考情解讀1．以選擇、填空題形式考查空間位置關(guān)系的判斷，及文字語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)換，難度適2．以熟悉的幾何體為背景，考查多面體或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積計(jì)算，間接考查空間位置關(guān)系的判斷及轉(zhuǎn)化思想等，常以三視圖形式給出幾何體，輔以考查識圖、用圖能力及空間想象能力，難度中等.3.幾何體的三視圖與表(側(cè))面積、體積計(jì)算結(jié)合；重點(diǎn)知識梳理1．柱體、錐體、臺體、球的結(jié)構(gòu)特征名稱幾何特征棱柱①有兩個面互相平行(底面可以是任意多邊形)；②其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行棱錐①有一個面是多邊形(底面)；②其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形.棱臺①底面互相平行；②所有側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)(即原棱錐的頂點(diǎn))①有兩個互相平行的圓面(底面)；②有一個側(cè)面是曲面(母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的)，且母線與底面垂直①底面互相平行；②有一個側(cè)面是曲面，可以看成母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的球①有一個曲面是球面；②有一個球心和一條半徑長R，球是一個幾何體(包括內(nèi)部)，可以看成半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的2.柱體、錐體、臺體、球的表面積與體積名稱體積表面積棱柱V棱柱＝Sh(S為底面積，h為高)S棱柱＝2S底面＋S側(cè)面棱錐V棱錐＝Sh(S為底面積，h為高)S棱錐＝S底面＋S側(cè)面棱臺V棱臺＝h(S＋′＋S′)(S、S′為底面積，h為高)S棱臺＝S上底＋S下底＋S側(cè)面V圓柱=πr2h(r為底面半徑，h為高)S圓柱＝2πrl＋2πr2(r為底面半徑，l為母線長)V圓錐＝πr2h(r為底面半徑，h為高)S圓錐=πrl+πr2(r為底面半徑，l為母線長)V圓臺＝πh(r2＋rr′＋r′2)(r、r′為底面半徑，h為高)S圓臺=π(r＋r′)l+πr2+πr′2球V球＝πR3(R為球的半徑)S球＝4πR2(R為球的半徑)3.空間幾何體的三視圖和直觀圖(1)空間幾何體的三視圖三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形，三視圖的畫法規(guī)則為“長對正、高平齊、寬相等”.(2)空間幾何體的直觀圖空間幾何體直觀圖的畫法常采用斜二測畫法．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖規(guī)則為“軸夾角45°(或135°)，平行長不變，垂直長減半”.4．幾何體沿表面某兩點(diǎn)的最短距離問題一般用展開圖解決；不規(guī)則幾何體求體積一般用割補(bǔ)法和等積法求解；三視圖問題要特別留意各種視圖與觀察者的相對位置關(guān)系.【誤區(qū)警示】1．識讀三視圖時，要特別注意觀察者的方位與三視圖的對應(yīng)關(guān)系和虛實(shí)線.2．注意復(fù)合體的表面積計(jì)算，特別是一個幾何體切割去一部分后剩余部分的表面積計(jì)算．要弄清增加和減少的部分.3．展開與折疊、卷起問題中，要注意平面圖形與直觀圖中幾何量的對應(yīng)關(guān)系.高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一三視圖、直觀圖例12018年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為C.3D.4【變式探究】【2017課標(biāo)1】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10B．12C．14【變式探究】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【變式探究】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()高頻考點(diǎn)二幾何體的表面積例2．(2019·高考全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為.【變式探究】(1)已知某幾何體是一個平面將一正方體截去一部分后所得，該幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．20＋2B．18＋2(2)已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積是()A．+3B．+3C23πD49π【變式探究】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4高頻考點(diǎn)三幾何體的體積例32018年江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.________【變式探究】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.+πB.+πC.＋2πD.＋2π【變式探究】已知一所有棱長都是的三棱錐，則該三棱錐的體積為.高頻考點(diǎn)四與球有關(guān)的切、接問題例4．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐PABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°,則球O的體積為()【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為()【變式探究】(2017·高考全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()【變式探究】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥底面ABCD，O為對角線AC與BD的交點(diǎn)，若PB＝1，∠APB=∠BAD=π,則三棱錐PAOB的外接球的體積是.3________【舉一反三】在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2a，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則該球半徑的最大值為.71．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°,則球O的體積為2．【2019年高考浙江卷】祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm則該柱體的體積（單位：cm3）是A．158B．1623．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.4．【2019年高考北京卷理數(shù)】某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為.5．【2019年高考天津卷理數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.6．【2019年高考江蘇卷】如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E?BCD的體積是▲.1.（2018年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為C.3D.42.（2018年全國Ⅲ卷）中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A.AB.BC.CD.D3.