2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓真題練習(xí)題匯編

一.選擇題（共2小題）

1.（2023?溫州）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。,BC//AD,ACA.BD.若NAO3=120。，

則NCA。的度數(shù)與BC的長(zhǎng)分別為（）

A

2.（2023?杭州）如圖，在。。中，半徑04,。8互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上.若NA8C=19°,

二.填空題（共9小題）

3.（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°,半徑為18,則它的弧長(zhǎng)為.

4.（2023?寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm,母線長(zhǎng)為50cm,則煙囪帽的側(cè)面積為

5.（2023?紹興）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于圓O,若N￡）=100°,則NB的度數(shù)是

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6.（2023?浙江）如圖，點(diǎn)4是外一點(diǎn)，AB,AC分別與OO相切于點(diǎn)8,C,點(diǎn)。在BDC上.已

知/A=50°,則NQ的度數(shù)是.

B

7.（2023?金華）如圖，在△4BC中，AB=AC-6cm,N8AC=50°,以48為直徑作半圓，交BC

于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,則弧DE的長(zhǎng)為cm.

C

8.（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是0。的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形A8CDEF的面積為Si,

S.

△ACE的面積為S2，則」=

s2

9.（2023?溫州）圖1是4X4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為&,現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)

“房子”造型（如圖2）,過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形。EF作為題字區(qū)

域（點(diǎn)A,E,D,B在圓上，點(diǎn)C,尸在A8上），形成一幅裝飾畫(huà)，則圓的半徑為.若

點(diǎn)A,N,M在同一直線上,DE=4^EF,則題字區(qū)域的面積為.

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A

10.（2023?浙江）一副三角板ABC和DE/中，ZC=ZD=90°,ZB=30°，ZE=45°,BC=

EF=\2.將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CO與A8相交于點(diǎn)G（如圖1）,此時(shí)線段CG

的長(zhǎng)是.現(xiàn)將△￡>￡：/繞點(diǎn)C（F）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2）,邊EF

與AB相交于點(diǎn)H,連結(jié)DH,在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線段DH掃過(guò)的面積

是.

11.（2023?寧波）如圖，在RtZVIBC中，/C=90°,E為A8邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓。與

8c相切于點(diǎn)。，連結(jié)AD,BE=3,BD=3娓.P是A8邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí),

AP的長(zhǎng)為.

三.解答題（共7小題）

12.（2023?金華）如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，0A與x軸相切于點(diǎn)B,與），軸相交于點(diǎn)C,D,連結(jié)

AB,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)/

（1）求證：四邊形A3OH為矩形.

（2）已知0A的半徑為4,0B=41，求弦C￡>的長(zhǎng).

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13.(2023?紹興)如圖，A3是OO的直徑，C是。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。O的切線C￡>,交A8的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AE_LC￡>于點(diǎn)￡

(1)若NE4c=25°,求NACD的度數(shù)；

(2)若OB=2,BD=l,求CE的長(zhǎng).

E

14.(2023?浙江)已知，AB是半徑為1的的弦，的另一條弦CD滿足CO=48,且C￡>,

AB于點(diǎn)H(其中點(diǎn)，在圓內(nèi)，且CH>DH).

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦CZ)與點(diǎn)4(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)連結(jié)A。，猜想：當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段A。的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說(shuō)

明理由；若不變，求出AO的長(zhǎng)度；

(3)如圖2,延長(zhǎng)AH至點(diǎn)F,使得HF=AH,連結(jié)CF,ZHCF的平分線CP交AD的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)尸，點(diǎn)用為AP的中點(diǎn)，連結(jié)若PO=Lf>,求證：MHLCP.

2

15.(2023?麗水)如圖，在。0中，48是一條不過(guò)圓心。的弦，點(diǎn)C,。是贏的三等分點(diǎn)，直徑

CE交AB于點(diǎn)尸，連結(jié)A。交CF于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過(guò)點(diǎn)C的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)求證：AD//HC；

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(2)若型=2,求tan/MG的值；

GC

(3)連結(jié)BC交AD于點(diǎn)N,若。。的半徑為5.

