專題02無理數(shù)與實(shí)數(shù)

一.選擇題

1.（2021?仙桃）下列實(shí)數(shù)中是無理數(shù)的是（）

A.3.14B.√9C.√3D.-

7

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概

念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)

小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).

【解答】解：A.3.M是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

B.炳=3是整數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

C.√5是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

1

D.,是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，熟記實(shí)數(shù)的分類是解答本題的關(guān)鍵.

1

2.（2021?荊州）在實(shí)數(shù)-1,0,-,√2ψ,無理數(shù)是（）

1L

A.-1B.0C.-D.√2

2

【分析】根據(jù)有理數(shù)（包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)）和無理數(shù)（無限不循環(huán)的小數(shù)）的定義判斷即

可.

【解答】解：選項(xiàng)A、B：Y-1、0是整數(shù)，.?.-1、0是有理數(shù)，.?.選項(xiàng)A、B不符合題

屈、;

11

選項(xiàng)C：?.?一是分?jǐn)?shù)，.?.；是有理數(shù)，...選項(xiàng)C不符合題意；

22

選項(xiàng)D：?.?√I是無限不循環(huán)的小數(shù)，.?.√I是無理數(shù)，...選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π,2n等;

開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001……，等有這樣規(guī)律的數(shù).

3.（2020?宜昌）對于無理數(shù)√5,添加關(guān)聯(lián)的數(shù)或者運(yùn)算符號組成新的式子，其運(yùn)算結(jié)果能

成為有理數(shù)的是（）

A.2√3-3√2B.√3+√3C.（√3）123D.0×√3

【分析】選項(xiàng)A、B根據(jù)二次根式的加減法法則判斷即可;

選項(xiàng)C根據(jù)乘方的定義以及二次根式的性質(zhì)判斷即可；

選項(xiàng)D根據(jù)任何數(shù)與O相乘得O判斷即可.

【解答】解：A.2遮與-3夜不是同類二次根式，所以不能合并，故本選項(xiàng)不合題意；

B.√3+√3=2√3,故本選項(xiàng)不合題意；

C.（√3）`=3√3,故本選項(xiàng)不合題意；

D.O×V3=0,故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的

關(guān)鍵.

4.（2022?武漢）實(shí)數(shù)-√Σ的相反數(shù)是（）

LL11

A.-√2B.√2C.-?D.?=

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義可以得到實(shí)數(shù)-√I的相反數(shù)是多少，本體得以解決.

【解答】解：實(shí)數(shù)-√∑的相反數(shù)是VL

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確相反數(shù)的定義.

5.（2020?荊門）∣-√Σ的平方是（）

A.-√2B.√2C.-2D.2

【分析】運(yùn)用平方運(yùn)算的法則運(yùn)算即可.

【解答】解：的平方是2,

故選:D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平方運(yùn)算的法則，熟練掌握法則是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2022?仙桃）在1,-2,0,6這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.1B.-2C.0D.√3

【分析】實(shí)數(shù)的比較，正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)也較大.

【解答】解：?.?√T>l>0>-2,

???最大的數(shù)是√5?

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的比較大小，關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)比較大小的原則.

7.（2021?恩施州）從加,-8,-夜這三個實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘,所有積中小于2的有（）

個.

A.OB.1C.2D.3

【分析】依題意任選兩數(shù)相乘，將所得的三個乘積與2作比較，即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?√ΣX（-√3）=-√6<2,

√2×（-√2）=-2<2,

（-√3）×（-√2）=√6>2,

.?.從√Σ,-√3,-√Σ這三個實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有2個.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，實(shí)數(shù)大小的比較.運(yùn)算中要注意運(yùn)算結(jié)果的符號，

這是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?恩施州）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆"：a☆b=a+b-1,例如:2τ?3=2+3-1=4.如

果2^x=l,則X的值是（）

A.-1B.1C.0D.2

【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可求出X的值.

