廣州市2023.2024學年九年級（上）期末考試模擬卷

（滿分120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下列與杭州亞運會有關(guān)的圖案中，中心對稱圖形是（）

2.成語“水中撈月”所描述的事件是（）

A.必然事件B.隨機事件C.不可能事件D.無法確定

3.用配方法解一元二次方程f+4x-5=0,此方程可變形為（）

A.（x+2）2=9B.（%-2）2=9C.（x+2）2=1D.（%-2）2=1

4.隨機拋擲一枚瓶蓋1000次，經(jīng)過統(tǒng)計得到“正面朝上”的次數(shù)為420次，則可以由此估計拋

擲這枚瓶蓋出現(xiàn)“反面朝上”的概率為（）

A.0.22B.0.42C.0.50D.0.58

5.如圖，A、B、C是O。上的三個點，若/5=30°,則N。4c的度數(shù)為（）

C.50°D.60°

6.如圖，將△A3C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到若線段A3=4,則BE的長為（)

C.5D.6

7.已知反比例函數(shù)y=-2,下列結(jié)論不正確的是（）

X

A.圖象必經(jīng)過點（-1,2）B.y隨x的增大而增大

C.圖象在第二、四象限內(nèi)D.若則-2<y<0

1

8.若M(-4,V)，N(-3,?),P(1,*)為二次函數(shù)丁=/+標-5的圖象上的三點，則”，

yi,ya的大小關(guān)系是()

A.yi<y2<y3B.yi<yi<y?,C.yi<y\<yiD.yi<ys<y2

9.關(guān)于x的一元二次方程五2+3》-1=0有實數(shù)根，則上的取值范圍是()

A.ZW-9B.kW-旦且左中0

44

C.-2D.左三-9且

44

10.如圖，拋物線丁=0?+法+。與x軸相交于點A(-2,0),B(6,0),與y軸相交于點C.小

紅同學得出了以下結(jié)論：①4ac<Z?2；②4a+Z?=0；③當y>0時，-2<x<6；④關(guān)于x的方程

ax1+bx+(c-2)=0有兩個不等實根；⑤對任意的實數(shù)如am2-4-a^-bm+2b.其中正確的

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

n.點p(-1,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是.

12.已知方程2x2-mx+3=0的一個根是T,則機的值是.

13.在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試

驗發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子里白球可能是個.

14.已知圓錐的母線長為8,底面半徑為6,則此圓錐的側(cè)面積是.

15.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(2,2),頂點為0(0,0)將該圖象向右平移，當它再次經(jīng)

過點P時，所得拋物線的函數(shù)表達式為.

16.如圖，已知點A是反比例函數(shù)y普L(x〉0)的圖象上一點，軸交另一個反比例函數(shù)

X

y上(x〉o)的圖象于點3,C為x軸上一點，若&ABC=2,則左的值為.

2

oc力

三.解答題(共9小題，滿分72分)

17.(4分)解方程：3x(2x-5)=5(2x-5).

18.(4分)如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(-1,5),5(-

4,3),C(-2,2).

(1)畫出與△ABC關(guān)于原點對稱的△ABC；

(2)畫出將△ABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△43202,并寫出史的坐標.

19.(6分)一根排水管的截面如圖所示.已知水面寬A3=8而?，測得排水管內(nèi)水的最大深度為

2dm,求排水管截面的半徑.

A'B

3

20.（6分）臨近期末考試，心理專家建議考生可通過以下四種方式進行考前減壓：A.享受美食,

B.交流談心，C.體育鍛煉，D.欣賞藝術(shù).

（1）隨機采訪一名九年級考生，選擇其中某一種方式，他選擇“享受美食”的概率

是.

（2）同時采訪兩名九年級考生，請用畫樹狀圖或列表的方法求他們中至少有一人選擇“欣賞

藝術(shù)”的概率.

21.（8分）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟適用性，銷量快速上升,

4月份該公司銷售A產(chǎn)品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同.