下面三個(gè)問(wèn)題，依次按照易、中、難排列.請(qǐng)根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇其中一道問(wèn)題進(jìn)行解答.

①若0F=8,求8c的長(zhǎng)；

2

②若4”=，而，求△AN8的周長(zhǎng)；

③若“戶45=88,求△BHC的面積.

16.(2023?杭州)如圖，在。0中，直徑A8垂直弦C￡＞于點(diǎn)E,連接AC,AD,BC,作CFJ_AD

于點(diǎn)尸，交線段08于點(diǎn)G(不與點(diǎn)O,8重合)，連接OF.

(1)若BE=l,求GE的長(zhǎng).

(2)求證：Bd=BG?BO.

(3)若FO=FG,猜想/C4。的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

17.(2023?臺(tái)州)我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)

的位置刻畫(huà)圓上點(diǎn)的位置.如圖，A8是。。的直徑，直線/是00的切線，8為切點(diǎn).P,Q是

圓上兩點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè))，分別作射線AP,A。交直線/于點(diǎn)C,點(diǎn)。.

(1)如圖1,當(dāng)A8=6,8P長(zhǎng)為ir時(shí)，求BC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)坦萼，康=同時(shí)，求區(qū)?的值；

AB4CD

(3)如圖3,當(dāng)sin/BAQqg，BC=CDH寸，連接8P,PQ,直接寫出黑的值.

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AAA

圖1圖2圖3

18.(2023?寧波)如圖1,銳角^ABC內(nèi)接于。O,。為8C的中點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,

連結(jié)BE,CE,過(guò)C作AC的垂線交AE于點(diǎn)F,點(diǎn)G在AO上，連結(jié)BG,CG,若BC平分NEBG

且/8CG=NAFC.

圖1圖2

(1)求NBGC的度數(shù).

(2)①求證：AF^BC.

②若AG=O凡求tan/GBC的值.

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)O恰好在2G上且OG=1時(shí)，求AC的長(zhǎng).

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圓（真題匯編）2023年浙江省中考數(shù)學(xué)試題全解析版

參考答案與試題解析

一.選擇題（共2小題）

1.（2023?溫州）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于。O,BC//AD,AC±BD.若NAO￡>=120°,A￡>=北,

則/C4O的度數(shù)與的長(zhǎng)分別為（）

?

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【答案】C

a

【解答】W-：：BC//ADt

:?/DBC=/ADB,

?,?篇=而，

AZAOB=ZCOD,ZCAD=ZBDAf

VDB1AC,

AZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45Q,

???/AOB=2/ADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

???NA00=120°,

AZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

???OB=OC,

△08C是等邊三角形，

:.BC=OB,

???04=00,NAOO=120°,

：,ZOAD=ZODA=30°,

:.AD=M（）A=a，

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，OA=1,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15

故選：C.

A

2.（2023?杭州）如圖，在OO中，半徑04,08互相垂直，點(diǎn)C在劣弧A8上.若NA8C=19°,

【答案】D

【解答】解：連接OC,

VZABC=19°,

.../AOC=2/A8C=38°,

?.?半徑04,08互相垂直，

AZA0B=90°,

AZBOC=90°-38°=52°,

/.ZBAC=AZBOC=26°,

2

故選：D.

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3.（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°,半徑為18,則它的弧長(zhǎng)為4n.

【答案】4Tt.

【解答】解：由弧長(zhǎng)公式得407Txi8

180

故答案為：47T.

4.（2023?寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm,母線長(zhǎng)為50cm,則煙囪帽的側(cè)面積為

【解答】解：煙囪帽的側(cè)面積為：Lx如X30X50=1500n（cm2）,

2

故答案為：1500m

5.（2023?紹興）如圖，四邊形ABCQ內(nèi)接于圓O,若/。=100°,則的度數(shù)是80°

【解答】解：?.?四邊形ABCE）內(nèi)接于圓O,

.,.ZB+ZD=180°,

VZD=100°,

.,.ZB=80".

