專題16.3軸對稱十六大必考點

【人教版】

【考點1軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】............................................................1

【考點2格點中的軸對稱】.....................................................................3

【考點3設(shè)計軸對軸圖案】.....................................................................8

【考點4鏡面對稱】..........................................................................11

【考點5利用軸對稱求最值】..................................................................12

【考點6尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】.....................................................17

【考點7利用三線合一求值】..................................................................19

【考點8利用三線合一證明】..................................................................23

【考點9利用等角對等邊證明邊長相等】........................................................27

【考點IO利用等角對等邊證明】...............................................................32

【考點11作等腰三角形】......................................................................38

【考點12等邊三角形的判定與性質(zhì)】...........................................................42

【考點13含30度的直角三角形】..............................................................52

【考點14尺規(guī)作垂直平分線或垂線】...........................................................61

【考點15垂直平分線的判定與性質(zhì)】...........................................................65

【考點16等腰三角形中的新定義問題】.........................................................74

【考點1軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】

[例I](2022?貴州省遵義市第一初級中學(xué)八年級階段練習(xí))已知點R(2α-b,2)和Pz(-7,4α+2b)關(guān)于X軸

對稱，則成=_.

【答案】-8

【分析】根據(jù)題意，列關(guān)于。、6的二元一次方程組，求解并計算即可;

【詳解】13點R(2α-b,2^*(-7,4α+2b)關(guān)于X軸對稱,

?2a—b=-7

n2+(4a+26)=0

解得｛.；了，

.?.ab=(-2)3=-8.

故答案為：-8

【點睛】本題考查了關(guān)于X軸對稱的點的坐標(biāo)，解二元一次方程組，掌握相關(guān)知識并熟練使用，同時注意解

題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵.

【變式1-1](2022?內(nèi)蒙古?霍林郭勒市第五中學(xué)七年級期中)將點A先向下平移3個單位，再向右平移2

個單位后得B(-2,5),則A點關(guān)于＞軸的對稱點坐標(biāo)為.

【答案】(4,8)

【分析】設(shè)A(x,y),根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加列方程求解，再根據(jù)"關(guān)于y軸對稱的

點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.

【詳解】解：設(shè)4(x,y),

Sl點4向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B(-2,5),

Sr+2=-2,y-3=5,

解得x=-4,y=8,

團點4的坐標(biāo)為(-4,8),

SW點關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為(4,8).

故答案為：(4,8).

【點睛】本題考查了坐標(biāo)的平移規(guī)律，以及關(guān)于X軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱

點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于X軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫

坐標(biāo)互為相反數(shù).

【變式1-2](2022?全國?八年級專題練習(xí))已知點P(.2a+b,-3a)與點P(8,?+2).

(1)若點P與點"關(guān)于X軸對稱，求。的值.

⑵若點P與點p，關(guān)于y軸對稱，求〃、匕的值.

【答案】(l)α=2,b=4

(2)a=6f?=-20

【分析】(1)根據(jù)關(guān)于X軸對稱的點，橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可：

(2)根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可.

(1)

解：回點P與點P'關(guān)于X軸對稱，

B2a+b=8,3。=6+2,解得。=2,b=4.

(2)

解：田點P與點P'關(guān)于y軸對稱，

團2〃+/?=-8,-3α=〃+2

解得〃=6,fo=-20.

【點睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點坐標(biāo)特征，關(guān)于X軸對稱的點，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反

數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

【變式1-3］（2022?吉林白山?八年級期末）在坐標(biāo)平面上有一個軸對稱圖形，其中A（3,-|）和8（3,

-y）是圖形上的一對對稱點，若此圖形上另有一點C（-2,-9）,則C點對稱點的坐標(biāo)是（）

OO

A.（-2,1）B.（-2,--）C.（-9）D.（-2,-1）

22

【答案】A

【分析】先利用點A和點B的坐標(biāo)特征可判斷圖形的對稱軸為直線y=-4,然后寫出點C關(guān)于直線y=-4的對

稱點即可.