（1）求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；

（2）若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采

取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；

若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產(chǎn)品需降價多少？

22.（10分）已知一次函數(shù)yi=-x+7的圖象與反比例函數(shù)＞2=上圖象交于A、3兩點，且A點

x

的橫坐標-1,求：

（1）反比例函數(shù)的解析式.

（2）ZVIOB的面積.

（3）直接寫出滿足yiW*時x的取值范圍.

4

23.（10分）如圖，在菱形ABCD中，AC為菱形的一條對角線，以A3為直徑作O。，交AC于

點E,交BC于點F,G為CD邊上一點，BF=DG.

（1）求證：AG為O。的切線；

（2）若杷得，CF=3,求OO的半徑.

24.（12分）如圖，拋物線丁=加+法-3與x軸交于A（-1,0）、B（3,0）兩點，與y軸交于

點C

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。是拋物線上的一點，當△A3。的面積為10時，求點。的坐標；

（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在一點。，使得以5、C、P、。為頂

點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

5

25.（12分）閱讀下面材料，并解決問題：

（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求NAPB

的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，止匕時△ACP^AABP,這樣

就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA.PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出NAP3

（2）基本運用

圖②

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，ZkABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、R為3C上的點且NEAR=45°,求證:

EF2=BF+FC；

（3）能力提升

如圖③，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=3Q°,點。為Rt/XABC內(nèi)一點，連接

AO,BO,CO,且NAOC=NCOB=N3O4=120°,求O4+03+0C的值.

廣州市2023.2024學年九年級（上）期末考試模擬卷

答案與解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下列與杭州亞運會有關(guān)的圖案中，中心對稱圖形是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,

6

如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做

對稱中心.

【解答】解：選項3、C、。均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖

形完全重合，所以不是中心對稱圖形，

選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心

對稱圖形，

故選：A.

2.成語“水中撈月”所描述的事件是()

A.必然事件B.隨機事件

C.不可能事件D.無法確定

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行解答即可.

【解答】解：水中撈月是不可能事件，

故選：C.

3.用配方法解一元二次方程N+4x-5=0,此方程可變形為()

A.(x+2)2=9B.(%-2)2=9C.(x+2)2=1D.(x-2)2=1

【分析】移項后配方，再根據(jù)完全平方公式求出即可.

【解答】解：^+4%-5=0,

x2+4x=5,

X2+4X+22=5+22,

(x+2)2=9,

故選：A.

4.隨機拋擲一枚瓶蓋1000次，經(jīng)過統(tǒng)計得到“正面朝上”的次數(shù)為420次，則可以由此估計拋

擲這枚瓶蓋出現(xiàn)“反面朝上”的概率為()

A.0.22B.0.42C.0.50D.0.58

【分析】用得到“正面朝上”的次數(shù)除以拋擲總次數(shù)即可.

【解答】解：隨機拋擲一枚瓶蓋1000次，經(jīng)過統(tǒng)計得到“正面朝上”的次數(shù)為420次,

所以由此估計拋擲這枚瓶蓋出現(xiàn)“反面朝上”的概率為1000-420=0.58,

1000

故選：D

5.如圖，A、B、C是O。上的三個點，若NB=30°,則N。4c的度數(shù)為()

7

A

B

V7

A.15°B.30°C.50°D.60°

【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓心角是圓周角的2倍，求出NAOC的大小，再證明△AOC

是等邊三角形，可得結(jié)論.

【解答】解：?.?竟=宜，

/.ZAOC=2ZABC,

'：ZB=30°,

/.ZAOC=60°,

"：OA=OC,

：.AOAC是等邊三角形，

：.ZOAC=60°.

故選：D.

6.如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED,若線段A3=4,則BE的長為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AE,ZBAE=6Q°,然后判斷出AAEB是等邊三角形，再

根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BE=AB.

［解答］解：：AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AAED,

：.AB=AE,ZBAE=60°,

...ZXAEB是等邊三角形，

：.BE=AB,

'：AB=4,

：.BE=4.

故選：B.