（2018年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm則該幾何體的體積（單位：cm3）是A.2B.4C.6D.84.（2018年浙江卷）已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S?AB?C的平面角為θ3，則A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ15.（2018年全國I卷）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為A.B.C.D.6.（2018年全國I卷）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視6.（2018年全國I卷）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為A.2萬B.25C.3D.27.（2018年全國Ⅲ卷）設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為95，則三棱錐D-ABC體積的最大值為A.125B.185C.245D.5458.（2018年全國Ⅱ卷）在長方體ABCD-A1B1CD1中，AB=BC=1，AA1=5，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為A.B.C.D.9.（2018年天津卷）已知正方體ABCD-AB1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體積為.10.（2018年江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.________11.（2018年全國Ⅱ卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°,若ASAB的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為.1.【2017課標(biāo)1，理7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10B．12C．142.【2017課標(biāo)II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體.積為()3.【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（A）3√2（B）2（C）2√2（D）2 144.【2017山東，理13】 14積為.圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體5.【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為.1、【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是()2.【2016高考新課標(biāo)2】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π3.【2016年高考北京】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()4.【2016高考新課標(biāo)3】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()（A）18+36（B）54+18（C）90（D）815.【2016高考山東】一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()π考情解讀1．以選擇、填空題形式考查空間位置關(guān)系的判斷，及文字語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)換，難度適2．以熟悉的幾何體為背景，考查多面體或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積計(jì)算，間接考查空間位置關(guān)系的判斷及轉(zhuǎn)化思想等，常以三視圖形式給出幾何體，輔以考查識圖、用圖能力及空間想象能力，難度中等.3.幾何體的三視圖與表(側(cè))面積、體積計(jì)算結(jié)合；1．柱體、錐體、臺體、球的結(jié)構(gòu)特征名稱幾何特征棱柱①有兩個面互相平行(底面可以是任意多邊形)；②其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行棱錐①有一個面是多邊形(底面)；②其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形.棱臺①底面互相平行；②所有側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)(即原棱錐的頂點(diǎn))①有兩個互相平行的圓面(底面)；②有一個側(cè)面是曲面(母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的)，且母線與底面垂直①底面互相平行；②有一個側(cè)面是曲面，可以看成母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的球①有一個曲面是球面；②有一個球心和一條半徑長R，球是一個幾何體(包括內(nèi)部)，可以看成半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的2.柱體、錐體、臺體、球的表面積與體積名稱體積表面積棱柱V棱柱＝Sh(S為底面積，h為高)S棱柱＝2S底面＋S側(cè)面棱錐V棱錐＝Sh(S為底面積，h為高)S棱錐＝S底面＋S側(cè)面棱臺V棱臺＝h(S＋′＋S′)(S、S′為底面積，h為高)S棱臺＝S上底＋S下底＋S側(cè)面V圓柱=πr2h(r為底面半徑，h為高)S圓柱＝2πrl＋2πr2(r為底面半徑，l為母線長)V圓錐＝πr2h(r為底面半徑，h為高)S圓錐=πrl+πr2(r為底面半徑，l為母線長)V圓臺＝πh(r2＋rr′＋r′2)(r、r′為底面半徑，h為高)S圓臺=π(r＋r′)l+πr2+πr′2球V球＝πR3(R為球的半徑)S球＝4πR2(R為球的半徑)3.空間幾何體的三視圖和直觀圖(1)空間幾何體的三視圖三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形，三視圖的畫法規(guī)則為“長對正、高平齊、寬相等”.(2)空間幾何體的直觀圖空間幾何體直觀圖的畫法常采用斜二測畫法．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖規(guī)則為“軸夾角45°(或135°)，平行長不變，垂直長減半”.4．幾何體沿表面某兩點(diǎn)的最短距離問題一般用展開圖解決；不規(guī)則幾何體求體積一般用割補(bǔ)法和等積法求解；三視圖問題要特別留意各種視圖與觀察者的相對位置關(guān)系.【誤區(qū)警示】1．識讀三視圖時，要特別注意觀察者的方位與三視圖的對應(yīng)關(guān)系和虛實(shí)線.2．注意復(fù)合體的表面積計(jì)算，特別是一個幾何體切割去一部分后剩余部分的表面積計(jì)算．要弄清增加和減少的部分.3．展開與折疊、卷起問題中，要注意平面圖形與直觀圖中幾何量的對應(yīng)關(guān)系.高頻考點(diǎn)突攻高頻考點(diǎn)一三視圖、直觀圖例12018年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為C.3D.4【答案】C【解析】由三視圖可得四棱錐P-ABCD，在四棱錐P-ABCD中，PD=2,AD=2,CD=2,AB=1，由勾股定理可知：PA=2E,PC=2E,PB=3,BC=5，則在四棱錐中，直角三角形有：APAD,APCD,APAB共三個，故【變式探究】【2017課標(biāo)1】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10B．12C．