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故答案為：80。.

6.（2023?浙江）如圖，點(diǎn)4是。。外一點(diǎn)，AB,AC分別與。。相切于點(diǎn)8,C,點(diǎn)。在BDC上.已

知/A=50°,則/￡＞的度數(shù)是65°

B

【答案】65°.

【解答】解：連接OC,OB,

,：AB,AC分別與。。相切于點(diǎn)8,C,

：.ZACO=ZABO=90°,

VZA=50°,

二NCOB=360°-ZA-ZACO-NABO=130°,

AZD=yZC0B=65°，

7.（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB=AC=6cm,ZBAC=50°,以A8為直徑作半圓，交BC

于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,則弧DE的長(zhǎng)為之cm.

C

【答案】耳.

6

【解答】解：連接OE,OD,

'：OD=OB,

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:.NB=/ODB,

\"AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZC=ZODB,

：.OD//AC,

：.ZEOD^ZAEO,

"：OE=OA,

：.ZOEA=ZBAC=50°,

.".ZEOD=ZBAC=50°,

VOD=-1AB=AX6=3(cm),

22

二施的長(zhǎng)=§°7TX3.=8n(c〃?).

1806

故答案為：立m

6

C

8.（2023?杭州）如圖，六邊形A8CDEF是O。的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S,

S.

△ACE的面積為S2，則」■=2.

【答案】2.

【解答】解：如圖所示，連接。4,OC,OE.

第11頁(yè)共37頁(yè)

A

B

,/六邊形ABCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形,

：.AC^AE=CE,

.?.△4CE是。。的內(nèi)接正三角形,

VZB=I2O°,AB=BC,

二NBAC=/BC4=」(180°-ZB)=30°,

2

VZCAE=60°,

.../O4C=/OAE=30°,

...NBAC=/OAC=30°,

同理可得，ZBCA=ZOCA=30°,

又：AC=AC,

：./\BAC^^OACCASA),

??SABAC-S4AOC，

圓和正六邊形的性質(zhì)可得，S/\BAC=S&AFE=S1CDE，

由圓和正三角形的性質(zhì)可得，S^OAC=SAOAE=SAOCE,

VSi=S^BAC+S^AEF+S^CDE^S^OAC+S^OAE+SAOCE=2(S^OAC^SAOAE+SAOCE)=2SZ，

故答案為：2

9.（2023?溫州）圖1是4X4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為&,現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)

“房子”造型（如圖2）,過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形CCEF作為題字區(qū)

域（點(diǎn)A,E,D,B在圓上，點(diǎn)C,尸在A8上），形成一幅裝飾畫(huà)，則圓的半徑為5.若點(diǎn)

A,N,M在同一直線上，AB//PN,￡＞后=返￡尸，則題字區(qū)域的面積為_(kāi)2生?

第12頁(yè)共37頁(yè)

A

【解答】解：如圖所示，依題意，GH=2=GQ,

,過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)Q,K,L作圓，QH=HL=4,

又NKLQL,

二。在KN上，連接0Q,則0Q為半徑,

'：OH=r-KH=r-2,

在RtZ\OHQ中，OH2+QH2=QO2,

r.(r-2)2+42=J,

解得：r=5；

連接OE,取EO的中點(diǎn)T,連接07,交AB于點(diǎn)S,連接P8,AM,過(guò)點(diǎn)。作OU_LAM于點(diǎn)U.

連接OA.

