經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與2012屆高考試題預(yù)測(cè)〔十三〕考點(diǎn)13概率與統(tǒng)計(jì)?求某事件的概率?離散型承受機(jī)變量的分存列、期望與方差?統(tǒng)計(jì)?與比賽有關(guān)的概率問題?以概率與統(tǒng)計(jì)為背景的數(shù)列題?利用期望與方差解決實(shí)際問題經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診命題角度1求某事件的概率1．〔典型例題Ⅰ〕從數(shù)字1，2，3，4，5中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字〔允許重復(fù)〕組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為〔〕[考場(chǎng)錯(cuò)解]根本領(lǐng)件總數(shù)為53=125，而各位數(shù)字之和等于9的情況有：〔1〕這三個(gè)數(shù)字為1，3，5；〔2〕這三個(gè)數(shù)字為2，3，4；〔3〕這三個(gè)數(shù)字都為3。第〔1〕種情況有A33個(gè)，第〔2〕種情況有A33個(gè)，第〔3〕種情況只有1個(gè)?！喔魑粩?shù)字之各等于9的概率為。選A[專家把脈]考慮問題不全面，各位數(shù)字之和等于9的情況不只三種情況，應(yīng)該有五種情況，考慮問題的分類情況，應(yīng)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，此題應(yīng)這樣來劃分：〔1〕三人數(shù)字都不相同；〔2〕三個(gè)數(shù)字有兩個(gè)相同；〔3〕三個(gè)數(shù)字都相同。這樣就不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解中考慮不全面的錯(cuò)誤。[對(duì)癥下藥]根本領(lǐng)件總數(shù)為5×5×5=125，而各位數(shù)字之和等于9分三類：〔1〕三個(gè)數(shù)字都不相同，有〔1，3，5〕，〔2，3，4〕；共2A33=12個(gè)；〔2〕三個(gè)數(shù)字有兩個(gè)相同，有〔2，2，5〕，〔4，4，1〕，共2C13個(gè)三位數(shù)；〔3〕三個(gè)數(shù)字都相同，有〔3，3，3〕，共1個(gè)三位數(shù)?！嗨蟾怕蕿椤＿xD。2．〔典型例題〕甲、乙兩人參加一次英語口語考試，在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格。〔1〕分別求甲、乙兩人考試合格的概率；〔2〕求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。[考場(chǎng)錯(cuò)解]〔1〕由從10道題中，任選一道，甲答對(duì)的概率為,那么選3道題甲至少答對(duì)2道相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生兩次或三次.∴甲合格的概率為[專家把脈]相互獨(dú)立事件的概念理解錯(cuò)誤,只有當(dāng)事件A發(fā)生與否對(duì)事伯B沒有任何影響時(shí),才能說A與B相互獨(dú)立.而錯(cuò)解中,答對(duì)第一題這個(gè)事件發(fā)生與不發(fā)生對(duì)“答對(duì)第二題”這人事件有影響。所以它們之間不獨(dú)立。[對(duì)癥下藥]〔1〕設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，那么對(duì)于A：根本領(lǐng)件總數(shù)為C310，而考試合格的可能有：〔1〕答對(duì)2題，共C26C14；〔2〕答對(duì)3題，共C36?！?〕由〔1〕知A與B相互獨(dú)立，∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為P〔〕=∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1-P=1-3．〔典型例題〕某人有5把鑰匙，其中有1把可以翻開房門，但忘記了開門的是哪一把，于是他逐把不重復(fù)地試開，那么恰好第三次翻開房門的概率是____________.[考場(chǎng)錯(cuò)解]根本領(lǐng)件總數(shù)為A55=120，而恰好第三次翻開房門的可能為A24=12，故所求概率為[專家把脈]在利用等可能事件的概率公式P〔A〕=時(shí)，分子、分母的標(biāo)準(zhǔn)不一致，分母是將五把鑰匙全排列，而分子只考慮前三次，導(dǎo)致錯(cuò)誤。正確的想法是：要么分子分母都考慮5次，要么都只考慮前三次，或者干脆都只考慮第三次。[對(duì)診下藥]〔方法一〕5把鑰匙的次序共有A55種等可能結(jié)果。第三次翻開房門，看作正確的鑰匙恰好放在第三的位置，有A44種，∴概率P=〔方法二〕只考慮前3把的次序，概率P=〔方法三〕只考慮第3把鑰匙，概率P=4．〔典型例題〕20典型例題〕甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是。假設(shè)兩人射擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響。〔1〕求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；〔2〕求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；〔3〕假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，那么停止射擊。