8

7.已知反比例函數(shù)y=-2,下列結(jié)論不正確的是()

X

A.圖象必經(jīng)過點(-1,2)

B.y隨x的增大而增大

C.圖象在第二、四象限內(nèi)

D.若則-2<y<0

【分析】把尤=1代入y=-2可判斷A；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷3,C,D.

X

【解答】解：A.當x=-1時，y=-2=2,即該函數(shù)過點(-1,2),故結(jié)論正確，選項A

X

不符合題意；

3.,反比例函數(shù)y=-2，k=-2<0,

x

???在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故結(jié)論錯誤，選項3符合題意；

C.反比例函數(shù)y=-2,k=-2<0,

x

該函數(shù)圖象為第二、四象限，故結(jié)論正確，選項C不符合題意；

D,反比例函數(shù)y=-旦，k=~2<0,

x

???該函數(shù)圖象為第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

*.*當x=1時，y=--=-2,

x

若x>l,則-2<y<0,故結(jié)論正確，選項。不符合題意；

故選:B.

8.若M(-4,N)，N(-3,*),P(1,”)為二次函數(shù)y=f+4x-5的圖象上的三點，則加

y2,ya的大小關(guān)系是()

A.yi<y2<y3B.y2<yi<*C.yi<yi<y2D.y\<yi<yi

【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向及頂點坐標，根據(jù)M,N,P三點到對稱軸的距

離大小求解.

【解答】解：???y=x2+4x-5,

???拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-&=-2,

2

???距離對稱軸越近的點的縱坐標越小，距離越遠的點的縱坐標越大，

-2-(-3)<-2-(-4)<1-(-2),

/.y2<yi<p,

9

故選：B.

9.關(guān)于x的一元二次方程h2+3x-1=0有實數(shù)根，則左的取值范圍是()

A.左W-9B.kW-9且公￡0

44

C.-2D.左三-E?且左中0

44

【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關(guān)于k的不等

式，解得即可，同時還應注意二次項系數(shù)不能為0.

【解答】解：關(guān)于X的一元二次方程依2+3x-1=0有實數(shù)根，

?\A=b2-4QCN0，

即：9+4左20,

解得：--1,

4

關(guān)于x的一元二次方程fcr+3x-1=0中左W0,

則k的取值范圍是左》-旦且上20.

4

故選：D.

10.如圖，拋物線y=ax2+0x+c與％軸相交于點A(-2,0),B(6,0),與y軸相交于點C.小

紅同學得出了以下結(jié)論：①4ac<〃；②4a+6=0；③當y>0時，-2<x<6；④關(guān)于x的方程

a^+bx+(c-2)=0有兩個不等實根；⑤對任意的實數(shù)機，am2--bm+2b.其中正確的

個數(shù)為()

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可判斷②，直接觀

察圖象可判斷③，根據(jù)圖象可得丁=奴2+桁+。與丁=2有2個交點，即可判斷④，根據(jù)頂點坐

標即可判斷⑤.

【解答】解：???拋物線與x軸有兩個交點，

b2-4ac>0,即4ac<b2,

io

???①正確；

?拋物線yuaN+bx+c與無軸相交于點A(-2,0),B(6,0),

拋物線的對稱軸為X，上=(一2)+6=2,

2a2

/--b=4a,

/.4〃+Z?=0,

?..②正確；

觀察圖象可知當y<0時，-2Vx<6,

???③正確；

④：拋物線y=ax2+foc+c與x軸交于點A(1,0)和點3(3,0),

拋物線y=ax2+bx+c與y=2有2個交點，

即方程以2+法+(c-2)=0有兩個不相等的實數(shù)根；故④正確；

⑤?.?對稱軸為直線x=2,開口向上

??.當x=2時，y取得最小值，為4a+20+c,

4a+2b+c^am~+bm+c；

即am2-4aN-bm+2b-,故⑤正確.

綜上，正確的有5個，

故選：D

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11?點P(-1,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是(1,-3).

