數(shù)學(xué)必修〔二〕知識梳理與解題方法分析第一章《空間幾何體》一、本章總知識結(jié)構(gòu)二、各節(jié)內(nèi)容分析1、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)重點(diǎn)：畫出簡單幾何體的三視圖，用斜二測法畫空間幾何體的直觀圖。難點(diǎn)：識別三視圖所表示的空間幾何體。空間幾何體的外表積與體積1、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)三、高考考點(diǎn)解析本局部內(nèi)容在高考中主要考查以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：1.多面體的體積〔外表積〕問題；2.點(diǎn)到平面的距離〔多面體的一個(gè)頂點(diǎn)到多面體一個(gè)面的距離〕問題—“等體積代換法”?！惨弧扯嗝骟w的體積〔外表積〕問題1．【06上?！だ怼吭谒睦忮FP－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60．〔1〕求四棱錐P－ABCD的體積；【解】〔1〕在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是，PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.2．【06上?！の摹吭谥比庵?，.〔2〕假設(shè)與平面所成角為，求三棱錐的體積?！窘狻俊?〕∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C與平面ABC所成的角，∠ACA1=45∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=∴AA1=?！嗳忮FA1-ABC的體積V=S△ABC×AA1=?！捕滁c(diǎn)到平面的距離問題—“等體積代換法”。1．【06福建·理】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，〔III〕求點(diǎn)E到平面ACD的距離。【解】〔III〕設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為，∴在中，而點(diǎn)E到平面ACD的距離為2．【06湖北·文】如圖，正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為1，是底面邊上的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的點(diǎn)，且?！并颉城簏c(diǎn)到平面的距離?！窘狻俊并颉尺^在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即為到平面AMN的距離。在中，＝。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。3．【06湖南·理】如圖4,兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2,。〔=3\*ROMANIII〕求點(diǎn)到平面的距離。【解】〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM。過點(diǎn)P作PH⊥QM于H，那么PH⊥QAD，所以PH的長為點(diǎn)P到平面QAD的距離。連結(jié)OM。因?yàn)镺M=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。即點(diǎn)P到平面QAD的距離是。4．【06江西·文】如圖，三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)?！?〕求O點(diǎn)到面ABC的距離；【解】〔1〕取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD。，那么∴BC⊥面OAD。過O點(diǎn)作OH⊥AD于H，那么OH⊥面ABC，OH的長就是所要求的距離。，?！嗝鍻BC，那么。，在直角三角形OAD中，有〔另解：由知：〕ABCA1VB1C15．【06山東·ABCA1VB1C1〔Ⅱ〕求點(diǎn)A到平面VBC的距離；【解】〔Ⅱ〕解法1：過A作于D，∵△為正三角形，∴D為的中點(diǎn).∵BC⊥平面∴，又，∴AD⊥平面，∴線段AD的長即為點(diǎn)A到平面的距離.在正△中，.∴點(diǎn)A到平面的距離為.解法2：取AC中點(diǎn)O連結(jié)，那么⊥平面，且=.由〔Ⅰ〕知，設(shè)A到平面的距離為x，，即，解得.即A到平面的距離為.所以，到平面的距離為.第二章《點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》二、各節(jié)內(nèi)容分析中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：空間直線、平面的位置關(guān)系。難點(diǎn)：三種語言〔文字語言、圖形語言、符號語言〕的轉(zhuǎn)換。歸納總結(jié)〔1〕四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號語言：。公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。三個(gè)推論：①②③它給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線〔兩個(gè)平面的交線〕。符號語言：。公理4：〔平行線的傳遞性〕平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號語言：?！?〕空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念異面直線及夾角：把不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線，我們把與所成的角〔或直角〕叫異面直線所成的夾角。〔易知：夾角范圍〕定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)?！沧⒁猓簳媰蓚€(gè)角互補(bǔ)的圖形〕2.位置關(guān)系：〔3〕空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有三種：〔4〕空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種：2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出判斷定理和性質(zhì)。難點(diǎn)：性質(zhì)定理的證明?！?〕四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。在平面內(nèi)“找出”一條直線與直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”平面與平面平行的判定一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。