問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？[考場(chǎng)錯(cuò)解]第〔3〕問，乙恰好射擊5次后，被中止，那么乙前3次都擊中，4、5次未擊中，∴所求概率為[專家把脈]乙恰好射擊5次后，被中止射擊，那么4、5次未擊中，但前3次不一定全部擊中，可能有1次未擊中，也可能有2次未擊中。[對(duì)癥下藥]〔1〕甲射擊4次，全部擊中的概率為，那么至少1次未擊中的概率為〔2〕甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率為乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為∴甲恰好擊中2次且乙恰好擊中3次的概率為(3)依題意，乙恰好射擊5次后，被中止射擊，那么4、5兩次一定未擊中，前3次假設(shè)有1次未擊中，那么一定是1、2兩次中的某一次；前3次假設(shè)有2次未擊中，那么一定是1、3兩次，但此時(shí)第4次也未中，那么射擊4次后就被停止，∴這種情況不可能；前三次都擊中也符合題意?！嗨笫录母怕蕿榭紙?chǎng)思維訓(xùn)練1〔典型例題〕擲三枚骰子，求所得點(diǎn)數(shù)中最大點(diǎn)數(shù)是最小點(diǎn)數(shù)兩倍的概率是〔〕答案：C解析：根本領(lǐng)件總數(shù)是：63，而這數(shù)點(diǎn)數(shù)是最小數(shù)點(diǎn)數(shù)的兩倍包括：(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，3，4)，(2，4,4)，(3，3，6)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，6，6)．其中(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，4，4)，(3，3，6)，(3，6，6)各包含種結(jié)果，共有6種結(jié)果；(2，3，4)，(3，4，6)，(3，5，6)各包含種結(jié)果，共有3種結(jié)果．∴所求概率為∴選C2〔典型例題〕同時(shí)拋擲3枚均勻硬幣16次，那么這三枚硬幣至少出現(xiàn)一次兩個(gè)正面一個(gè)反而的概率__________〔用式子作答〕。答案：1-〔〕16解析：事件A：出現(xiàn)兩個(gè)正面一個(gè)反面的概率為，而事件B:“至少出現(xiàn)一次兩個(gè)正面一個(gè)反面”的對(duì)立事件：“沒有一次出現(xiàn)兩個(gè)正面一個(gè)反面”的概率P()=()16．∴所求事件的概率為1-()16.3〔典型例題〕設(shè)棋子在正四面體ABCD的外表從一個(gè)頂點(diǎn)向另外三個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)是等可能的，現(xiàn)拋擲骰子根據(jù)其點(diǎn)數(shù)決定棋子是否移動(dòng)，假設(shè)拋出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，那么棋子不動(dòng)；假設(shè)拋出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，棋子移動(dòng)到另一頂點(diǎn)，假設(shè)棋子的初始位置為A，那么：〔1〕投擲2次骰子，棋子才到達(dá)頂點(diǎn)BA的概率；答案：“棋子才到達(dá)頂點(diǎn)B”包括兩種可能：(1)第一次擲出奇數(shù)，第二次擲出偶數(shù)；(2)第一次擲出偶數(shù)，第二次擲出偶數(shù)．它們的概率分別為P1=∴所求事件的概率為P=Pl+P2=.〔2〕投擲次骰子，棋子恰巧在頂點(diǎn)B的概率是多少？答案：設(shè)Pn表示擲n次骰子，棋子恰巧在頂點(diǎn)B的概率，Pn-1表示擲n-1次骰子，棋子恰巧在頂點(diǎn)B的概率，擲n次骰子，“棋子恰巧在頂點(diǎn)B”包括兩種可能：①擲n-1次骰子，棋子恰巧在頂點(diǎn)B，第n次擲出奇數(shù)，棋子在B處不動(dòng)；②擲n-1次骰子，棋子不在B，第n次擲出偶數(shù)，棋子從別的頂點(diǎn)移向B．∴Pn=·pn-1+(1-Pn-1)·,而P1=.∴P2=∴所求事件的概率為：.專家會(huì)診對(duì)于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考慮了順序，那么分子也應(yīng)考慮順序等；將一個(gè)較復(fù)雜的事件進(jìn)行分解時(shí)，一定要注意各事件之間是否互斥，還要注意有無考慮全面；有時(shí)正面情況較多，應(yīng)考慮利用公式P〔A〕=1-P〔〕；對(duì)于A、B是否獨(dú)立，應(yīng)充分利用相互獨(dú)立的定義，只有A、B相互獨(dú)立，才能利用公式P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕，還應(yīng)注意獨(dú)立與互斥的區(qū)別，不要兩者混淆。命題角度2離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差1．〔典型例題〕盒子中有大小相同的球10個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球4個(gè)，標(biāo)號(hào)為5的球3個(gè)。第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第二次再任取1個(gè)球〔假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同〕。記第一次與第二次取得球的標(biāo)號(hào)之和為ξ?！?