【分析】關(guān)于原點對稱的點，橫、縱坐標都互為相反數(shù).

【解答】解：點關(guān)于原點的對稱點，可以通過作圖知道(x,y)關(guān)于原點的對稱點是(-x,

->)，

因此點P(-1,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是(1,-3).

12.已知方程2x2-mx+3=0的一個根是T,則m的值是-5.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解把x=-1代入一元二次方程得到關(guān)于m的一次方程，然后解

一次方程即可.

【解答】解：把x=-1代入2爐-mx+3=Q,得2+m+3=0,

解得，m=-5.

11

故答案為：-5.

13.在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試

驗發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子里白球可能是9個.

【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，可以計算出紅球的個數(shù).

【解答】解：由題意可得，

30X0.3=9(個)，

即袋子中白球的個數(shù)最有可能是9個，

故答案為：9.

14.已知圓錐的母線長為8,底面半徑為6,則此圓錐的側(cè)面積是48n.

【分析】根據(jù)圓的周長公式求出圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長，根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【解答】解：圓錐的底面周長=2nX6=12m即圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長為12m

則圓錐的側(cè)面積=/乂1271X8=48加

故答案為：48n.

15.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(2,2),頂點為。(0,0)將該圖象向右平移，當它再次經(jīng)

過點P時，所得拋物線的函數(shù)表達式為二三工(X-4)2.

2

【分析】設原來的拋物線解析式為：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；然后利用平移

規(guī)律得到平移后的解析式，將點P的坐標代入即可.

【解答】解：設原來的拋物線解析式為：y=a^(aWO).

把P(2,2)代入，得2=4a,

解得

2

故原來的拋物線解析式是：y=lx2.

2

設平移后的拋物線解析式為：y=l(x-0)2.

-2

把P(2,2)代入，得2=工(2-6)2.

2

解得6=0(舍去)或。=4.

所以平移后拋物線的解析式是：y=l(x-4)2.

-2

故答案為：y=l(x-4)2.

-2

16.如圖，已知點A是反比例函數(shù)y」2.(x〉0)的圖象上一點，軸交另一個反比例函數(shù)

12

y，L（x〉o）的圖象于點3,C為x軸上一點，若&ABC=2,則k的值為6

【分析】由點A是反比例函數(shù)y」9（x〉o）的圖象上，可得SAOD=5,根據(jù)等底同高的三角

X

形面積相等可得SMOB=SAACB=2,進而求出SABOD=3,再根據(jù)點3在反比例函數(shù)了2（X〉0）

X

的圖象上，求出SABOD=3,進而求出左的值.

【解答】解：延長A3交y軸于點。，連接。4、0B,

???點A是反比例函數(shù)y」9（x〉o）的圖象上，A3〃x軸，

X

SAA0DVIk|=^-X10=5，S^OB=SAACB=2,

:.SABOD=SAAOD-S^AOB=5-2=3,

又?.?點3在反比例函數(shù)y=K（x〉（））的圖象上，

X

,.SABOD節(jié)Ik|=3，

.,.k=6,k=-6（舍去），

故答案為：6.

三.解答題（共9小題，滿分72分）

17.（4分）解方程：3x（2x-5）=5（2x-5）.

【分析】利用因式分解把方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，即可得到方程的解.

【解答】解：3x（2x-5）=5（2x-5）,

13

(3x-5)(2x-5)=0,

.'.3x-5=0或2x-5=0,

解得x,￡，xcQ-

X1322

18.(4分)如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(-1,5),B(-

4,3),C(-2,2).

(1)畫出與△ABC關(guān)于原點對稱的△ALBICI；

(2)畫出將△ABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的232c2,并寫出比的坐標.

【分析】(1)利用中心對稱的性質(zhì)，分別作出A,B,C的對應點Ai,Bi,。即可.

(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，分別作出A,B,C的對應點A2,B?,C2即可.

【解答】解：(1)如圖1,△A13C1即為所求：

圖1

(2)如圖2,282c2即為所求,Bi(3,4).