14【答案】B【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為2x(2+4)x2x=12，故選B.【變式探究】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C的底面面積為S3=π.22=4π,故該【變式探究】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()【解析】該三棱錐的直觀圖如圖所示：過D作DE⊥BC，交BC于E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，【答案】C高頻考點(diǎn)二幾何體的表面積例2．(2019·高考全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.【解析】由題易得長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6×6×4＝144(cm3)，四邊形EFGH為平行四邊形，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以V四棱錐O-EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以該模型的體積為144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g).【答案】118.8【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為.【解析】如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為·SA·SB·sin∠ASB=SA2·=·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4.因=45°,AS′＝SA·cos45°=4×＝2.所以底面周長l＝2π·AS′＝4π,所以圓錐的側(cè)面積為×4×4π=40π.【答案】40π【變式探究】(1)已知某幾何體是一個平面將一正方體截去一部分后所得，該幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．20＋2B．18＋2C．18＋D．20＋(2)已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積是()A．39π+3B．45π+344【解析】(1)如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長為2的正方體，根據(jù)三視圖，還原幾何體的直觀圖為圖中多面體ABCD-A1C1D1，其表面積為S正方形ABCD＋S＋S＋S＋S+S+S正方形ADD1A1正方形DCC1D1=4＋4＋4＋2＋2＋2＋×8＝18＋2，故選B.1C1D11BC1 ×2π×2 ×2π×2(2)由三視圖知，該幾何體為圓錐挖掉圓臺后剩余部分，其表面積S表＝π×22＋π×12＋×4×4+××2π×1×2＋×2＝+3.故選A.【變式探究】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【解析】由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為：S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2=π+2π+4＝3π+4.【答案】D高頻考點(diǎn)三幾何體的體積例32018年江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.________【答案】【解析】由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為【變式探究】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.+πB.+πC.＋2πD.＋2π 【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，V＝π×12×2＋×2×1=π+，選A.【變式探究】已知一所有棱長都是的三棱錐，則該三棱錐的體積為.【解析】記所有棱長都是的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則PO⊥平面ABC，且OP＝×故三棱錐P-ABC的體積V＝S△ABC·OP＝××()2×1=【答案】13高頻考點(diǎn)四與球有關(guān)的切、接問題例4．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°,則球O的體積為()【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，因?yàn)椤螩EF＝90°,所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中如圖所示．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長為，所以該正方體的體對角線長為，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R所 3 3【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()【答案】B【解析】設(shè)等邊三角形ABC的邊長為x，則x2sin60°=9，得x＝6.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝,解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距離d2，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.【變式探究】(2017·高考全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()AπB3πCπDπ【答案】B 2【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－2所以，圓柱的體積V＝π×1故選B. 2【變式探究】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥底面ABCD，O為對角線AC與BD的交點(diǎn)，若PB＝1，∠APB=∠BAD=π,則三棱錐P-AOB的外接球的體積是.3________【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，即OA⊥OB，因?yàn)镻B⊥平面ABCD，所以PB⊥AO，又OB∩PB＝B，所以AO⊥平面PBO，所以AO⊥PO，即△PAO是以PA為斜邊的直角三角形，因?yàn)镻B⊥AB，所以△PAB是以PA為斜邊的直角三角形，所以三棱錐P-AOB的外接球的直徑為PA，因?yàn)镻B＝1，∠APB=，所以PA＝2，所以三棱錐P-AOB的外接球的半徑為1，所以三棱錐P-AOB的外接球的體積為.【答案】【舉一反三】在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2a，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則該球半徑的最大值為.【解析】方法一：由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P-ABCD時半徑最大，設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即×2a×2a×2a4a2＋2×1×2a×2a＋2×1×2a×2a=×4a2＋2×1×2a×2a＋2×1×2a×2a方法二：易知當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐P-ABCD，即與四棱錐P-ABCD各個面均相切時，球的半徑最大，作出相切時的側(cè)視圖如圖所示，設(shè)四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的半徑為r，則×2a×2a＝×(2a＋2a＋2a)×r，解得r=(2－)a.