【詳解】解：（和（-?）是圖形上的一對對稱點，

32,B3,2

二點A與點B關(guān)于直線y=-4對稱，

...點。（-2,-9）關(guān)于直線y=-4的對稱點的坐標(biāo)為（-2,1）.

故選：A.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，需要注意關(guān)于直線對稱：關(guān)于直線x=m對稱，則兩點的縱坐標(biāo)相

同，橫坐標(biāo)和為2m；關(guān)于直線y=n對稱，則兩點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)和為2n.

【考點2格點中的軸對稱】

【例2】（2022?湖北?武漢市光谷實驗中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖，是一個8x10正方形格紙，4ABC中A點

坐標(biāo)為（-2,1）,8點的坐標(biāo)為（-1,2）.

⑴請在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，指出AABC和△4"C'關(guān)于哪條直線對稱？（直接寫答案）

⑵作出AABC關(guān)于無軸對稱圖形請直接寫出4、夕、C'三點坐標(biāo).

⑶在X軸上求作一點M,使A4B,M的周長最小，請直接寫出M點的坐標(biāo).

【答案】⑴見解析,?ABC與A4'B'C'關(guān)于y軸對稱

(2)見解析，A(2,1),B'(1,2),C'(3,3)

⑶見解析，M-L0)

【分析】(1)根據(jù)A,8兩點坐標(biāo)，確定平面直角坐標(biāo)系即可；

(2)利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點A[,B],G即可；

(3)作點B'關(guān)于X軸的對稱點B",連接4B“交X軸于點連接MB',點M即為所求.

(1)

解：(1)如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：AABC與夕C'關(guān)于y軸對稱；

(2)

如圖，BlCI即為所求,4(2,1),"(1,2),L(3,3);

(3)

如圖，點M即為所求.Λ/(-1,0).

此時：CAAB'M=AB1+AM+B'M=AB'+AM+B"M=AB'+AB",

此時滿足周長最短.

【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)解決

最短問題，屬于中考?？碱}型.

【變式2-1](2022?山東濟南?八年級期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,1),8(-3,4),C(-

1,3),過點(1,0)作X軸的垂線/.

⑴作出0A8C關(guān)于直線/的軸對稱圖形A4ιBιG;

直接寫出】(,),B()；

(2)A1,_),C1(,

(3)在0A8C內(nèi)有一點尸(m,n),則點P關(guān)于直線/的對稱點Pl的坐標(biāo)為(,)(結(jié)果用含“，n

的式子表示).

【答案】⑴見解析

(2)4,1；5,4；3,3

(3)2—m,n

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出MBC關(guān)于宜線/的軸對稱圖形A4BIG;

(2)根據(jù)坐標(biāo)系寫出點的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)班BC與44ι8ICl關(guān)于直線/的軸對稱，則P與Pl關(guān)于X=I對稱，據(jù)此即可求解.

(1)

解：如圖，△4BIG為所作：

(2)

由圖形可知：A1(4,1),B∣(5,4),Cl(3,3)；

故答案為：4.1；5.4；3,3；

(3)

點P關(guān)于直線/的對稱點匕的坐標(biāo)為(2-m,n).

故答案為：2-m，

【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

【變式2-2](2022?全國?八年級專題練習(xí))如圖，在正方形網(wǎng)格中，點4,B,C,M,N都在格點上.

作關(guān)于直線對稱的圖形△

(1)4ABCMNA1B1Cli

(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長為1,求△4BC的面積；

⑶在直線MN上找一點P,使得PC—P4的值最大，并畫出點P的位置.

【答案】⑴詳見解析

氏

⑶詳見解析

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)分別作出、的對應(yīng)點即可?

(1)4B、CF1,G

(2)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

(3)連接為Cl交直線MN于點P,此時PC-P&的值最大.

(1)

如圖，BICI即為所求.

(2)

Δ4BC的面積為3×3-∣×l×3-i×3×2-∣×l×2=∣.

