距離d=l-(-∣)=∣?

：點M到拋物線焦點的距離等于點M到拋物線y2=2x的準線的距離，

???點M到該拋物線焦點的距離為I

15.若直線2x+4y+m=0經(jīng)過拋物線y=2∕的焦點，則W=.

【答案】

=；y,焦點坐標為（。，j

【解析】y=2∕可化為f

由題意可得：2×0+4×i+∕M=0,故〃2=.

82

16.已知拋物線UV=2px（p＞0）的焦點為尸，點”（x0,4&）卜。＞與）是拋物線C上的一點，以H為圓心

7

的圓交直線X=5于A、B兩點（點A在點B的上方），若SinNHFA=B,則拋物線C的方程是.

【答案】∕=4x

【解析】畫出圖形如下圖所示，作垂足為。,

由題意得點H（x0,4√2）U＞在拋物線C上，則2px0=32①，

由拋物線的定義，可知I叫=XO-缶,

因為SinNWA=；所以，|。Μ=]”目=4%+§],

所以與-5=（1/+《|，解得XO=4p②，

由①②解得/=4p=-8（舍去）或及=4p=8,故拋物線C的方程為V=4x.

?M)

一、單選題

1.（2022.山東濰坊.模擬預測）數(shù)學與建筑的結合造就建筑藝術品，如吉林大學的校門是一拋物線形水泥

建筑物，如圖.若將該大學的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線^=改2（a力0）的一部分，且

點A(2,-2)在該拋物線上，則該拋物線的焦點坐標是()

A.fθ,-?jB.(0,-1)C.D.

【答案】A

【解析】依題意A(2,-2)在拋物線y=以2(α*0)上，所以-2="x2?nα=-g,

所以y=-gw=.2＞，故2p=2,5=g,且拋物線開口向下，所以拋物線的焦點坐標為(θ,-J.

2.(2022?貴州?模擬預測(理))已知曲線C/：x'=2py(p＞0)和C2：(x+l『+y?=當，點A(-1,

16

山)和8(2,＞2)都在C/上，平行于AB的直線/與C/,C2都相切，則。的焦點為()

A.(0,—)B.(0)?)

42

【答案】B

【詳解】先由題意求出AB坐標，則可得∕?,由于直線/平行于AB,所以設直線Ly=∕x+"再利用直

線/與Cl相切，將直線方程代入G方程中，由判別式為零可得Pb=-L再由直線/與C?相切，則圓心(T,°)

O

到直線/的距離等于半徑且，列方程，結前面的式子可求出P,從而可求出拋物線的焦點坐標

4

12

【點睛】對于曲線C/：X2=2py(p＞0),當X=-I時，＞'=—,當x=2時,，＞=一,

2pP

ZXZX12

所以A—1,；,82,工，所以直線AB的斜率為i__2p~7_1，

I2P)IP)%=F

1s,

設與直線A5平行的直線為hy=}χ+6,由＜y=——x-t-bC

2p,-X-Iph=Q,

2p

χ2=2py

因為直線3=9+gC∣相切，所以△=5即。，得面=」，

因為直線/：y=:-x+6與c?相切，所以圓心(-1,0)到直線/的距離等于半徑且,

化簡得jl+4p2)=(1-2pO)2,

Io

所以,(l+4p2)=(l+J)2,得p2=l,

164

因為。>0,所以。=1，所以曲線C/為χ2=2y,其焦點為[θ,g

故選：B

3.(2022?山東?昌樂二中模擬預測)PQ為經(jīng)過拋物線V=2px焦點的任一弦，拋物線的準線為/,PM垂直

于/于M,QN垂直于/于N,PQ繞/一周所得旋轉面面積為跖，以MN為直徑的球面積為邑，則()

A.51>S2B.5l<S2C.Sl≥S2D.S1≤S2

【答案】C

【解析】設PQ與X軸夾角為氏令IP日=W,|。司=〃，則IPM="，1。2=〃，則

1

S1=π(?PM?+?QN?)-?P^=π[m+n^,S2=π?MN'?=π{m+n^s?nθ,所以S∣≥S?當且僅當。=9()。時等號成

立；

故選：C

4.(2021?內(nèi)蒙古烏蘭察布?一模(文))已知F是拋物線y2=4x的焦點，點M在此拋物線上，且它的縱坐

標為6,以M為圓心，IMQ為半徑作圓，過。(7,-4)引圓M切線Q4QB,則NAQS=()

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

拋物線),2=4χ的焦點*1,0),準線/方程：X=-L

因為點M在此拋物線上，且它的縱坐標為6,所以M(9,6),

所以IMFl=J(9-1)2+(6-0)2=]0即圓的半徑尸：10.