【解答】解：由題意知：2G=2+χ-l=l+x,

又2???χ=l,

1+x=1,

?*?X--0.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，一元一次方程的解法，本題的關(guān)鍵是能看明白題目意

思，根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解.

二.填空題

9.（2022?恩施州）9的算術(shù)平方根是3.

【分析】9的平方根為±3,算術(shù)平方根為非負(fù)，從而得出結(jié)論.

【解答】解：；（±3）2=9,

，9的算術(shù)平方根是3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)的算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是牢記算術(shù)平方根為非負(fù).

10.（2020?荊州）若單項(xiàng)式2xVi與3xym*n是同類項(xiàng)，則行幣的值為2.

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同）列出方程，求出n,

m的值，再代入代數(shù)式計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：m=Lm+n=3,

解得n=2,

所以2m+n=2+2=4,

√2m+n=V4=2.

故答案是：2.

【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根和同類項(xiàng)的定義.解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根和同類

項(xiàng)的定義，要注意同類項(xiàng)定義中的兩個“相同”：相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)，因此

成了中考的?？键c(diǎn).

11.（2021?鄂州）計(jì)算：√9=3.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可.

【解答】解：'Y?=!）,

'.y∕9=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題較簡單，主要考查了學(xué)生開平方的運(yùn)算能力.

12.（2022?鄂州）計(jì)算：√4=2.

【分析】如果一個正數(shù)X的平方等于a,那么X是a的算術(shù)平方根，由此即可求解.

【解答】解：?.?22=4,

.,.√4=2.

故答案為：2

【點(diǎn)評】此題主要考查了學(xué)生開平方的運(yùn)算能力，比較簡單.

13.（2020?黃岡）若∣x-2∣+歷方=0,則TXy=2.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解答】解：?Jχ-2∣+JF將=0,

.?.χ-2=0,x+y=O,

Λx=2,y=-2,

11

-2Xy=-]X2X（—2）=2,

故答案為2.

【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個數(shù)都為0,是解題

的關(guān)鍵.

14.（2020?黃岡）計(jì)算口=-2.

【分析】依據(jù)立方根的定義求解即可.

【解答】解：Vz8=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是立方根的性質(zhì)，熟練掌握立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?隨州）2021年5月7日，《科學(xué)》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導(dǎo)量子計(jì)

算機(jī)“祖沖之”號的相關(guān)研究成果.祖沖之是我國南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他是第一

22355

個將圓周率”精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位的人，他給出W的兩個分?jǐn)?shù)形式下（約率）和市

（密率）.同時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算

法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)X的不足近似值和過剩近似值分別為P和9（即有P<χ<2,

acac

其中a,b,c,d為正整數(shù)），則色是X的更為精確的近似值.例如：已知字<“<年，

a+c507

157+22179

則利用一次“調(diào)日法”后可得到n的一個更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：-=—；由于

5rn0+757

179i7Qm

—≈3.1404<π,再由三"<n<與，可以再次使用“調(diào)日法”得到”的更為精確的

近似分?jǐn)?shù)…現(xiàn)已知Zv√i<M則使用兩次“調(diào)日法”可得到√∑的近似分?jǐn)?shù)為—.

52~12-

【分析】根據(jù)“調(diào)日法”逐次進(jìn)行計(jì)算求解.

【解答】解：?.[<√Ξv∣,

7+310

...利用一次“調(diào)日法”后可得到VI的一個更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：-=Y

10IOOLIOO

一且—>2,

74949

7/-IO

?'?一VV2V一,

57

7÷1017

...再次使用“調(diào)日法”得到近的更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：-=-

故答案為：H

【點(diǎn)評】本題考查簡單的推理與證明，根據(jù)“調(diào)日法”的定義進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)

鍵，是基礎(chǔ)題，考查了計(jì)算能力.

?

16.(2020?荊州)若a=(n-2020)°,b=-(-)，C=-3,則a,b,C的大小關(guān)系

為b<a<c.(用號連接)

【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)募的性質(zhì)分別化簡得出答

案.

?

