推理與證明練習(xí)題一．歸納推理1.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25項為.2.數(shù)列，且，對，總有，那么.3.數(shù)列滿足，試歸納出這個數(shù)列的一個通項公式.4.設(shè)，定義一種運算：11=2，，那么=_________.5.函數(shù)f(x)對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，那么f(-1)=.6.觀察以下等式：由此推測第個等式為.〔不必化簡結(jié)果〕.7.觀察以下不等式：，，，，，……，由此猜測第個不等式為.我們知道平面上條直線最多可將平面分成個局部，那么空間內(nèi)個平面最多可將空間分成個局部.平面內(nèi)兩個點可以確定1條線段，三個點可以確定3條線段，四個點可以確定6條線段，五個點可以確定10條線段，那么n個點可以確定條線段.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)，那么=_______.12312345678910．．．．．．．〔08年10〕將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第n行〔n≥3〕從左向右的第3個數(shù)為．二．類比推理1.以下幾個說法：①由平面幾何中圓的一些性質(zhì)，推測出球的某些性質(zhì)這是運用的類比推理。=2\*GB3②2375的個位是5，因此2375是5的倍數(shù)，這是運用的演繹推理。=3\*GB3③當(dāng)時，對應(yīng)值都是質(zhì)數(shù)，推測出對任意自然數(shù)，對應(yīng)值都是質(zhì)數(shù)，這是運用的歸納推理。其中正確的序號為．在平面上，假設(shè)兩個正三角形的邊長的比為，那么它們的面積比為1：2，類似地，在空間，假設(shè)兩個正四面體的棱長比為1：2，那么它們的體積的比為.3.現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，那么這兩個正方形重疊局部的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長均為的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，那么這兩個正方體重疊局部的體積恒為.由“直角三角形兩直角邊的長分別為，將其補成一個矩形，那么根據(jù)矩形的對角線可求得該直角三角形外接圓的半徑”。對于“假設(shè)三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，側(cè)棱長分別為”，類比上述的處理方法，可得三棱錐的外接球半徑的周長為，面積為，那么的內(nèi)切圓半徑為．將此結(jié)論類比到空間，四面體的外表積為，體積為，那么四面體的內(nèi)切球的半徑．類比平面幾何中的勾股定理：假設(shè)直角三角形中的兩邊互相垂直，那么三角形邊長之間滿足關(guān)系：假設(shè)三棱錐的三個側(cè)面、、兩兩互相垂直，那么三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.圖１圖２7.如圖〔1〕有面積關(guān)系，那么圖〔2〕有體積關(guān)系．圖１圖２8.對于問題“關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式”，現(xiàn)給出如下一種解法：由的解集為，得的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為，參考上述解法，假設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，那么關(guān)于的不等式的解集為．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔〕，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即，類比圓的面積推理得橢圓的面積；[來源:Z_xx_k10.假設(shè)AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點，且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，那么對于橢圓有。類似地，對于雙曲線有=。11.假設(shè)等比數(shù)列的前項之積為，那么有；類比可得到以下正確結(jié)論：假設(shè)等差數(shù)列的前項之和為，那么有.數(shù)列滿足，，，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的方法，可求得=.三、演繹推理1．以下表述正確的選項是()①歸納推理是由局部到整體的推理②歸納推理是由一般到一般的推理③演繹推理是由一般到特殊的推理④類比推理是由特殊到一般的推理⑤類比推理是由特殊到特殊的推理A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤2．以下幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A與∠B是兩條直線的同旁內(nèi)角，那么∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人數(shù)均超過50人C．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)(an－1＋eq\f(1,an－1))(n≥2)，由此得出{an}的通項公式3．“所有9的倍數(shù)〔M〕都是3的倍數(shù)〔P〕，某奇數(shù)〔S〕是9的倍數(shù)〔M〕，故某奇數(shù)〔S〕是3的倍數(shù)〔P〕．”上述推理是〔〕．A．小前提錯B．結(jié)論錯C．正確的D．大前提錯4．“因指數(shù)函數(shù)y=ax是減函數(shù)〔大前提〕，而y=3x是指數(shù)函數(shù)〔小前提〕，所以y=3x是減函數(shù)〔結(jié)論〕．”上面推理的錯誤是〔〕．A．大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯B．小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯C．推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯D．大前提和小前提都錯導(dǎo)致結(jié)論錯5．推理：“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是〔〕．A．①B．②C．③D．①和②6．由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論，那么這個結(jié)論是．7．給出以下命題：①a≥0，b≥0，那么；②假設(shè)a＞，b＞0，a+b＞4，ab＞4，那么a＞，b＞2；③a、b、c∈R，ab+bc+ca=1，那么(a+b+c)2≥3；④假設(shè)a≥b＞－1，那么；⑤假設(shè)正數(shù)m、n滿足m≤n，那么．其中是真命題的有________〔請寫出所有正確命題的序號〕．8、在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=(n∈N+)，歸納猜測這個數(shù)列的通項公式，并按三段論加以論證．9、將以下三段論補充完整：〔大前提〕,.〔小前提〕∥〔結(jié)論〕三．直接證明與間接證明1.以下表述中正確的語句有是〔填序號〕．①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是直接法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是間接證法；⑤反證法是逆推法．2.根據(jù)要求證明以下各題：〔1〕用分析法證明：,求證：〔2〕用綜合法證明：；3.〔1〕在中，3個內(nèi)角所對的邊分別為，成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列。試證明為等邊三角形?！?〕的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，求證：.4.觀察等式，，請寫出與以上等式規(guī)律相同的一個一般化的正確等式，并給予證明.5.觀察以下各等式：，，．分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明．6.用反證法證明：“”，應(yīng)假設(shè)為___________。7.用反證法證明命題：假設(shè)整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，以下假設(shè)中正確的序號是.①假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)；②假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)；③假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)；④假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)。8.用反證法證明“自然數(shù)中至多有2個偶數(shù)”的正確假設(shè)為“假設(shè)”．9.以下三個方程至少有一個方程有實根，那么實數(shù)的取值范圍為。10.用反證法證明：假設(shè)均為實數(shù)，且，，，求證：中至少有一個大于0.設(shè).求證：不可能同時大于。四、數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明：〔1〕．〔2〕〔3〕2.〔1〕設(shè)凸n邊形(n4)的對角線條數(shù)為f(n)，那么f(n+1)－f(n)＝．〔2〕在平面上畫條直線,且任何兩條直線都相交,任何三條直線都不共點.設(shè)這條直線將平面分成個局部,那么=.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，從到，給等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)是31的倍數(shù)”時,從到時需添加的項是.2.3.觀察以下各不等式：…由上述不等式，歸納出一個與正整數(shù)有關(guān)的一般性結(jié)論；用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的結(jié)論．4.，，．〔1〕當(dāng)時，試比擬與的大小關(guān)系；〔2〕猜測與的大小關(guān)系，并給出證明．5.數(shù)列的前項和為，通項公式為，.〔1〕計算的值；〔2〕比擬與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.6.設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，并且滿足，(n∈N*).〔1〕求，，；〔2〕猜測數(shù)列{}的通項公式，并加以證明；〔3〕求證：…