〕求隨機(jī)變量ξ的分布列；〔2〕求隨機(jī)變量ξ的期望。[考場(chǎng)錯(cuò)解]〔1〕依題意，ξ的取值是3，6，7，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為0.24,0.18,0.24,故隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ367P0．240．180．24[專家把脈]隨機(jī)變量ξ的取值不正確，當(dāng)然隨之概率之和不等于1，由于兩次可能取到同標(biāo)號(hào)的球，所以承受機(jī)變量ξ的取值應(yīng)為2，3，4，6，7，10。[對(duì)癥下藥]〔1〕由題意可得，隨機(jī)變量ξ的取值是2，3，4，6，7，10。且P〔ξ=2〕=0.3×0.3=0.09,P(ξ=3)=C12×0.3×0.4=0.24,P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16,P(ξ=6)=2×0.3×0.3=0.18,P(ξ=7)2×0.4×0.3=0.24,P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.故隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ2345710P0．090．240．160．180．240．09〔2〕隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.2．〔典型例題Ⅱ〕某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需答復(fù)三個(gè)問題競(jìng)賽規(guī)那么規(guī)定：每題答復(fù)正確得100分，答復(fù)不正確得-100分，假設(shè)這名同學(xué)每題答復(fù)正確的概率均為0.8，且各題答復(fù)正確與否相互之間沒有影響。〔1〕求這名同學(xué)答復(fù)這三個(gè)問題的總得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；〔2〕求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分〔即ξ≥0〕的概率。[考場(chǎng)錯(cuò)解]〔1〕由于這名同學(xué)每題答復(fù)正確的概率均為0.8，且各題答復(fù)正確與否相互之間沒有影響，∴ξ服從二項(xiàng)分布?！郋ξ=100×0.8。[專家把脈]二項(xiàng)分布的概念理解錯(cuò)誤，把n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)作為隨機(jī)變量，那么這個(gè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，而此題中的得分不是這種隨機(jī)變量，所以不服從二項(xiàng)分布，實(shí)際上此題中答復(fù)正確的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布。[對(duì)癥下藥]〔1〕設(shè)這名同學(xué)答復(fù)正確的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量η，那么依題意η~B〔3，0.8〕,∴Eη=2.4,又ξ=-300=180.η=0時(shí)，ξ=-300;η=1時(shí)，ξ=-100;η=2時(shí),ξ=100;η=3時(shí)，ξ=300.所以ξ的分布列如下表所示：ξ-300-100100300P0．0080．0960．3840．512〔2〕這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P〔ξ≥0〕=0.384+0.512=0.986.3．〔典型例題〕某電器商經(jīng)過多年經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列如下：ξ123…12P…設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，那么每臺(tái)每月需花保養(yǎng)費(fèi)100元，問電器商月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使自己平均收益最大？[考場(chǎng)錯(cuò)解]〔解答1〕由題意，ξ的期望Eξ=〔1+2+…+12〕=，由期望的意義知：電器商月初購(gòu)進(jìn)6臺(tái)或7臺(tái)電冰箱才能使自己平均收益最大。〔解答2〕設(shè)月初購(gòu)進(jìn)x臺(tái)電冰箱，那么獲利也是隨機(jī)變量，取值為300-〔x-1〕·100，600-〔x-2〕·100,…，300x，它們的概率均為，∴獲利的期望為∵1≤x≤2.∴x=12時(shí)期望最大，∴月初購(gòu)進(jìn)12臺(tái)電冰箱。[專家把脈]解答1，錯(cuò)把期望當(dāng)作與實(shí)際等同，Eξ=表示平均能賣臺(tái)，不是一定能賣臺(tái)，總之是期望理解錯(cuò)誤；解答2中當(dāng)獲利的取值為300x時(shí)，概率也為是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤認(rèn)為只有x臺(tái)，賣出比x大的臺(tái)數(shù)不可能。實(shí)際上獲利的取值為300x時(shí)，概率應(yīng)為。[對(duì)癥下藥]設(shè)月初進(jìn)x臺(tái)，那么獲利η是一個(gè)隨機(jī)變量取值為300-〔x-1〕·100，600-〔x-2〕·100，…300x，共x個(gè)值，它的分布列如下：η300-〔x-1〕·100600-(x-2)·100…300xP∴Eη=(400-100x+800-100x+…+300x-400)+300x·=(x2-19x).