【解答】解：Va-(Jt-2020)°=1,b=-(-)''--2,C=I-3|=3,

Λb<a<c.

故答案為：b<a<c.

【點(diǎn)評】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)轅的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)幕的性質(zhì)，正

確化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵.

17.(2022?黃石)計(jì)算：(-2)2-(2022-√3)°=3.

【分析】直接利用零指數(shù)塞的性質(zhì)以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則、有理數(shù)的加減運(yùn)算法則

分別計(jì)算，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：原式=4-1

=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.(2021?十堰)對于任意實(shí)數(shù)a、b,定義一種運(yùn)算：a?b=a2+b2-ab,若x?(X-I)=3,

則X的值為2或-1.

【分析】依據(jù)新定義得到關(guān)于X的方程，解方程可得結(jié)論.

【解答】解：由題意得：

χ2+(x-1)j-X(x-1)=3.

整理得：

x"-X-2=0.

即(x-2)(x+l)=0.

解得：Xι=2,X2=-1.

故答案為：2或-1.

【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的解法-因式分解法.本題是新定義型題目，正

確理解新定義并準(zhǔn)確使用是解題的關(guān)鍵.

19.(2021?荊門)計(jì)算：∣1-√2∣+(?)”+2COS45°+(-1)0=2√2+2.

2----

【分析】根據(jù)絕對值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)幕計(jì)算即可.

【解答】解:原式=√I-l+2+2x^+l

—V2-1+2+V2+1

=2√Σ+2.

【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)'暴，

考核學(xué)生的計(jì)算能力，注意負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù).

20.(2021?隨州)計(jì)算：√3-1∣+(π-2021)°=_V3_.

【分析】利用絕對值和零指數(shù)幕的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解答】解：∣√3-1∣+(π-2021)°

=√3-1+1

—V3.

故答案為：√3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)和零指數(shù)累的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握絕對值的性質(zhì)(正

數(shù)和零的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù))和零指數(shù)嘉(零除外任何數(shù)的

零次事都等于1)是解答問題的關(guān)鍵.

?

21.(2021?黃石)計(jì)算：(鼻)τ-|遮一2|=_百_.

【分析】直接利用負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=2-(2-√3)

=2-2+√3

—v?.

故答案為：v?.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

22.(2020?黃石)計(jì)算：(?)^1-∣1-√2∣=4-√2.

3---

【分析】原式利用負(fù)整數(shù)指數(shù)基法則，以及絕對值的代數(shù)意義計(jì)算即可求出值.

【解答】解：原式=3-(√2-l)

=3-√2+l

=4-VΣ.

故答案為：4—V2.

【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及負(fù)整數(shù)指數(shù)累，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)

鍵.

23.(2020?十堰)對于實(shí)數(shù)m,n,定義運(yùn)算m*n=(m+2)^-2n.若2*a=4*(-3),則a

--13.

【分析】根據(jù)給出的新定義分別求出2*a與4*(-3)的值，根據(jù)2*a=4*(-3)得出

關(guān)于a的一元一次方程，求解即可.

【解答】解：?.?m*n=(m+2)2-2n,

.?.2*a=(2+2)2-2a=16-2a,4*(-3)=(4+2)2-2X(-3)=42,

?.,2*a=4*(-3),

Λ16-2a=42,

解得a=^13,

故答案為：-13.

【點(diǎn)評】本題考查解一元一次方程、新定義下實(shí)數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，理解題干中給出的新

定義是解題的關(guān)鍵.

24.(2020?荊門)計(jì)算：√8-tan450+(-2020)°-(√2)T=-√2.

—2-

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)基，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則運(yùn)算即可.

【解答】解：原式=2夜-1+1-孝

故答案為：∣√2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)募的運(yùn)算等，熟

練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.

25.(2020?隨州)計(jì)算：(-1)2+√9=4.

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義以及算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可.

【解答】解：(-1)2+√9=1+3=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟記有理數(shù)乘方的定義以及算術(shù)平方根的定義是

解答本題的關(guān)鍵.

Ξ.解答題