由拋物線的定義可知，準線與圓M相切.

而Q(-l,-4)在準線/,所以切點A必在準線上，且A(T,6),

可知IQAl=I()=r,故四邊形AQBM為正方形，所以NAQB=90。

故選：B

5.(2022.安徽省舒城中學模擬預測(理))已知A,8分別為拋物線C1：V=4x與圓C?：/+/_40〉+7=0

上的動點，拋物線的焦點為F,P,。為平面兩點，當∣AF∣+∣A卻取到最小值時，點A與P重合，當IA尸∣一∣A卸

取到最大時，點A與。重合，則直線的PQ的斜率為()

A.—B.?C.1D.—

323

【答案】D

【解析】如圖所示:

C√x2+y2-4√2,y+7=0,SPx2+(γ-2√2)2=1,圓心為cjθ,2夜)，

拋物線J：V=4x的焦點為F(LO),記G的準線為/,過點A作ADJ/,

過C2作CAL，

∣AF∣+∣AB∣=∣AD,∣+∣AB∣>∣ADl∣+∣AG∣-l,當AGW共線時，點B在AG上，此時PR,2√5),

連接FC2,

IAFl-1AB∣<IAF∣-(|AC2∣-1)=?AF?-1AC2∣+1≤∣FC2∣+1,此時Q為FCl與拋物線G的交點，

FC√y=-2√2(x-l),由卜「［何，-"，解得「一或「一萬,

Iy=4、Iy=H2Iy=&

一、,2√2-√22√2

Q化⑸X-TT=亍

因為Q在第一象限，所以I2人所以2,

故選：D

6.(2022?安徽?合肥一中模擬預測(文))首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結合再利用的競

賽場館，它的設計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為

雪飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金

牌.雪飛天的助滑道可以看成一個線段PQ和一段圓弧向組成，如圖所示.假設圓弧Q3所在圓的方程為

C:(x+25)2+(y-2)2=162,若某運動員在起跳點M以傾斜角為45且與圓C相切的直線方向起跳，起跳后

的飛行軌跡是一個對稱軸在y軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為()

A.j2=-32(Λ-1)B.y=--x2-3

64

C.√=-32(>>-l)D.f=-36y+4

【答案】C

【解析】由于某運動員在起跳點M以傾斜角為45且與圓C相切的直線方向起跳，

故ACM=T,所以直線CM所在的方程為：y-2=-(x+25),

JQ——]6IX=—34

r或<一一(舍，離y軸較遠的點)，

{y=-7[y=ll

所以點M的坐標為(T6,-7).

由于起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在y軸上的拋物線的一部分，

故設拋物線方程為：y=αM+c,則y'=2αr,

則由M點處切線斜率為1可得-324=l,.?.”=-?,

X-7=-^(-16)2+c,解得c=l,

所以該拋物線的軌跡方程為y=-?f+ι,即f=-32(y-l),

故選：C.

7.(202卜安徽馬鞍山?二模(文))在平面直角坐標系Xoy中，若拋物線Cy=2px(p>0)的焦點為F,直

線43與拋物線C交于A,B兩點,IAfI=4,圓E為IiEAB的外接圓，直線OM與圓E切于點M,點N在

圓E上，則OM.QN的取值范圍是()

A.B.[-3,21]C.祟21D.[3,27]

【答案】B

【解析】由題意，設川3,府)，所以IAFI=3+^=4,解得p=2,

所以拋物線的方程為V=4x,λ(3,2√3),B(3,-2√3),F(l,()),

所以直線AF的方程為y=√3(x-l),

設圓心坐標為α,,θ),所以(XO-I)2=(3-A))2+12,解得Xo=5,即E(5,0),

???圓的方程為α-5α+y2=i6,

不妨設3>0,設直線OM的方程為y=H,則攵>0,

4

根據(jù)卷7=4,解得k=g,由.V=-X912

3,解得M5,^5^

(X-5)2+>2=16

設N(4cosθ÷5,4sinθ),月『以OM?ON=gcosJ+羨sing+9=∕(3COS夕+4Sing)+9,

因為38$。+4$皿。=55皿。+0)?-5,5],所以QM.ONe[-3,21].

故選：B.