當(dāng)x=9或x=10時(shí)，Eη最大，即月平均收益最大?！嘣鲁踬?gòu)進(jìn)9臺(tái)或10臺(tái)電冰箱才能使月平均收益最大。4．〔典型例題Ⅰ〕一接等中心有A、B、C、D四部熱線，某一時(shí)刻A、B占線的概率為0.5，C、D戰(zhàn)線的概率為0.4，各部是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時(shí)刻有ξ部占線，試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望。[考場(chǎng)錯(cuò)解]由得，ξ的取值為0，1，2，3，4。且P〔ξ=0〕=0.52×0.62=0.09,P(ξ=1)=0.52×0.62+0.52×0.4×0.6=0.15,P(ξ=2)=0.52×0.62+0.52×0.4×0.6+0.52×0.42=0.23,P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04,P(ξ=3)1-0.09-0.15-0.23-0.04=0.49.Eξ=1×0.15+2×0.23+4×0.04+3×0.49=2.4[專家把脈]P〔ξ=1〕，P〔ξ=2〕，P〔ξ=3〕的計(jì)算有錯(cuò)誤。P〔ξ=1〕表示一部占線的概率，它有兩種情況：〔1〕A、B當(dāng)中有一部占線，C、D都不占線；〔2〕A、B都不占線，C、D當(dāng)中有一部占線，而對(duì)于〔1〕，A、B當(dāng)中有一部占線應(yīng)為兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生一次的概率，ξ〔1〕的概率應(yīng)為C12×0.52×0.62;同理〔2〕的概率應(yīng)為C12×0.52×0.4×0.6.∴P(ξ=1)=C1+×0.52×0.62+C12×0.52×0.4×0.6=0.3.同理可求P〔ξ=2〕，P〔ξ=3〕。[對(duì)癥下藥]由題意知ξ的取值為0，1，2，3，4，它們的概率分別是：P〔ξ=0〕=0.52×0.62=0.09,P(ξ=1)=C12×0.52×0.62+C12×0.52×0.4×0.6=0.3,P(ξ=2)=0.52×0.62+C12C12×0.52×0.4×0.6+0.52×0.42=0.37,P(ξ=3)=C12×0.52×0.4×0.6+C12×0.52×0.42=0.2,P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04?！唳蔚母怕史植既缦拢害?1234P0．090．30．370．20．04∴Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.5．〔典型例題〕某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人瀏覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別為0.4,0.5,0.6,且客人是否瀏覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)瀏覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有瀏覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值?！?〕求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；〔2〕記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1,在區(qū)間[2，+∞]上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率。[考場(chǎng)錯(cuò)解]〔1〕ξ的取值為1，3，ξ=3表示客人瀏覽了3個(gè)景點(diǎn)，∴P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6=0.12.∴P〔ξ=1〕=1-0.12=0.88,Eξ=0.36+0.88=1.24.[專家把脈]ξ=3表示的事件應(yīng)為兩個(gè)互斥事件，而錯(cuò)解中的ξ=3表示一個(gè)事件，所以錯(cuò)誤，這是很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，所以在做概率分布的題目時(shí)，特別應(yīng)分析隨機(jī)變量取某個(gè)值，對(duì)應(yīng)哪些事件。[對(duì)癥下藥]〔1〕客人瀏覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)地，客人沒有瀏覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的取值為1，3.P〔ξ=3〕=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24,∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.(2)當(dāng)ξ=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-3x+1在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)ξ=2時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-9x+1在區(qū)間[2，+∞]上不單調(diào)遞增?！