(3)

點P即為所求

【變式2-3](2022?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級期中)如圖，己知三點A(-2,3),B(3,-3),C

(-3,1),AABC與AA∕B∕C∕關(guān)于X軸對稱，其中A/,B∣,。分別是點A,B,C的對應(yīng)點.

⑴畫出AA/B/C，并寫出三個頂點A/,B∣,G的坐標(biāo);

⑵若點M(m+2,n-1)是AABC上一點，其關(guān)于X軸的對稱點為M'(-m-4,n-3),求m,n的值.

【答案】⑴圖見解析，A1(-2,-3),B1(3,3),C∣(-3,-1)

(2)m=3n=2

【分析】(1)首先確定A、B、C三點的對稱點位置，再連接即可，然后再利用坐標(biāo)系寫出4,Bl,G的

坐標(biāo)；

(2)利用關(guān)于X軸的對稱的對稱點坐標(biāo)特點可得〃?+2=-?4,"-l+"-3=0,再解方程即可.

(1)

如圖所示，AA∕8∕G即為所求,

(2)

團點M（w+2,/?-1）是AABC上一點，其關(guān)于X軸的對稱點為Af（切z4n-3）,

□∕π+2=-∕w-4?∕ι-l+n-3=0,

解得:zw=-3>n=2.

【點睛】此題主要考查了作圖-軸對稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點的對稱點位置.

【考點3設(shè)計軸對軸圖案】

[例3]（2022?江蘇?八年級課時練習(xí)）如圖所示的“鉆石"型網(wǎng)格（由邊長都為1個單位長度的等邊三角形

組成），其中已經(jīng)涂黑了3個小三角形（陰影部分表示），請你再只涂黑一個小三角形，使它與陰影部分

合起來所構(gòu)成的圖形是一個軸對稱圖形，一共有（）種涂法.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將一個圖形沿著某條直線翻折,直線兩側(cè)的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形,根據(jù)軸對稱圖形

的概念進行設(shè)計即可.

【詳解】解:如圖所示:

【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的概念,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對稱圖形的概念.

【變式3-1]（2022?河北?九年級專題練習(xí)）如圖為5x5的方格，其中有A、B、C三點，現(xiàn)有一點尸在其它

格點上，且4、B、C、P為軸對稱圖形，問共有幾個這樣的點尸（）

【答案】B

【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的點即可.

【詳解】解：如圖所示：A、B、C、P為軸對稱圖形，共有4個這樣的點P.

答案：B.

PA

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案,正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-2]（2022?全國?七年級專題練習(xí)）在3x3的正方形網(wǎng)格中，有三個小方格涂上陰影，請再在余下

的6個空白的小方格中，選兩個小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個軸對稱圖形，共有（）種

不同的填涂方法.

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】D

【分析】如圖，將圖中的空白正方形標(biāo)號，然后根據(jù)軸對稱圖形的定義對其不同的組合進行判斷即可.

【詳解】解：如圖所示：

當(dāng)將①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分別組合，都可以得到軸對稱圖形，共有6種方法.

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的設(shè)計，熟知概念、明確方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼

成一個新的正方形,使拼成的圖案為軸對稱圖形，如圖2,要求：在圖3,圖4中各設(shè)計一種與示例拼法不

同的軸對稱圖形.

圖1

【答案】見解析

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，以及軸對稱的作圖方法來作圖,通過變換對稱軸來得到不同的圖案即可.

【詳解】解：依照軸對稱圖形的定義，設(shè)計出圖形，如圖所示.

圖3圖4

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，利用軸對稱定義得出是解題關(guān)鍵.

【考點4鏡面對稱】

【例4】（2022?江蘇?宜興外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認為實際

時間最接近9：00（）

【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實物應(yīng)關(guān)于過12時、6時的直

線成軸對稱.

【詳解】9點的時鐘，在鏡子里看起來應(yīng)該是3點，所以最接近9點的時間在鏡子里看起來就更接近3點，

所以應(yīng)該是圖B所示，最接近9點時間.