14

圖2

19.(6分)一根排水管的截面如圖所示.已知水面寬A3=8而，測得排水管內(nèi)水的最大深度為

2dm,求排水管截面的半徑.

【分析】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.由垂徑定理可得出3P

的長，在RtAOB尸中，根據(jù)勾股定理列出方程解出即可.

【解答】解：過點。作A3的垂線，交A3于點P,交圓于C點，連結(jié)

AB=8dm,

:.BP=4dm,

設排水管截面的半徑為rdm,

由垂徑定理和勾股定理得：

(r-2)2+42=^,

15

解得r=5dm,

故排水管截面的半徑為5dm.

20.（6分）臨近期末考試，心理專家建議考生可通過以下四種方式進行考前減壓：A.享受美食,

B.交流談心，C.體育鍛煉，D.欣賞藝術(shù).

（1）隨機采訪一名九年級考生，選擇其中某一種方式，他選擇“享受美食”的概率是1.

一4一

（2）同時采訪兩名九年級考生，請用畫樹狀圖或列表的方法求他們中至少有一人選擇“欣賞

藝術(shù)”的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；

（2）先利用樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到至少有一人選擇“欣賞藝術(shù)”的結(jié)果數(shù)，

再利用概率公式計算可得.

【解答】解：（1）隨機采訪一名九年級考生，選擇其中某一種方式有4種等可能結(jié)果，他選

擇“享受美食”的只有1種結(jié)果，

???他選擇“享受美食”的概率是工，

4

故答案為：1.

4

（2）畫樹狀圖為：

AB

/1\\/IV.

ABcDABcD

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中他們中至少有一人選擇“欣賞藝術(shù)”的結(jié)果數(shù)為7,

...他們中至少有一人選擇“欣賞藝術(shù)”的概率為二.

16

21.（8分）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟適用性，銷量快速上升,

4月份該公司銷售A產(chǎn)品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同.

（1）求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；

（2）若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采

取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；

若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產(chǎn)品需降價多少？

【分析】（1）設該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x,根據(jù)2月份及4月份該公司A產(chǎn)品的銷

售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

16

（2）設每套A產(chǎn)品需降價y萬元，則平均每月可售出（30+ULX20）套，根據(jù)總利潤=每套

0.5

的利潤X銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x,

依題意，得：20（1+x）2=45,

解得：xi=0.5=50%,%2=-2.5（不合題意，舍去）.

答：該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為50%.

（2）設每套A產(chǎn)品需降價y萬元，則平均每月可售出（30+工X20）套，

0.5

依題意，得：（2-y）（30+工X20）=70,

0.5

整理，得：4v2-5y+l=0,

解得：yi=A,y2=l.

'4'

答???盡量減少庫存，

.*.y=1.

答：每套A產(chǎn)品需降價1萬元.

22.（10分）已知一次函數(shù)yi=-x+7的圖象與反比例函數(shù)"=K圖象交于A、3兩點，且A點

x

的橫坐標-1,求：

（1）反比例函數(shù)的解析式.

（2）ZVIOB的面積.

（3）直接寫出滿足yiW*時x的取值范圍.

【分析】（1）把x=-1代入yi=-x+7可確定A點坐標為（-1,8）,然后利用待定系數(shù)法可

確定反比例函數(shù)解析式；

（2）解析式聯(lián)立,解方程組求得3的坐標，然后確定C點坐標，再利用△AOB的面積=S4AOC+S

△BOC進行計算即可.

（3）根據(jù)圖象求得即可.

17

【解答】解：(1)把x=T分別代入州=-x+7得％=1+7=8,

AA(-1,8),

把A(-1,8)代入＞2=上得8=」^,

解得k=-8,

反比例函數(shù)的解析式為》=-

X

(2)設y=-x+7與y軸交點為C(0,7)

0c=7,

"y=-x+7,.z_

解18得卜或x=*，

y=-Iy=8(y=-l

：.B(8,-1),

S/^AOB=S^AOC+SABOC

=1X7X1+1X7X8=J^.；

222

23.（10分）如圖，在菱形ABCD中，AC為菱形的一條對角線，以A3為直徑作。0,交AC于

點E,交于點RG為CD邊上一點，>BF=DG.