由AOUNsANPM,可得四=地=變,

_NPPMMN

：.OU=2LI1-.MN=2辰,

5

:.NU=里,

5_

?,.At/=^0A2_0U2=n^I,

0

:?AN=AU-NU=2匹,

:?AN=MN,

u

：AB//PNf

：.ABLOT,

：.AS=SB,

:.NS〃BM,

:?NS〃MP,

第13頁(yè)共37頁(yè)

???M,P,3共線,

又NB=NA,

：.ZABM=90°,

,:MN=NB,NPLMP,

:.MP=PB=2,

:.NS=LMB=2,

2

???K"+”N=2+4=6,

/.ON=6-5=1,

A05=3,

,-,DE=V6EF，

設(shè)EF="="，則ET-|DE聆a，

在Rtz^OET中，0爐=0產(chǎn)+75，即52=區(qū)+a）2+（亭2）2,

整理得5/+i2“-32=0,

即（a+4）（5a-8）=0,

解得：a普或。=-4,

5

,題字區(qū)域的面積為V6a2-^-V6-

故答案為：5,

圖1I也

10.（2023?浙江）一副三角板ABC和OEF中，ZC=ZD=90°,/8=30°,ZE=45°,BC=

EF=\2.將它們疊合在一起，邊BC與E尸重合，C。與AB相交于點(diǎn)G（如圖1）,此時(shí)線段CG

的長(zhǎng)是6加-6后.現(xiàn)將尸繞點(diǎn)C（F）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2）,邊E尸與AB相

交于點(diǎn)“，連結(jié)在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線段。H掃過(guò)的面積是18+12n-18j^.

第14頁(yè)共37頁(yè)

圖1圖2

【答案】6企-6加；18+12TT-1873.

【解答】解：如圖1,過(guò)點(diǎn)G作GKLBC于K,則NCKG=NBKG=90°,

C(F)

圖I

VZBCD=45°,

.?.△CGK是等腰直角三角形，

：.CK=GK=^-CG,

2

：8C=12,

：.BK=BC-CK=12-近CG,

2

在RtZXBGK中，/GBK=30°,

.?巫=tan/G8K=tan30。=近

BK3

:.BK=MGK,

即12-亞CG=V^X近CG,

22

*'-CG=6A/6_65/2：

如圖2,以C為圓心，CD為半徑作圓，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CE'交A8于H',連接

DD',過(guò)點(diǎn)。作。M_LAB于M,過(guò)點(diǎn)C作于N,

則NBCE'=ZDCD'=60°,點(diǎn)￡＞的運(yùn)動(dòng)軌跡為DD'，點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，

第15頁(yè)共37頁(yè)

E'

圖2

...在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線段OH掃過(guò)的面積為SMDO+S窗形COD-SACD?，

VCD=BC*cosCBD=12cos45°=6&,

:.DG=CD-CG=6近-(6A/^-6&)=12&-6五，

'：ZBCD+ZABC=f>0°+30°=90°,

AABH'C=90°,

在RtZ\BCH'中，CH'=BC*sin30°=12X」=6,BH'=8C?cos30°=12X2Z1_=6禽,

22

,：/\CD'E'是等腰直角三角形，NCD1E'=90°,D'H'JLCE',

：.D'H'=」CE'=6,

2

：.BD'=673+6，

'：DM±AB,

:.NDMG=90",

:.NDMG=NCH'G,

■:/DGM=NCGH',

：.4DGMs叢CGH',

?DD=DG即DM=12^-6a

-時(shí)CG->T6V6-6V2,

:.DM=3M-3,

,:CD'=C￡>=6&,ZDCD'=60。，

/.△CDD,是等邊三角形，

：.ZCDD'=60°,

,：CN±DD',

：.CN=CD'smZCDD'=6&sin60。=3企，

第16頁(yè)共37頁(yè)

二?Sz\8￡>D+S扇形CQD_S^CDD'=—X(6^/^+6)X(3A/3~3)+60冗?(W^)2-與X6MX

23602

3&=18+12n-18百；

故答案為：676-672；18+12TT-1873.

11.(2023?寧波)如圖，在RtZ\A8C中，ZC=9O°,E為A8邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓。與

BC相切于點(diǎn)。，連結(jié)A。，BE=3,BD=3遙.P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△4￡>/>為等腰三角形時(shí),

AP的長(zhǎng)為6或27^3.

