山東省煙臺市蓬萊第三職業(yè)高級中學高二數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.中心在坐標原點的橢圓，焦點在x軸上，焦距為4，離心率為，則該橢圓的方程為()A．

B．

C．

D參考答案：D由題意，，則，所以，故選D。

2.已知X～N（0，σ2）且P（﹣2≤X＜0）=0.4，則P（x＞2）為（） A．0.1 B． 0.2 C． 0.3 D． 0.4參考答案：A略3.已知點F1(－4,0)、F2(4,0)、是曲線上的點，則有

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則實數(shù)a的取值范圍是(

) A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）參考答案：D考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用．分析：由題意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分類討論確定函數(shù)的零點的個數(shù)及位置即可．解答： 解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①當a=0時，f（x）=﹣3x2+1有兩個零點，不成立；②當a＞0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點，故不成立；③當a＜0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個零點；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒有零點；而當x=時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；故選：D．點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用，同時考查了函數(shù)的零點的判定的應用，屬于基礎題．5.把十進制數(shù)15化為二進制數(shù)為（C）A．1011

B．1001(2）

C．1111（2）

D．1111參考答案：C6.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，，，則（

）A．90 B．54 C．－54 D．－72參考答案：C因為，所以，，，，故答案為C．7.直線x﹣y﹣1=0不通過(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】確定直線位置的幾何要素．【專題】直線與圓．【分析】把直線的方程化為斜截式，可得直線的傾斜角為90°，在y軸上的截距等于﹣1，故直線經(jīng)過第一、三、四象限．【解答】解：直線x﹣y﹣1=0即y=x﹣1，它的斜率等于1，傾斜角為90°，在y軸上的截距等于﹣1，故直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限，故選B．【點評】本題主要考查直線的斜截式方程，確定直線位置的幾何要素，屬于基礎題．8.函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

）．Ａ．（-2，-1）Ｂ．（-1,0）Ｃ．（0,1）Ｄ．（1,2）參考答案：C9.把正方形沿對角線折起,當以四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線和平面所成的角的大小為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C

解析：當三棱錐體積最大時，平面，取的中點，則△是等要直角三角形，即10.在平面直角坐標系xOy中，若直線（s為參數(shù)）和直線（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為(

)A.8

B.6

C.2

D.4參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三棱錐的三視圖如下（尺寸的長度單位為）．則這個三棱錐的體積為

_________;參考答案：12.的值為___________；參考答案：略13.從一個棱長為1的正方體中切去一部分，得到一個幾何體，其三視圖如右圖，則該幾何體的體積為

.參考答案：14.已知關(guān)于的不等式至少有一個負數(shù)解，則實數(shù)的最小值為

▲

．參考答案：15.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2－c2），則∠C的度數(shù)是_______.參考答案：45°16.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則

參考答案：17.已知拋物線上一點P到焦點F的距離是10,則P點的坐標是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在等比數(shù)列{an}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）設bn=log3an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）設出等比數(shù)列的首項和公比，由已知列式求解首項和公比，則其通項公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到數(shù)列{bn}的通項公式，由此得到數(shù)列{bn}是以0為首項，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，bn=log3an，∴．則數(shù)列{bn}的首項為b1=0，由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知數(shù)列{bn}是以1為公差的等差數(shù)列．∴．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和公式，是基礎的計算題．19.設是半徑為5的半圓的直徑，是半圓上兩點且.①求的值，②求的值.參考答案：略20.（本小題滿分12分）．已知：a，b，c都是正實數(shù)，且ab＋bc＋ca＝1.求證：a＋b＋c≥.已知a>0，b>0，a＋b＝1.參考答案：證明考慮待證的結(jié)論“a＋b＋c≥”，因為a＋b＋c>0，所以只需證明(a＋b＋c)2≥3，即a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.又ab＋bc＋ca＝1，所以只需證明a2＋b2＋c2≥1，即a2＋b2＋c2－1≥0.因為ab＋bc＋ca＝1，所以只需證明a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0，只需證明2a2＋2b2＋2c2－2(ab＋bc＋ca)≥0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0.由于任意實數(shù)的平方都非負，故上式成立．所以a＋b＋c≥.略21.（本小題14分）已知函數(shù)（I）若函數(shù)在時取得極值，求實數(shù)的值；（II）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（III）當時，在曲線上是否存在這樣的兩點A，B，使得在點A、B處的切線都與軸垂直，且線段AB與軸有公共點，若存在，試求的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：

（

）

……1分（I）∵函數(shù)在時取到極值∴

解得經(jīng)檢驗函數(shù)在時取到極小值（不檢驗扣1分）∴實數(shù)的值－2

…………4分（II）由得或

…………5分①當時，

由得由得∴函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為

，單調(diào)減區(qū)間為

…………7分②當時，，同理可得函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

…………9分（II）假設存在滿足要求的兩點A，B，即在點A、B處的切線都與y軸垂直，則即解得或

∴A,B又線段AB與x軸有公共點，∴，

…………11分即

又，解得所以當時，存在滿足要求的點A、B.

…………14分略22.已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，焦距為，點(2,1)在該橢圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓交于P，Q兩點，P點位于第一象限，A，B是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點．當點A，B運動時，滿足，問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）由題可得，所以，則橢圓的方程為（2）將代入橢圓方程可得，解得，則，由題可知直線與直線的斜率互為相反數(shù)，寫出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立整理可得。【詳解】（1）因為橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，所以設橢圓方程為因為焦距為，所以，焦點坐標，又因為點在該橢圓上，代入橢圓方程得所以，即解得所以則橢圓的方程為.（2）將代入橢圓方程