逷〔A〕=P〔ξ=1〕=0.76。考場(chǎng)思維訓(xùn)練1．某商店搞促銷活動(dòng)規(guī)那么如下：木箱內(nèi)放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顧客從中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，那么有獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)勵(lì)方法如下表：取出的棋子獎(jiǎng)品5枚白棋子價(jià)值50元的商品4枚白棋子價(jià)值30元的商品3枚白棋子價(jià)值10元的商品如果取出的不是上述三種情況，那么顧客需用50元購(gòu)置商品?！?〕求獲得價(jià)值50元的商品的概率；答案：解：〔1〕依題意，根本領(lǐng)件總數(shù)為，而取到5枚白棋子的可能只有一種.∴獲得價(jià)值50元的商品的概率為〔2〕求獲得獎(jiǎng)品的概率；答案：獲得獎(jiǎng)品有三種情況：①摸到5枚白棋子，概率為；②摸到4枚白棋子、1枚黑棋子，概率為③摸到3枚白棋子，2枚黑棋子，概率為由于互斥，所以獲得獎(jiǎng)品的概率為P=+〔3〕如果顧客所買商品本錢價(jià)為10元，假設(shè)有10000人次參加這項(xiàng)促銷活動(dòng)，同商家可以獲得的利潤(rùn)大約是多少〔精確到元〕。答案：設(shè)商家在某顧客處獲得的利潤(rùn)為隨機(jī)變量ξ，那么ξ的取值為：-50，-30，-10，40，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，.∴ξ的分布列如下所示：ξ-50-30-1040P∴Eξ=-52×+(-30)×+(-10)×+40×=.∴10000人參加這項(xiàng)促銷活動(dòng)，那么商家可以獲得的利潤(rùn)大約為×10000=128571元.2．A、B兩地之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的信息量分別為：1，1，2，2，3，3，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線，設(shè)可通過的信息量為x，當(dāng)可通過的信息量x≥6時(shí)，那么保證信息暢通?！?〕求線路信息暢通的概率；答案：解：〔1〕線路信息暢通包括三種情況，且它們彼此互斥：①x=6;②x=7;③x=8.由P〔x=6〕=∴線路信息暢通的概率P=〔2〕求任取三條網(wǎng)線所通過信息量的數(shù)學(xué)期望。答案：任取三條網(wǎng)線所通過的信息量為隨機(jī)變量x，且x的取值為：4，5，6，7，8。它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為的分布列如下：x45678P∴Ex=4×+5×+6×+7×+8×=6.∴任取三條網(wǎng)線所通過信息量的數(shù)學(xué)期望為6。3．袋中放2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中取一個(gè)球，直到取到白球?yàn)橹?，假設(shè)每次取出的球不再放回去，求取球次數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望。答案：解：∵袋中放2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中取一球，直至取到白球?yàn)橹梗嗳∏虼螖?shù)ξ的取值為1，2，3，4，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為P〔ξ=1〕=，P〔ξ=2〕P〔ξ=3〕=×=×故ξ的分布列為：ξ1234p∴Eξ=1×+2×+3×+4×=2.專家會(huì)診離散型隨機(jī)變量的分布列，期望與方差是概率統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)離散型隨機(jī)變量及分布列，期望與方差的概念的關(guān)鍵。求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟是：〔1〕根據(jù)問題實(shí)際找出隨機(jī)變量ξ的所有可能值xi;〔2〕求出各個(gè)取值的概率P〔ξ=xi〕=Pi;(3)畫表填入相應(yīng)數(shù)字，其中隨機(jī)變量ξ的取值很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真推敲，對(duì)于概率通常利用所有概率之和是否等于1來進(jìn)行檢驗(yàn)。期望與方差的計(jì)算公式尤其是方差的計(jì)算公式較為復(fù)雜，要在理解的根底上進(jìn)行記憶。命題角度3統(tǒng)計(jì)1．〔典型例題〕樣本總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，…，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，…，10，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第一組抽取的號(hào)碼為m那么在第k組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同，假設(shè)m=6，那么在第7組中抽取的號(hào)碼是____________.[考場(chǎng)錯(cuò)解]由于m=6，k=7，∵m+k=13，它的個(gè)位數(shù)字是3，∴在經(jīng)7組中抽取的號(hào)碼是73?；蜻@樣解答：由于第一組抽取的為6號(hào)，那么第二組抽取的為16號(hào)，…第7組抽取的為66號(hào)。