【答案】6或2病.

【解答】解：如圖1,連接0￡＞,DE,

?.?半圓。與3c相切于點(diǎn)O,

：.ODLBC,

在RtZ\OBO中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3娓.

：.OB2^BD2+OD1,

：.(OC+3)2=(3遙)2+OD2,

解得OD=6,

：.AO=EO=OD=6,

①當(dāng)AP=P￡＞時(shí)，此時(shí)P與O重合，

：.AP=AO=6；

②如圖2,當(dāng)AP'=40時(shí)，

在RtAABC中,

VZC=90",

J.ACLBC,

J.OD//AC,

:ABODsXBAC,

?.?0D_BD_—B^0―＞，

ACBCBA

第17頁(yè)共37頁(yè)

?6=3函=3+6

,?AC375HD3+6+6'

；.AC=10,CD=2匹,

A￡>==V100+20=2倔,

：.AP'=AO=2V^5；

③如圖3,當(dāng)。P''=AD時(shí)，

?：AD=243Q,

：.DP''=AD=2V30>

"：OD=OA,

：.ZODA=ZBAD,

J.OD//AC,

.'.ZODA^ZCAD,

：./BAD=NCAD,

平分NBAC,

過(guò)點(diǎn)。作DH±AE于點(diǎn)H,

：.AH=P"H,DH=DC=2匹,

"：AD=AD,

：.RtAADH^Rt/\ADC(HL),

：.AH=AC=\0,

：.AH=AC=P"H=10,

：.AP"=24H=20(E為AB邊上一點(diǎn)，不符合題意，舍去)，

綜上所述：當(dāng)△A3P為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為6或2倔.

故答案為：6或2倔.

第18頁(yè)共37頁(yè)

A

圖1

三.解答題（共7小題）

12.（2023?金華）如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，0A與x軸相切于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C,D,連結(jié)

AB,過(guò)點(diǎn)A作AHLCZ）于點(diǎn)H.

（1）求證：四邊形480〃為矩形.

（2）已知OA的半徑為4,OB=F，求弦CO的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析;

(2)6.

【解答】(1)證明：與x軸相切于點(diǎn)8,

，AB_Lx軸

5L'：AHVCD,HOA.OB,

：.ZAHO^NHOB=ZOBA=90°,

二四邊形AHO8是矩形;

第19頁(yè)共37頁(yè)

(2)解：連接A。，

?.?四邊形AHOB是矩形，

:.AH=OB=5,

\'AD=AB=4,

22

???DH=VAD-AH=V42-(V7)2=3'

'：AH±CD,

13.(2023?紹興)如圖，A8是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。0的切線CQ,交AB的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AE_LC￡＞于點(diǎn)E.

(1)若NEAC=25。，求NACO的度數(shù)：

(2)若OB=2,BD=1,求CE的長(zhǎng).

E

【解答】解：(1)???AELCO于點(diǎn)E,

ZAEC=90°

.?./ACO=NAEC+/E4C=90°+25°=115°；

(2)：CD是O。的切線，

二半徑OCLDE,

，/OCO=90°,

'：OC=OB=2,80=1,

第20頁(yè)共37頁(yè)

：.OD=OB+BD=3,

???CD=M29c2=遙.

?.,/OCO=/AEC=90°,

：.OC//AE,

?CDOD

*'CE=OA'

.V53

??=—，

CE2

3

14.（2023?浙江）已知，A8是半徑為1的的弦，。0的另一條弦CC滿足C￡）=AB,且CO_L

AB于點(diǎn)，（其中點(diǎn)”在圓內(nèi)，S.AH>BH,CH>DH\

（1）在圖1中用尺規(guī)作出弦CC與點(diǎn)H（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）連結(jié)A。，猜想：當(dāng)弦43的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說(shuō)

明理由；若不變，求出AO的長(zhǎng)度；

（3）如圖2,延長(zhǎng)A4至點(diǎn)F,使得“尸=A〃，連結(jié)C~,的平分線CP交40的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)P,點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，連結(jié)HM.若PO=L。，求證：MH1.CP.