故選：B.

【點睛】主要考查鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡

面對稱.

【變式4-1]（2022?全國?八年級專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車車

牌的部分號碼如圖所示，則該車牌照的部分號碼為一.

ZQ￡3H

【答案】￡6395

【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解.鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且

關(guān)于鏡面對稱.

【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與"E6395"成鏡面對稱，則該車牌照的部分

號碼為E6395.

故答案為：E6395.

【點睛】本題考查了鏡面對稱的性質(zhì)，掌握鏡面對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2022?黑龍江?哈爾濱順邁學(xué)校八年級階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：

05,這時的實際時間為.

【答案】20：01

【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱.

【詳解】解：由圖分析可得題中所給的"10：05”與"20：Or成軸對稱，這時的時間應(yīng)是20：01.

故答案為：20：01.

【點睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認真觀察，注意技巧.

【變式4-3]（2022?甘肅平?jīng)?八年級期中）小明從平面鏡子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時的

時刻應(yīng)是.

0D：25：ai

【答案】16:25:08

【分析】關(guān)于鏡子的像，實際數(shù)字與原來的數(shù)字關(guān)于豎直的線對稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對稱性可得實際數(shù)字.

【詳解】解：回是從鏡子中看，

團對稱軸為豎直方向的直線，

05的對稱數(shù)字為2,2的對稱數(shù)字是5,鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，

田這時的時刻應(yīng)是16:25:08.

故答案為16:25:08.

【點睛】本題考查鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正

好相反，注意2的對稱數(shù)字為5,5的對稱數(shù)字是2.

【考點5利用軸對稱求最值】

【例5】（2022?湖南?李達中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在RtaABC中，?ACB=90o,AC=6,BC=8,AB

=10,AO是NBAC的平分線，若P,。分別是Ao何AC上的動點，則PC+P。的最小值是（）

D

A.2.4B.4C.4.8D.5

【答案】C

【分析】由題意可以把。反射到AB的。點，如此PC+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點。的

最短距離問題，最后根據(jù)"垂線段最短”的原理得解.

【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于A0的對稱點。，W∣JPQ=PO,所以0、P、C三點共線時，Co=PC+P0=PC+PQ,

此時PC+PQ有可能取得最小值，

團當(dāng)Co垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小，

S1PC+PQ的最小值即為CM的長度，

ElSA4BC=XCM=^ACXCB,

ElCM=黑=4,8,即PC+PQ的最小值為4.8,

故選C.

【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一

點到線段某點連線段最短問題是解題關(guān)鍵.

【變式5-1］（2022?河南駐馬店?七年級期末）如圖，四邊形ABCD中，/.BAD=a,NB=ND=90。，在BC、

C。上分別找一點M、N,當(dāng)AAMN周長最小時，則NMAN的度數(shù)為（）

AD

A.—aB.2cc—180°C.180o—ctD.oc-90o

2

【答案】B

【分析】根據(jù)要使AAMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于8C和

n

CO的對稱點“，A9即可得出出Λ∕+0∕ΓHil"4Γ,進而得出財MN+1MNM=2（血WM+如T）即可得出答案.

【詳解】解：作A關(guān)于BC和CO的對稱點⑷，Au,連接交3C于交CO于M則〃/唧為AAMN

的周長最小值.作D4延長線A4,

≡DAB=a,

≡tt4∕4z=180o-a,

^AA團4,,^?HAA'=180。-a,

^MA,A=^MAA?園MAD二邑4”,

^MA,A^MAA,=^AMN,團Λ?Q+EL4"=MNM,

團團AMN+團ANM=團Λ-N+團M4"+團NAO+團力”=2(團4ΓM+團力”)=2(180°-a)=360o-2a,

?乙MAN=180o-(?AMN+乙ANM)=180o-(360o-2a)=2a-180o.

故選：B.