[專家把脈]答案為73的錯(cuò)因是：第7組中個(gè)體的號(hào)碼錯(cuò)誤，第7組應(yīng)為61，62，…69。答案為66的錯(cuò)因是：死套課本上介紹的方法不管問題實(shí)際。[對(duì)癥下藥]∵m=6，k=7，∴m+k=13,它的個(gè)位為3，依題意第7組的號(hào)碼為61，62，…，69?！嗟?組抽取的號(hào)碼應(yīng)為63。2．〔典型例題〕某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用圖13-1所示的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為〔〕A．0．6B．0．9C．1．0D．1．5[考場(chǎng)錯(cuò)解]由圖可以盾出用時(shí)間為0．5的人數(shù)最多，∴選A。[專家把脈]對(duì)條形圖理解錯(cuò)誤，實(shí)際上條形圖應(yīng)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量的期望的問題。[對(duì)癥下藥]設(shè)每人閱讀的時(shí)間為ξ，那么ξ=0,0.5,1.0,1.5,2.0.且P〔ξ=0〕=，P〔ξ=0.5〕=,P(ξ=1.0)=,P(ξ=1.5)=,P(ξ=2.0)=.∴Eξ=0×.∴這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為0.9小時(shí)?！噙xB。3．〔典型例題〕假設(shè)隨機(jī)變量ξ、η都服從正態(tài)分布，并且ξ~N〔3，2〕，η=，那么隨機(jī)變量η的期望是_________。[考場(chǎng)錯(cuò)解]∵ξ~N〔3，2〕，∴μ=3，σ2=2，σ=∴Eξ=μ=3，又η=，∴Eη=〔〕=〔Eξ-3〕=0?！唳堑钠谕麨?。4．〔典型例題〕設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N〔0，1〕，記φ〔x〕=P(ξ<x),那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔〕A．φ〔0〕B．φ〔x〕=1-φ(-x)C．P(|ξ|<a)=2φ(a)-1(a>0)D．P(|ξ|>a)=1-φ(a)(a>0)[考場(chǎng)錯(cuò)解]由于φ〔a〕可能小于，即2φ〔a〕-1可能小于0，∴選C。[專家把脈]對(duì)正態(tài)分布不熟悉導(dǎo)致錯(cuò)誤，實(shí)際上φ〔a〕>φ(0)=.[對(duì)癥下藥]由玤態(tài)函數(shù)的圖像知；φ〔0〕=，φ〔x〕=1-φ(-x),P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=φ(a)-φ(-a)=2φ(a)-1,而P(|ξ|>a)=P(ξ>a)+P(ξ<-a)=1-φ(a)+φ(-a)=1-2φ(a).∴不正確的為D?！噙xD。考場(chǎng)思維訓(xùn)練1某廠生產(chǎn)的零件外徑ξ~N〔10，0.04〕，今從該廠上午生產(chǎn)的零件中各取一件，測(cè)得外徑分別為9.9cm,9.3cm,那么可認(rèn)為〔〕A．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常B．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常C．上、下午生產(chǎn)情況均正常D．上、下午生產(chǎn)情況均不正常A解析：由μ＝10，σ＝0.2，∴9.9∈〔9.4，10.6〕，9.3〔9.4,10.6〕.∴

選A.2設(shè)隨機(jī)變量ξ~N〔μ，σ2〕，且P〔ξ≤c〕=P(ξ>Ac),那么c等于A．0B．6C．-μD．μ答案：D解析：由正態(tài)分布的知識(shí)知：C應(yīng)為正態(tài)函數(shù)的對(duì)稱軸，∴C=μ，選D.3從某社區(qū)家庭中按分層抽樣的方法，抽取100戶高、中、低收入家庭調(diào)查社會(huì)購(gòu)置力的某項(xiàng)指標(biāo)，假設(shè)抽出的家庭中有56戶中等收入戶和19戶低收入戶，該社區(qū)高收入家庭有125戶，那么該社區(qū)家庭總戶數(shù)為__________.答案：3.500解析：∵分層抽樣是按比例抽取，而高收入家庭有125戶，抽取了100-〔56+19〕=25戶，所以抽取的比例為，∴中等收入家庭有280戶，低收入家庭有95戶，∴該社區(qū)家庭總戶數(shù)為280+95+125=500.專家會(huì)診對(duì)抽樣方法，總體分布的估計(jì)，正態(tài)分布及線性回歸近幾年高考要求都不高，有的尚未考查，但作為新的知識(shí)點(diǎn)，高考也不會(huì)完全放棄，所以平時(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)以根底知識(shí)為主，重點(diǎn)學(xué)習(xí)抽樣方法，正態(tài)分布的根底知識(shí)。抽樣方法主要是概念的理解，正態(tài)分布主要是圖像的性質(zhì)。探究開放題預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)角度1與比賽有關(guān)的概率問題1．甲、乙兩個(gè)圍棋隊(duì)各5名隊(duì)員按事先排好的順序進(jìn)行擂臺(tái)賽，雙方1號(hào)隊(duì)員選賽，負(fù)者被淘汰，然后負(fù)方的2號(hào)隊(duì)員再與對(duì)方的獲勝隊(duì)員再賽，負(fù)者又被淘汰，一直這樣進(jìn)行下去，直到有一方隊(duì)員全被淘汰時(shí)，另一方獲勝。