2

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析：

（2）線段是定長(zhǎng)，長(zhǎng)度不發(fā)生變化，值為我；

（3）證明見(jiàn)解析.

【解答】（1）解：如圖1,C。、點(diǎn)”即為所求；

第21頁(yè)共37頁(yè)

（2）：當(dāng)弦4B的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段A。的長(zhǎng)度不變；

如圖，連結(jié)A。，連接。。并延長(zhǎng)交。。于E,連結(jié)AE,AC,過(guò)。作OFLAB于F,ONLCD于

：.OF=ON,

???四邊形OFHN是正方形,

:.FH=NH,

：.AF+FH=CN+NH,即AH=CH,

...△AC"是等腰直角三角形，

，NC=45°,

VAD=AE?

.,.NE=/C=45°,

是。0的直徑，

，/EAO=90°,

/.ZADE=45°,

...△4L?E是等腰直角三角形，

：.AE^AD,

第22頁(yè)共37頁(yè)

：.AD=DE*sinZE=y/2<

線段AO是定長(zhǎng)，長(zhǎng)度不發(fā)生變化，值為加；

(3)證明：如圖3,延長(zhǎng)C。、FP,交點(diǎn)為G,

:HF=AH,

.?.點(diǎn)〃為AF的中點(diǎn)，

又：點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，

；.例”是△4P尸的中位線，

J.MH//PF,MH=、PF,

2

又?.?pOnJiA。，PM=AM,

2

：.MD^^PD,

2

'：MH//GP,

：.4MHD=4PGD,

又,：NMDH=NPDG,

:.△MDHS^PDG,

??--M--H=---M-D-=—1?

GPPD2

即GP=2MH=PF,

如圖3,作△CFG的外接圓，延長(zhǎng)CP交外接圓于點(diǎn)N,連結(jié)GN、FN,

是NHCF的平分線，

：.ZGCP=ZFCP,

：.GN=NF,

?：GP=PF,GN=NF,PN=PN,

:.4GPNm/XFPNCSSS),

：.NGPN=NFPN=90°,

第23頁(yè)共37頁(yè)

C.PFLCP,

'：MH//PF,

：.MH±CP.

證法二：過(guò)點(diǎn)尸作PGLHF于G點(diǎn)，

由PG//DH,

：.HG-AH=PD：A￡>=1：2,

'：AH=HF,

:.HG：WF=1：2,即G是4F中點(diǎn)，

：.PH=PF,

\"CP^ZDCF,過(guò)點(diǎn)尸作PK_LCH于點(diǎn)K,PELCF于點(diǎn)、E,

------------

：.ZKPE=i35Q,PK=PE,

.,.△PHK妾APFE(HD,；.NHPF=135°,ZPFG=22.5,

在△(>>尸中，由內(nèi)角和推得/CPF=90°,

J.MNLCP

15.(2023?麗水)如圖，在00中，AB是一條不過(guò)圓心。的弦，點(diǎn)C,。是金的三等分點(diǎn)，直徑

CE交A8于點(diǎn)F,連結(jié)交CF于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過(guò)點(diǎn)C的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)求證：AD//HC；

(2)若5_=2,求tan/fiAG的值；

GC

(3)連結(jié)8c交AO于點(diǎn)N,若。。的半徑為5.

下面三個(gè)問(wèn)題，依次按照易、中、難排列.請(qǐng)根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇其中一道問(wèn)題進(jìn)行解答.

①若。尸=5,求8c的長(zhǎng)；

2

②若求△ANB的周長(zhǎng)；

③若HF?AB=88,求△B〃C的面積.

第24頁(yè)共37頁(yè)

(2)tan/MG的值為1.