【答案】(2－)a真題感悟1．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°,則球O的體積為【答案】D【解析】解法一PA=PB=PC,△ABC為邊長為2的等邊三角形P一ABC為正三棱錐，：PB」AC，又E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)EF∥PBEF」AC，又EF」CE，故選D.解法二：設(shè)PA=PB=PC=2x，E,F分別為PA,AB的中點(diǎn)EF∥PB，且EF=PB=x，:△ABC為邊長為2的等邊三角形CF=，222x2xxAD1 作PD」AC于DPA=PC，\D為AC的中點(diǎn)，cos PA2x：=，4x2x2又AB=BC=AC=2， ,x= 22 ,232．【2019年高考浙江卷】祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm則該柱體的體積（單位：cm3）是A．158B．162【答案】B【解析】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底為4，故選B.3．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.【答案】118.822∵四棱錐O?EFGH的高為3cm，∴VO-EFGH=3.所以該模型體積為V=V2-VO-EFGH=144-12=132cm3，4．【2019年高考北京卷理數(shù)】某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為.【答案】40之后余下的幾何體，5．【2019年高考天津卷理數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.【答案】【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為51=2.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，一個底面的圓心為四棱錐底面的π4E?BCD的體積是▲.【答案】10因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn)，所以CE=CC1，由長方體的性質(zhì)知CC1」底面ABCD，所以CE是三棱錐E一BCD的底面BCD上的高，1.（2018年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為C.3D.4【答案】C【解析】由三視圖可得四棱錐P-ABCD，在四棱錐P-ABCD中，PD=2,AD=2,CD=2,AB=1，由勾股定理可知：PA=2E,PC=2E,PB=3,BC=5，則在四棱錐中，直角三角形有：APAD,APCD,APAB共三個，故2.（2018年全國Ⅲ卷）中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A.AB.BC.CD.D【答案】A【解析】觀擦圖形圖可知，俯視圖為，故答案為A.3.（2018年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm則該幾何體的體積（單位：cm3）是A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】根據(jù)三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上下底分別為1，2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為-~選C.4.（2018年浙江卷）已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S?AB?C的平面角為θ3，則A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】設(shè)O為正方形ABCD的中心，M為AB中點(diǎn)，過E作BC的平行線EF，交CD于F，過O作ON垂直EF于N，連接SO，SN，OM，則SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，從而因?yàn)镾N≥SO,EO≥OM，所以即，選D.5.（2018年全國I卷）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCD-A1B1CD1中，平面AB1D1與線AA1A1B1,AD1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面AB1D1與C1BD中間的，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.6.（2018年全國I卷）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為A.2萬B.25C.3D.2【答案】B【解析】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長度為-25，故選B.7.（2018年全國Ⅲ卷）設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為95，則三棱錐D-ABC體積的最大值為A.125B.185C.245D.545【答案】B【解析】如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)DMl平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大此時，OD=OB=R=4·AB=6,點(diǎn)M為三角形ABC的重心中，有。M=E-=2·DM=OD+OM=4+2=6故選B.8.（2018年全國Ⅱ卷）在長方體ABCD-A1B1CD1中，AB=BC=1，AA=5，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為A.B.【答案】CC.D.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，選C.9.（2018年天津卷）已知正方體ABCD-AB1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體積為.【答案】【解析】由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點(diǎn)M到底面四邊形EFGH的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.10.（2018年江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.________【答案】【解析】由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為11.（2018年全國Ⅱ卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°,若ASAB的面積為5下，則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【解析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.因?yàn)槟妇€A，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)?AB的面積為55，設(shè)母線長為所以，因?yàn)锳與圓錐底面所成角為45°,所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為w1=號3=0D1.【2017課標(biāo)1，理7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10B．12C．14【答案