假設(shè)每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，那么甲方有4名隊(duì)員被淘汰且最后占勝乙方的概率是____________。[解題思路]假設(shè)第一個(gè)被淘汰的隊(duì)員站在第一個(gè)位置，第二個(gè)被淘汰的隊(duì)員站在第二個(gè)位置，依此類推，最后獲勝隊(duì)員站在第十個(gè)位置，考慮雙方隊(duì)員的位置可得解。[解答]根本領(lǐng)件總數(shù)為：從10個(gè)位置中選5個(gè)位置給甲方隊(duì)員，剩下5個(gè)給乙方隊(duì)員，∴根本領(lǐng)件總數(shù)為C510，依題意甲方有4名隊(duì)員被淘汰且最后戰(zhàn)勝乙方就是說甲方前4個(gè)人應(yīng)排在前8個(gè)位置中的4個(gè)，原因是第9應(yīng)是乙方的第5人，第10應(yīng)是甲方的第5人，∴事件包含的可能有C48，且每種可能等可能性。∴所求事件的概率為2．某種比賽的規(guī)那么是5局3勝制，甲、乙兩人在比賽中獲勝的概率分別是?！?〕假設(shè)有3局中乙以2：1領(lǐng)先，求乙獲勝的概率；〔2〕假設(shè)勝一局得2分，負(fù)一局得分，求甲得分ξ的數(shù)學(xué)期望。[解題思路]乙獲勝的可能有兩種：〔1〕3：1，乙只需用勝第4場(chǎng)即可；〔2〕3：2，乙需第4場(chǎng)失敗，第5場(chǎng)獲勝，第〔2〕問先分析ξ的取值，注意在計(jì)算各種情況的得分時(shí)要將正分加上負(fù)分。[解答]〔1〕依題意，前三局乙以2：1領(lǐng)先，∴乙獲用的可能有兩種：〔1〕乙在第4局獲勝，概率為；〔2〕乙在第4局失敗，在第5局獲勝，概率為而這兩種情況互斥，∴乙獲勝的概率為〔2〕將甲獲勝的場(chǎng)數(shù)寫在前面，那么比賽結(jié)果有以下幾種：〔1〕0：3；〔2〕1：3；〔3〕2：3；〔4〕3：0；〔5〕3：1；〔6〕3：2?！?〕中ξ=-3，〔2〕中=-1，〔3〕中ξ=1，〔4〕中ξ=6，〕〔5〕中ξ=5，〔6〕中ξ=4?！唳蔚娜≈禐?3，-1，1，4，5，6。P〔ξ=-3〕=P〔ξ=-1〕=C13·，P〔ξ=1〕=C24·P〔ξ=4〕=C24·，P〔ξ=5〕=C13，P〔ξ=6〕=∴ξ的分布列如下所示：ξ-3-11456P∴Eξ=-3×+〔-1〕×+1×+4×+5×+6×?！嗉椎梅枝蔚臄?shù)學(xué)期望為預(yù)測(cè)角度2以概率與統(tǒng)計(jì)為背景的數(shù)列題1．從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按向量a=(0,1)移動(dòng)的概率為，按向量b=〔0，2〕移動(dòng)的概率為，設(shè)M到達(dá)點(diǎn)〔0，n〕的概率為Pn,求Pn[解題思路]引進(jìn)數(shù)列{Pn}，再根據(jù)題意，找到遞推關(guān)系，再求Pn，注意Pn的實(shí)際意義，M到達(dá)點(diǎn)〔0，n〕的概率為Pn，那么到達(dá)〔0，n-1〕的概率為Pn-1。[解答]依題意，M到達(dá)點(diǎn)〔0，n〕有兩種情形：〔1〕從點(diǎn)〔0，n-1〕按向量a=(0,1)移動(dòng)到點(diǎn)〔0，n〕，由于M到達(dá)點(diǎn)〔0，n-1〕的概率為Pn-1,按a=(0,1)移動(dòng)的概率為。∴這種情形的概率為；〔2〕從點(diǎn)〔0，n-2〕按向量b=(0,2)移動(dòng)到點(diǎn)〔0，n〕，依〔1〕同樣想法，得這種情形的概率為由于〔1〕、〔2〕兩種情形互斥?！郟n=∴{Pn-Pn-1}是以P2-P1=為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列，于是Pn-Pn-1=·〔-〕n-2=(-)n(n≥2).∴Pn=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(Pn-Pn-1)=∴質(zhì)點(diǎn)能達(dá)〔0，n〕的概率為2．一個(gè)口袋中放有假設(shè)干個(gè)球，每一球上標(biāo)有1至n中某一個(gè)整數(shù)，設(shè)標(biāo)有數(shù)k的球有k個(gè)，現(xiàn)從中任取一球。ξ為取的球上所標(biāo)數(shù)字，求ξ的期望與方差。[解題思路]先求ξ的分布列，再利用數(shù)列求和的知識(shí)求Eξ和Dξ。[解答]依題意袋中共有球1+2+…+n=個(gè)。由于標(biāo)有數(shù)字k的球有k個(gè)，∴P〔ξ=k〕=∴ξ的分布列如下所示ξ12…k…nP…∴Eξ=預(yù)測(cè)角度3利用期望與方差解決實(shí)際問題1．四位母親帶著自己的孩子參加電視臺(tái)“我愛媽媽”綜藝節(jié)目，其中有一環(huán)節(jié)，先把四位小孩的眼睛蒙上，然后四位母親分開站，而且站眘不許動(dòng)、不許出聲，最后讓蒙上眼睛的小朋友找自己的媽媽，一位母親的身邊只許站一位小朋友，站對(duì)一對(duì)后亮起兩盞紅燈，站錯(cuò)不亮燈，求所亮燈數(shù)的期望值。[解題思路]先求燈數(shù)的分布列，再求期望。[解答]設(shè)所亮燈數(shù)為ξ，那么ξ的取值為0，2，4，8，且P〔ξ=0〕=P〔ξ=2〕=P〔ξ=4〕=P〔ξ=8〕=∴亮燈數(shù)ξ的分布列如下：ξ0248P∴Eξ=〔注意：ξ不可能等于6，因?yàn)橛?人站對(duì)后，第4人一定站對(duì)〕。2．