8.（2022.新疆烏魯木齊.模擬預測（文））北京時間2022年4月16日9時56分，神州十三號載人飛船返

回艙在東風著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪某學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天

器變軌返回試驗.如圖，航天器按順時針方向運行的軌跡方程為工+t=I,變軌（即航天器運行軌跡由

10025

橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，（0,為頂點的拋物線的一部分.已知觀測點4的坐

標（6,0）,當航天器與點A距離為4時，向航天器發(fā)出變軌指令，則航天器降落點B與觀測點A之間的距離

為（）

A.3B.2.5C.2D.1

【答案】A

【解析】由題意，設點8所在的拋物線方程為y=0χ2+^,

又由拋物線與橢圓的交點C(6,4),代入拋物線方程得42="62+”,解得。=一三,

545

AQA

即拋物線的方程為y=-??2+邛，

455

436

令y=o,可得-77f+u=o,解得χ=9或工=_9(舍去)，

455

所以|明二|0卻-|儂=3,即航天器降落點3與觀測點A之間的距離為3.

故選：A.

二、多選題

9.(2021.重慶市育才中學二模)下列說法正確的是()

A.AB=C。是IABl=ICDl的充分不必要條件

B.基函數(shù)/(x)=∕n"my帆eR)在區(qū)間(O,*0)上單調(diào)遞減

22

C.拋物線y=4χ2的焦點與橢圓二+匕=1的右焦點重合

43

D.函數(shù)f(x)=SinlX∣+∣SinXl的最大值為2

【答案】ABD

【解析】對于A中，由AB=Cf>，可得IA8∣=∣C￡>I成立，反之：若∣A8∣=∣CD∣,但向量AB與CO的方向不

一定相同，所以向量AB與CC不一定相等，所以AB=CD是IABl=IC￡>I的充分不必要條件，所以A正確；

n

對于B中，由幕函數(shù)F(X)=欣jτ,可得zn=ι,即/(χ)=Xτ,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以B正確;

對于C中，拋物線y=4∕的焦點坐標為（0,上），橢圓H+E=l的右焦點的坐標為（1,0）,

可得拋物線y=4∕的焦點與橢圓:+]=1的右焦點不重合，所以C不正確；

對于D中,由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得SkIWe[—1,1],卜in耳∈[0,1],

當X=IH寸，可得SinIxI=LlSinXl=1,所以當X=I時，函數(shù)〃x）取得最大值2,

所以D正確.

故選：ABD.

10.（2021.遼寧.沈陽二中模擬預測）下列說法不氐現(xiàn)的是（）

A.等比數(shù)列{4},4=4,40=8,則4=±40

B.拋物線y=-4f的焦點尸（To）

C.命題‘'Vx>0,2*>χ2”的否定是：FX≤0,2*≤χ2"

D.兩個事件AJ?,“A與8互斥”是“A與B相互對立”的充分不必要條件.

【答案】ABCD

【解析】A.等比數(shù)列{4},4=4,4=8,所以"=/4。=32,

則％=±4&，又&=%爐>。，所以％=4近，故A錯誤；

B.拋物線y=-4∕化成標準式得：x2=-y,所以其焦點尸（θ,-??],故B錯誤；

4I16；

C命題“Vx>02>/”的否定是：FX>0,2*≤C”,故C錯誤;

D.兩個事件AB,若A與8互斥，則A與8不一定相互對立，但若A與8相互對立，則A與8一定互斥，故

“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，故D錯誤.

故選：ABCD;

11.（2022.福建省廈門集美中學模擬預測）過拋物線C：V=4x的焦點F的直線/與C交于A,B兩點，設

β

AaM、（??J2）>已知“（3,-2）,N（T,1）,則（）

4

A.若直線/垂直于X軸，則IABl=4B.yly2=-

C.若P為C上的動點，則IPMI+1PH的最小值為5D.若點N在以AB為直徑的圓上，則直線/的斜率

為2

【答案】ABD

y2=ΛYCy-IΓγ—?

二可得-C或一C

{尤=1[y=2Iy=-2

所以A(l,2),8(1,-2),所以IABI=4,A對,

由已知可得直線/的斜率不為0,故可設其方程為X=my+↑,

V2=4x

聯(lián)立《化簡可得V-4∕ny-4=0,

X=my+\

Δ=(4W)2+16>0,設A(Xl,必),8(*2，必)，

則X+>2=4，"，My2=-4，B對，

點N在以AB為直徑的圓上，則NA?NB=0,又N(-l,l)

m1

所以(玉+D(j?+ι)+(y∣-1)(丫2-1)=(),又再=Wyl+1,?=y2+

所以(町+2)(啊2+2)+(yT)(%T)=0>

所以(〃?2+1)%必+(2〃7_1)()'1+%)+5=0，

所以4"∕-4,"+I=0,故機=g,此時直線/的斜率為2,D對，

過點P作出垂直與準線X=T,垂足為

過點"作MM