判定的關(guān)鍵：在一個(gè)平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。平面與平面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行?！?〕定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化兩平面平行問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以在解題時(shí)應(yīng)注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用。這種轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)上就是：將“高維問題”轉(zhuǎn)化為“低維問題”，將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”。2.3直線、平面平垂直的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：通過直觀感知、操作確認(rèn)，概括出判斷定理和性質(zhì)。難點(diǎn)：性質(zhì)定理的證明。〔一〕根本概念1.直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點(diǎn)叫做垂足。2.直線與平面所成的角：角的取值范圍：。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的記法：二面角的取值范圍：兩個(gè)平面垂直：直二面角。〔二〕四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面垂直的判定一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。在平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”平面與平面垂直的判定一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直?！矟M足條件與垂直的平面有無數(shù)個(gè)〕判定的關(guān)鍵：在一個(gè)平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面垂直的性質(zhì)同垂直與一個(gè)平面的兩條直線平行。平面與平面垂直的性質(zhì)兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個(gè)平面垂直。解決問題時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作兩平面交線的垂線〔三〕定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化：兩平面垂直問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，而直線與平面垂直又可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，所以在解題時(shí)應(yīng)注意從“高維”到“低維”的轉(zhuǎn)化，即“空間問題”到“平面問題”的轉(zhuǎn)化。三、高考考點(diǎn)解析第一局部、三類角〔異面直線所成的夾角、直線與平面所成的角、二面角〕的求解問題〔一〕異面直線所成的夾角與異面直線的公垂線1．異面直線所成的夾角是本局部的重點(diǎn)和難點(diǎn)更是高考的考點(diǎn)。異面直線所成的角的大小是刻劃空間兩條異面直線的相關(guān)位置的一個(gè)量，掌握好概念是解題的關(guān)鍵，其思維方法是把兩條異面直線所成的角通過“平移法”轉(zhuǎn)化為“平面角”，然后證明這個(gè)角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角〔簡言之：①“轉(zhuǎn)化角”、②“證明”、③“求角”〕。以上三個(gè)步驟“轉(zhuǎn)化角”是求解的關(guān)鍵，因?yàn)檗D(zhuǎn)化的過程往往就是求解的過程——其目的就是將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題1．【06廣東】如下圖，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,?！?2\*ROMANII〕求直線與所成的角?！窘狻俊?2\*ROMANII〕第一步：將“問題”轉(zhuǎn)化為求“平面角”問題根據(jù)定義和題設(shè)，我們只能從兩條異面直線的四個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作其中一條直線的平行線，此題我們只能從點(diǎn)D作符合條件的直線。連結(jié)DO，那么∠ODB即為所求的角。第二步：證明∠ODB就是所求的角在平面ADEF中，DE//AF，且DE=AF，所以四邊形ODEF為平行四邊形所以DO//EF所以根據(jù)定義，∠ODB就是所求的角。第三步：求角由題設(shè)可知：底面ABCD為正方形∵DA⊥平面ABCD平面∴DA⊥BC又∵AF⊥BC∴BC⊥平面ADO∴DO⊥BC∴△DOB為直角三角形∴在Rt△ODB，∴〔或用反三角函數(shù)表示為：〕2．【06山東·文】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，與相交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，又.〔Ⅰ〕求異面直接與所成角的余弦值.【解】平面，又，由平面幾何知識得：〔Ⅰ〕過做交于于，連結(jié)，那么或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，四邊形是等腰梯形，又四邊形是平行四邊形。是的中點(diǎn)，且又，為直角三角形，在中，由余弦定理得：故異面直線PD與所成的角的余弦值為。3．【06上?！だ怼吭谒睦忮FP－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60．〔2〕假設(shè)E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕．【解】〔2〕取AB的中點(diǎn)F，連接EF、DF.由E是PB的中點(diǎn),得EF∥PA,∴∠FED是異面直線DE與PA所成角〔或它的補(bǔ)角〕。在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,于是,在等腰Rt△POA中,PA=,那么EF=.在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=.cos∠FED==∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.4．【06重慶·文】如圖〔上右圖〕，在正四棱柱中，，為上使的點(diǎn)。平面交于，交的延長線于，求：〔Ⅰ〕異面直線與所成角的大??；【解】解法一：由為異面直線所成的角。連接.