【點睛】本題主要考查軸對稱-最段路線問題，熟練掌握平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)

和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出何，N的位置是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCO中，AD=BC=3,AB=CD=4,AC=5,

動點M在線段AC上運動（不與端點重合），點M關(guān)于邊4。，CC的對稱點分別為M/,M2,連接M/M2,點

D在也必上，則在點M的運動過程中，線段M/M2長度的最小值是.

【答案】γ

【分析】過。作。M1EAC于M1,連接DM,根據(jù)已知，由面積法先求出ZMf=￡,由M關(guān)于邊AZλDC的

對稱點分別為例2,∏TWDMi=DM=DM2,M1M2=IDM,故線段M/M2長度最小即是OM長度最小，此時

DMBAC,M與"重合，即可得也”2最小值為2E）"=g.

【詳解】解：過。作DMla4C于財，連接。仞，如圖：

長方形ABCC中，AD=BC=3,AB=CD=4,AC=5,

^AADC^AD.CD=lAC?DM',

ADCD

回。=——3×4=一12,

M=---A-C--55

團M關(guān)于邊AO,QC的對稱點分別為M/,M2,

⑦DMl=DM=DM2,

0M∕M2=2DM,

線段2長度最小即是。M長度最小，此時QM0AC,即M與Af重合，最小值為2QΛfg

故答案為：g.

【點睛】本題考查對稱變換，涉及三角形面積、點到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是將求長度的最

小值轉(zhuǎn)化為求OM長度的最小值.

【變式5-3］（2022?福建龍巖?八年級期中）如圖，在即"BC中，0A=9Oo,AB=8,AC=6,BC=10,M、

N、尸分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN,則PM+PN+MN的最小值是.

【分析】如圖，作點P關(guān)于A8,AC的對稱點E,F,連接PE,PF,PA,EM,FN,AE,AF.首先證明E,

A,F共線，則PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF,推出EF的值最小時，PW+MN+PN的值最小，求出《4的最

小值，可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作點P關(guān)于AB,AC的對稱點E,F,連接PE,PF,PA,EM,FN,AE,AF.

00β4B+0∕?C=0BAC=9Oo,

00EAF=18Oo,

0E,A,尸共線，

SlME=MP,NF=NP,

田PM+MN+PN=EM+MN+NF,

0EM+MN+NF≥EF,

EIEF的值最小時，尸M+MN+PN的值最小,

ZEF=2PA,

團當(dāng)∕?I3BC時，∕?的值最小，此時∕?=黑=§,

48

⑦PM+MN+PN共,

0PM+MN+PN的最小值為￡.

故答案為：γ.

【點睛】本題考查了軸對稱最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)添加輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩

點之間線段最短.

【考點6尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】

【例6】（2022?廣東?豐順縣潘田中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，已知每個小方格的邊長為1,A,B兩點都在

小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C,使△4BC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（）

-------r------—-------

I

I

I

I

I

I

H二

,...,-J____,___.

—十—-.一一一

I

I

一■■J____.__..

I

I

I

I

i—

B

A.8個B.7個C.6個D.5個

【答案】A

【分析】當(dāng)4B為底時，作AB的垂直平分線，當(dāng)ZB為腰時，分別以4、B點為頂點，以為半徑作弧，分別

找到格點即可求解.

【詳解】解：當(dāng)AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有5個，

當(dāng)力B為腰時，分別以4、B點為頂點，以4B為半徑作弧，可找出格點C的個數(shù)有3個；

???這樣的頂點C有8個.

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1]（2022?安徽?合肥市第四十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）RtAABC中，0ACβ=9Oo,04=60。，在直

線BC上取一點P使得A%8是等腰三角形，則符合條件的點P有一個.

【答案】4

【分析】分別以48為圓心，以A8為半徑作圓，再作A8的垂直平分線，即可得出答案.

【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個交點；

同理以8為圓心，以AB為半徑作圓，與直線Be有兩個交點；

作AB的垂直平分線與BC有一個交點，

即有1+2+1=4個，

故答案為4.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動手操

作能力.