5

(3)①BC的長(zhǎng)為殳位.

2

②XANB的周長(zhǎng)為.13^^4^.

53

③△BHC的面積為』里.

5

【解答】(1)證明：點(diǎn)C,。是定的三等分點(diǎn),

AC=S=DB-

由CE是。0的直徑可得CEVAD,

是。。的切線，

：.HC±CE,

C.AD//HC.

(2)解：如圖1,連接A0,

圖1

??,BD=CE.

：.ZBAD=ZCAD,

'：CEVAD,

第25頁(yè)共37頁(yè)

AZAGC=ZAGF=90°,

AACAG^AMG(ASA),

:.CG=FG,

設(shè)CG=〃，則FG=m

?-?-O--G_

CG

OG—2,ciiAO=CO=3〃.

在RjOG中，AO2=AG2+OG2,

(3a)2=AG2+(2a)2

???AG=V5a，

,?tan/FAG=^-

AG5

答：tan/必G的值為近■.

5

(3)解：①如圖1,?.?。卜］,OC=OA=5,

*CF4

5

?CG=FG=

?OG耳

4

?AG代記唔

9

：CE.LADf

：.AD=2AG=^H.,

2

VAC=CD=DB)

?AD=CB>

?577

??BC=AD=，^?

答：BC的長(zhǎng)為品叵.

2

②如圖2,連接8,

第26頁(yè)共37頁(yè)

：.AH=AF,

'：ZHCF=90a,

???AC=AH=AF=VI3，

設(shè)CG=x,則FG=x,0G=5-x,

由勾股定理得AG2=AC)2-OG2=AC2-CG2,

即25-(5-x)2=10-/,

解得x=l,

.?.AG=3,AO=6,

VCD=DB，

：.ZDAC=ZBCDf

?：NCDN=ZADC,

:?叢CDNsXADC,

?NDCD

VZBAD=ZDAC9NABN=NADC,

：./\ANB^/\ACDf

?cc、，AN="crTTT、，1313^1026

?-CAANB=CAACDx配-(6+W^JXg5n5后.

答:AANB的周長(zhǎng)為13歷

53

③如圖3,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M,則AM=HB=/AB，

第27頁(yè)共37頁(yè)

圖3

設(shè)CG=x,則FG=x,0G=5-x,OF=5-lx,

由勾股定理得AG2^AO2-OG2=25-(5-x)2,

AF2=AG2+FG2=IOX-f+7=lOx,

,JAD//HC,FG=CG,

：?AH=AF=yHF,

，AG《HC，

；?AF?AM=[HF?《?AB=)X88=22，

2244

VZAGF=ZOMF=90°,NAFG=NOFM,

：.△AFGs△。尸M,

?AF_GF.

"OF"FM'

：.AF'FM^OF-GF,

：.AF'AM=AF<AF+FM')=AF2+AF-FM^AF2+OF-GF=22,

可得方程lOx+x(5-2x)=22,

解得xi=2,M=5.5(舍去)，

:.CG=FG=2,

**?OG=3,

???AG=4,

.\HC=8,AH=AF=2V5,

??SAC/M-8,

*：AD〃HC,

：.ZCAD=ZACH,

VAC=CE，

第28頁(yè)共37頁(yè)

:?/B=/CAD,

I.NB=NACH,

FBHC=8X端)2號(hào)

答：△Bbc的面積為a型.

5

16.(2023?杭州)如圖，在。。中，直徑A8垂直弦C￡＞于點(diǎn)E,連接AC,AD,BC,作CF_LAD

于點(diǎn)凡交線段OB于點(diǎn)G(不與點(diǎn)O,8重合)，連接。尸.

(1)若BE=l,求GE的長(zhǎng).

(2)求證：BC2=BG-BO.

(3)若FO=FG,猜想/CAO的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴I;

(2)證明過(guò)程見(jiàn)解答:

(3)NC4O=45°,證明見(jiàn)解析.