某商場(chǎng)根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來決定節(jié)目節(jié)日在商場(chǎng)內(nèi)還有在商場(chǎng)外開展促銷活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)資料說明，每一年五一節(jié)商場(chǎng)內(nèi)的促銷活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益2.5萬元，商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)如果不遇害到有雨天可獲得經(jīng)濟(jì)效益12萬元，如果促銷活動(dòng)遇到雨天那么帶來經(jīng)濟(jì)損失5萬元，4月30日氣象臺(tái)報(bào)五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，問商場(chǎng)應(yīng)該采用哪種促銷方式？[解題思路]計(jì)算出商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益的期望值，將這個(gè)值與2.5萬元比擬。[解答]設(shè)五一節(jié)商場(chǎng)外促銷收益為ξ〔萬元〕，那么依題意，ξ的分布列如下：ξ12-5P0．60．4∴Eξ=12×0.6+(-0.4×5)=5.2萬元，又5.2>2.5,∴商場(chǎng)應(yīng)采用在商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)。考點(diǎn)高分解題綜合訓(xùn)練1一個(gè)盒子里裝有相同大小的黑球10個(gè)，紅球12個(gè)，白球4個(gè)，從中任取兩個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為ξ，那么以下算式中等于的是〔〕A．P〔0<ξ≤2〕B．P(ξ≤1)C．EξD．DξB解析：P〔ξ≤1〕=P〔ξ=0〕+P〔ξ=1〕=∴選B.2袋中有紅、黃、綠色球各1個(gè)，每次任取一球，又放回地抽取三次，球顏色全不相同的概率是〔〕答案：C解析：根本領(lǐng)件總數(shù)為33=27，而球顏色全不相同的可能有種，∴所求概率為3在獨(dú)立重復(fù)的射擊試驗(yàn)中，某射手擊中目標(biāo)的概率為0.4，那么他在射擊時(shí)擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，方差分別為〔〕A．2．5，4B．2.5,3.75C．0.24,3.75D．25,37.5答案：B解析：依題意他射擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)服從幾何分布，P=0.4,q=1-P=0.6,∴Eξ=4袋中有紅球3個(gè)，白球3個(gè)，任抽取一球確認(rèn)顏色后放入袋中，最多可以取3次，但是取到紅球后就不能再取了，假設(shè)每取一次可以得到10元，那么可得金額的期望值為〔〕A．30元B．20元C．17．5元D．13.75元答案：C解析：依題意摸球次數(shù)ξ的取值為1，2，3，且P〔ξ=1〕=得金額的期望值為=17.5元.5假設(shè)ξ~N〔2，σ2〕，且P〔2<ξ<4〕=0.4,那么P(ξ<0)的值為___________.答案：0.1解析：由正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像的意義及其對(duì)稱性知P〔ξ<0〕=P(ξ>4)=[1-P(0<ξ<4)]=[1-2P(2<ξ<4)]=(1-2×0.4)=0.1,∴填0.16甲、乙二人各拿兩骰子做拋擲游戲，規(guī)那么如下：假設(shè)擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，該擲骰子的人再繼續(xù)擲；假設(shè)擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)時(shí)，就由對(duì)方接著擲，第一次由A擲，假設(shè)第n次由A擲的概率為Pn,那么Pn=__________.答案：+×(-)n-1解析：第n次由A擲的概率為P，那么第n次由B搓的概率為1-Pn那么第n+1次由A擲的可能有兩種：〔1〕第n次由A擲，擲出的點(diǎn)數(shù)和為3倍數(shù)，第n+1次由A擲，概率為〔2〕第n次B擲，擲出的點(diǎn)數(shù)和不為3的倍數(shù)，第n+1次由A擲，概率為〔1-Pn〕,由于上面兩種情況互斥，∴Pn+1=∴Pn=7某電路圖如圖13-2所示，在某段時(shí)間內(nèi)，開關(guān)A、B、C、D能合〔接通〕的概率為P，且互不影響，計(jì)算這段時(shí)間內(nèi)電燈不亮的概率。答案：解析：先求電燈亮的概率，電燈亮包括以下幾種情形：〔1〕AD；〔2〕ABC；〔3〕ABCD.(其中D表示D能合，表示D不能合)。且三種情形互斥。P(AD)=P(A)·P(D)·[1-P(B)P(C)]=P·P(1-P2)P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)·(1-P(D))=P·P·P(1-P),P(ABCD)=P4,∴燈亮的概率為P2+P3-P4?！酂舨涣恋母怕蕿?-P2+P4-P38美國(guó)DBA總決賽采用七局四勝制，預(yù)計(jì)2006年比賽，兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，且每場(chǎng)比賽組織者可獲得200萬美元，問：〔1〕組織者在本次比賽中獲得800萬美元的概率是多少？答案：依題意，組織者在本次比賽中獲利800萬美元，那么比賽結(jié)果應(yīng)是某隊(duì)以4：0獲勝。其概率為P=2×〔2〕組織者在本次比賽中獲利不低于1200萬美元的概率是多少答案：組織者在本次比賽中獲利不低于1200萬美元，那么至少打6場(chǎng)，分兩種情況：〔1〕只打6場(chǎng)，那么比賽結(jié)果應(yīng)是某隊(duì)以4：2獲得勝利，其概率為P1=0··，那么比賽結(jié)果應(yīng)是某隊(duì)以4：3