【變式6-2]（2022?安徽?利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級期末）如圖，△?!BC的點4、C在直線/上，乙B=

120o,?ACB=40°,若點P在直線Lh運動，當(dāng)△4BP成為等腰三角形時，則NABP度數(shù)是.

【答案】10°或80。或20?；?40°

【分析】分三種情形：AB=AP,PA=PB,BA=BP分別求解即可解決問題.

【詳解】解：如圖，

B

acp

P1P2Pi4

在ZMBC中，???ABAC=180o-?ABC-4ACB=180°-120°-40°=20°,

o

①當(dāng)4B=4P時，?ABP1=/.APrB=10,/.ABP3=/.AP3B=1(180°-20°)=80°,

②當(dāng)PA=PB時?，?ABP2=/.AP2B=20°,

③當(dāng)EA=BP時，ΛABP4=180°-20°-20°=140°,

綜上所述，滿足條件的NABP的值為10。或80?；?0?；?40。.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于常考題型?

【變式6-3］（2022?天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是

A（3,0）,B（0,4）,若點P在坐標(biāo)軸上，且SRAB是等腰三角形，則滿足條件的點尸有個.

【答案】8

【分析】分三種情況①以B為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點，②以A為圓心，以AB為半徑作圓

與兩軸的交點，，③以AB為底，AB的垂直平分線與兩軸的交點即可

【詳解】解：如圖所示：

①以B為圓心，以A8為半徑作圓，交y軸有2點，交X軸有1點（點4除外），此時共3個點；

②以4為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有1點（點B除外），交X軸有2點，此時共3個點，

③以A8為底的三角形有2個，點尸在AB的垂直平分線上，分別交X軸、y軸各1個點，此時共2個點：

3+3+2=8,

因此，滿足條件的點?有8個，

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的判定，分三種情況討論

圓與坐標(biāo)軸的交點以及線段垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點是解決問題的關(guān)鍵.

【考點7利用三線合一求值】

【例7】（2022?河北保定?八年級期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45。的三角尺，即等腰直角AMNK,

等腰直角AACB做了一個探究活動：將AMNK的直角頂點M放在AABC的斜邊48的中點處，設(shè)AC=BC=

心猜想此時重疊部分四邊形CEMF的面積為（）

1?C1?1?-,1?

Aa.-crB.-crC.-crrDs.-er

2345

【答案】C

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得MC=M8,SACM=0β,0CMF=0BΛ7E,從而證明

根據(jù)四邊形CEMF的面積=SACMF+SACEM=SABCM求出答案.

【詳解】解：連接MC,

EIAACB是等腰直角三角形，例是AB的中點，

ElMallAB,ElACM=0BCM=0B=45°,

^?MC=MB,EIBMC=90°,

03EM尸=90°=回BMC,

EEEWF-EIaWE=E)BMC?0CME,即EICMF=EIBME,

在ISCMF和EIBME中，

NFCM=乙EBM=45°

MC=MB,

Z.CMF=4BME

IaaCMRaSBME(ASA),

回SACMF=SABME'

El四邊形CEAZ尸的面積=SACMF+SACEM=SABME+SACEM=SABCM=^^ABC=Za之，

故選：C.

【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明ISCMfWlBME.

【變式7-1］（2022?廣東?深圳市布心中學(xué)七年級期末）如圖，0ACB和團。CE均為等腰直角三角形，且

0ACB=IM＞CE=9O。，點A、￡＞、E中同一條直線上，CM平分配＞CE,連接BE,以下結(jié)論：①AO=OC;②CMaAE；

③AE-8E=2CM;④回8CM=EIC8E,正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】由"SAS"可證SACDaSBCE,可得AD=BE,^ADC=^BEC,可判斷①，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

ElCQE=EIeEo=45。，C例0AE,可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)可求0AEB=EICME=9（r,可得CM∣∣8E,可證

團BCM=回CBE,可判斷④，由線段和差關(guān)系可判斷③，即可求解.