【解答】(1)解：直徑AB垂直弦。,

：.ZAED=90°,

.\ZDAE+ZD=90o,

VCF1AD,

.".ZFCD+ZD=90°,

：.ZDAE=ZFCD,

由圓周角定理得/D4E=/8C￡>,

:./BCD=NFCD,

在ABCE和△GCE中,

第29頁(yè)共37頁(yè)

，ZBCE=ZGCE

"CE=CE，

ZBEC=ZGEC

:.△BCEQXGCE(ASA),

:.GE=BE=1；

(2)證明：是00的直徑，

：.ZACB=90°,

AZACB=ZCEB=90°,

ZABC=ZCBE,

:*△ACBs/\CEB,

?BC=BA

**BEBC*

：.BC2-=BA'BE,

由(1)知GE=8E,

:.BE=1BG,

2

：AB=2B。，

：.BC2=BA，BE=2B0?工BG=BG，BO；

2

(3)解：/。。=45°,證明如下：

如圖，連接0C,

"：FO=FG,

.\ZFOG=ZFGO,

；直徑A8垂直弦CD,

：.CE=DE,ZAED^ZAEC=90°,

"：AE=AE,

：.AACE^AADE(SAS),

：.ZDAE^ZCAE,

設(shè)/￡>AE=NCAE=a,NFOG=/FGO=0,

則NFCD=NBCD=ZDAE=a,

".'OA=OC,

：.ZOCA^ZOAC=a,

VZACB=90°,

第30頁(yè)共37頁(yè)

，ZOCF=ZACB-ZOCA-ZFCD-N8CQ=90°-3a,

VZCGE=ZOGF=p,NGCE=a,ZCGE+ZGCE=90°,

Ap+a=90°,

Aa=90°-的

'/ZCOG=ZOAC+ZOCA=a+a=2a,

AZCOF=ZCOG+ZGOF=2a+p=2(90°-0)+0=180°-p,

AZCOF=NAO產(chǎn)，

在△COF和△AOE中，

CO=AO

<ZC0F=ZA0F>

OF=OF

：./\COF^/\AOF(SAS),

：.ZOCF=ZOAF,

即90°-3a=a,

；.a=22.5°,

：.ZCAD=2a=45°.

17.（2023?臺(tái)州）我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)

的位置刻畫(huà)圓上點(diǎn)的位置.如圖，A8是。。的直徑，直線/是。。的切線，8為切點(diǎn).P,Q是

圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合，且在直徑48的同側(cè)），分別作射線AP,4。交直線/于點(diǎn)C,點(diǎn)。.

（1）如圖1,當(dāng)A8=6,3P長(zhǎng)為n時(shí)，求BC的長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)亟二，BP=PQ0'j',求現(xiàn)的值；

AB4CD

（3）如圖3,當(dāng)sinNBAQ=^，BC=C￡＞時(shí)，連接BP,PQ,直接寫出學(xué)的值.

4BP

第31頁(yè)共37頁(yè)

AAA

圖1圖2圖3

【答案】(1)BC=2M；

(2)理■=?1；

CD4

(3)型=近乙

BP4

【解答】解：(1)如圖，連接0P,

設(shè)/BOP的度數(shù)為,

：AB=6,就長(zhǎng)為m

?n兀X3

180

."=60,BPZBOP=60°,

ZBAP=3O°,

；直線/是G)O的切線，

AZABC=90°,

:衣=單=2如；

V3

(2)如圖，連接8。，過(guò)點(diǎn)C作CEL4O于點(diǎn)F,

第32頁(yè)共37頁(yè)

〈AB為OO直徑，

AZBQA=90°,

/.cosNBAQ=-^-=—,

AB4

VBP=PQ-

:?/BAC=/DAC,

VCF±AD,AB±BC,

:?CF=BC,

???N8AQ+NAOB=90°,NFCD+/AO8=90°,

：.ZFCD=ZBAQ9

cosZFCD=cosN84