因?yàn)锳E和分別是平行平面與平面的交線，所以,由此可得,再由∽得在。解法二：由為異面直線所成的角。因?yàn)楹头謩e是平行平面與平面的交線，所以，由此可得從而，于是在〔二〕直線與平面所成夾角11．【06浙江·理】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，分別為、的中點(diǎn)?！并颉城笈c平面所成的角?！窘狻俊?2\*ROMANII〕取的中點(diǎn)，連結(jié)、，那么，所以與平面所成的角和與平面所成的角相等.因?yàn)槠矫?，所以是與平面所成的角.在中，。故與平面所成的角是。圖1圖218．【06江蘇】在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2〔如圖1〕。將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P〔如圖2〕圖1圖2〔Ⅱ〕求直線A1E與平面A1BP所成角的大?。弧窘狻坎环猎O(shè)正三角形的邊長為3，那么〔II〕在圖2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜線，又A1E⊥面BEP，∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP內(nèi)的射影〔三垂線定理的逆定理〕設(shè)A1E在面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于Q，那么∠EA1Q就是A1E與面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP為正三角形，∴BE=EP。又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=，而A1E=1，∴在Rt△A1EQ中，，即直線A1E與面A1BP所成角為60o。22．【06全國Ⅰ·理】如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，AM=MB=MN?！并颉臣僭O(shè),求NB與平面ABC所成角的余弦值.【解】〔Ⅱ〕又，因此為正三角形.，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，為NB與平面ABC所成的角.在中，〔三〕二面角與二面角的平面角問題1．【06廣東】如下圖，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,?！?1\*ROMANI〕求二面角的大小；【解】〔=1\*ROMANI〕∵AD與兩圓所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角，依題意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450.即二面角B—AD—F的大小為450；2．【06安徽·理】如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O?！并颉城竺媾c面所成二面角的大小?！窘狻窟B結(jié)AD，那么易知AD與BF的交點(diǎn)為O。〔=2\*ROMANII〕設(shè)M為PB的中點(diǎn)，連結(jié)AM，MD。斜線PB在平面ABC內(nèi)的射影為OB，。又因此，為所求二面角的平面角。在正六邊形ABCDEF中，在Rt在Rt，那么在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小為3．【06北京·理】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).〔Ⅲ〕求二面角的大小.【解】〔Ⅲ〕如圖，取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，那么EF是△PAD的中位線，EFPA又平面，EF平面同理FO是△ADC的中位線，F(xiàn)OABFOAC由三垂線定理可知EOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF。EOF＝45而二面角與二面角E－AC－D互補(bǔ)，故所求二面角的大小為135.4．【06山東·文】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，與相交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，又.〔Ⅱ〕求二面角的大??；【解】平面，又，由平面幾何知識得：〔Ⅱ〕連結(jié)，由〔Ⅰ〕及三垂線定理知，為二面角的平面角，二面角的大小為5．【06陜西·理】如圖,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,點(diǎn)A在直線l上的射影為A1,點(diǎn)B在l的射影為B1,AB=2,AA1=1,BB1=eq\r(2),求:〔=2\*ROMANII〕二面角A1－AB－B1的大小。SHAPE【解】〔Ⅱ〕∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α。在平面α內(nèi)過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，那么A1E⊥平面AB1B。過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，那么由三垂線定理得A1F∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=eq\r(2).∴Rt△AA1B中，A1B=eq\r(AB2－AA12)=eq\r(4－1)=eq\r(3)。由AA1·A1B=A1F·A1F=eq\f(AA1·A1B,AB)=eq\f(1×\r(3),2)=eq\f(\r(3),2),∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=eq\f(A1E,A1F)=eq\f(\r(6),3)，∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsineq\f(\r(6),3).6．【06四川·理】如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)，〔Ⅱ〕求二面角的大??；【解】〔Ⅱ〕設(shè)為的中點(diǎn)∵為的中點(diǎn)∴∴面作，交于，連結(jié)，那么由三垂線定理得從而為二面角的平面角。在中，，從而在中，故：二面角的大小為。第二局部《空間直線、平面的平行問題》現(xiàn)利用高考題舉例說明將“高維問題”轉(zhuǎn)化為“低維問題”，將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”的“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用。〔一〕“線線平行”與“線面平行”的轉(zhuǎn)化問題1．【06北京·理】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).〔Ⅱ〕求證：平面；【解】證明此題的關(guān)鍵：在平面EAC中“找”一條與PB平行的直線，由于點(diǎn)E在平面PB