（1）求證：AG為O。的切線；

（2）若AE>|,CF=3,求O。的半徑.

18

【分析】(1)連接AR首先根據(jù)全等三角形的判定定理SAS及圓周角定理，即可證得小明注

AADG,ZAFB=ZAGD=9Q°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)及切線的判定定理，即可證得結(jié)論；

(2)連接3E,首先根據(jù)圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，即可證得AC=2AE,設。。的半

徑為R,則AB=BC=2R,則BF=2R-3,再根據(jù)AB2-BF2=AC2-CF2,列出方程，據(jù)此即

可求解.

【解答】(1)證明：如圖：連接AR

??'AB是。。的直徑，

AZAFB=9Q°,

???四邊形ABCD是菱形，

：.AB=AD,ZB=ZD,AB//DC,

在△ABR和△ADG中，

，AB=AD

-ZB=ZD-

BF=DG

AABF^AADG(SAS),

/.ZAFB=ZAGD=9Q°,

'JAB//DC,

：.ZBAG=ZAGD=9Q°,

：.OA±AG,

又是O。的半徑，

???AG為。。的切線；

(2)解：如圖：連接3E,

??'AB是。。的直徑，

AZAEB=90°,BPBELAC,

???四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC,

?5

?,AC=2AE=2Xy=5)

設O。的半徑為R,則AB=BC=2R,則BF=BC-CF=2R-3,

\'AF2=AB2-BF2=AC2-CF2,

19

...(2R)2-(2R-3)2=52-32,

解得R啜，

24.(12分)如圖，拋物線丁=加+法-3與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于

點C

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點。是拋物線上的一點，當△A3。的面積為10時，求點。的坐標；

(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在一點。，使得以5、C、P、。為頂

點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)設點。的坐標為(x,e-2x-3),利用△A3。的面積為10,列出等式求解即可;

(3)分情況討論，當為四邊形的對角線時或當3C為邊時，分別求解即可.

【解答】解：(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入丁=加+法-3得，

(a-b-3=0

19a+3b~3=0

解得：1a=l,

lb=-2

20

???拋物線的解析式為：y=/-2x-3；

（2）設點。的坐標為（x,f-2x-3）,

VA（-1,0）、B（3,0）,

：.AB=4,

2

*,-SAABD-|x4X|X-2X-3|=10'

即|『-2%-3|=5,

.../-2%-3=5或％2-2%-3=-5（無解舍去）,

解得：xi=4,%2=-2,

???點。的坐標為（4,5）或（-2,5）；

（3）在拋物線上存在一點。，使得以3、C、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形；理由如下:

拋物線y=x2-2x-3的對稱軸為：x=l,

假設存在，設P（xp,yp）,Q（.XQ,y°）,

??Xp1,

分兩種情況討論：

當3c為四邊形的對角線時，PB//CQ,PB=CQ,

\XB-XP\=\XQ-XC|,

即2=XQ,

此時點。的坐標為（2,-3）；

②當3c為邊時，PQ//BC,PQ=CB,

\XQ-XP\=\XB-XC\,即-11=3,

解得：x°=4或x0=-2,

此時點。的坐標為（4,5）或（-2,5）.

綜上所述，存在滿足條件的Q點的坐標為（2,-3）或（4,5）或（-2,5）.

25.（12分）閱讀下面材料，并解決問題:

21

(1)如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求NAP3

的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，止匕時△ACPm△A3P,這樣

就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA.PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出NAP3=

150°；

(2)基本運用

請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、R為3c上的點且NEAR=45°,求證:

EF2=BE1+FC1；

(3)能力提升

如圖③，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點。為RtZXABC內(nèi)一點，連

接A。，BO,CO,且NAOC=NCO5=N3O4=120°,求O4+0B+0C的值.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換