【詳解】解：幽4CB和回。CE均為等腰直角三角形，

^CA=CB,CD=CE,0ACB=0DCE=9Oo,

00ACD=0BCE,

AC=BC

在0ΛCO和團8CE中，｛?ACD=乙BCE,

CD=CE

EEL4CDEBBCE（SAS）,

^AD=BE,QADC=SBEC,故①錯誤，

釀。CE為等腰直角三角形，CW平分EIDCE,

WCDE=^CED=45°,CMSAE,故②正確，

團點A,D,E在同一直線上，

00ADC=135o.

EEBEC=I35°.

00AEB=0βEC-0CED=9Oo,

0a4EB=0CΛ7E=9Oo,

M??BE,

EBBCM=EICBE,故④正確，

SJCD=CE,CMSDE,

^DM=ME.

120DCE=9Oo,

^DM=ME=CM.

SAE=AD+DE=BE+2CM.

^AE-BE=2CM,故③正確，

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明MCD!≡BCE是本題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2022?浙江?平陽蘇步青學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，Q）是等腰三角形AABC底邊上的中線,

BE平分0ABC,交CQ于點E,AC=6,OE=2,則ABCE的面積是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】作￡/皿BC于R根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=DE=2,根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【詳解】解：作E/迥BC于凡

^AC=BC=6,CO是等腰三角形AABC底邊上的中線，

0CD0ΛB,

EIBE平分0A8C,EDMB,EF31BC,

SlEF=DE=2,

WBCE的面積WXBCXEF=6,

故選：B.

【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2022?江蘇?八年級單元測試）如圖，在AABC中，AB=AC,AoaBC于點。，O￡MC于點E,

CRMB于點R若DE=4,則CF的長為

A

【答案】8

【分析】山等腰三角形的性質(zhì)得到0A8C是IMC。的面積的兩倍，然后用等面積法求得。E和CF的關(guān)系，進

而得到CF的長.

【詳解】的4BC中，AB=AC,AD3?BC,

0Λ。是4A8C的中線，

S5Δ4BC=2S^ACD=2×^×DE?AC=DE?AC,

.AABC=?AB?CF,

^AB?CF=DE?AC,

[HAC=AB,

^CF=DE,

0D￡=4,

ElCF=8；

故答案為：8

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等面積法求高.

【考點8利用三線合一證明】

【例8】（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）已知：如圖0ABC中，AB=AC,AO和BE是高，它們

交于點H,?AE=BE.求證：

(l)^AHEΞβBCE;

(2)AH=2BD.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)由0A5C是等腰三角形，AQ和BE是高，可知團E3CH2C=團。。+團090°,通過ASA即可證明

^AEH^BEC,

(2)由(I)可知財HEEnI3CE,K∣JAH=BC,IM3C是等腰三角形，AQ是底邊上的高，可知3C=2BD,即可

進行證明.

(1)

證明：EiAD是∣?,BE是r?

團區(qū)EBC+團C=團CA。+團090°

團團EBC二團CAZ)

又BAE=BE,酎EH=?BEC

團團AEM3團BEC(ASA);

(2)

^MEHW?BEC

MH=BC

ElAB=ACAQ是高

^BC=2BD

^AH=2BD.

【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、及三角形全等的判定方法.解決本題的關(guān)鍵是證明財E施厲EC

【變式8-1](2022?全國,八年級專題練習(xí))如圖，M3C中，4。是團BAC的平分線，D￡HAB,L>fHAC,E、

尸為垂足，連接M交AQ于G,試判斷AQ與EF垂直嗎？并說明理由.

【答案】理山見解析

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=。凡然后再證RraAEDl3R∕βL4FΛ）可得AE=A尸，即EWEF是等腰三

角形，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可.

【詳解】解：AIXiEF,理由如下：

SA。是ISBAC的平分線，DESiAB,DF^AC,

0DE=DF,

在RβlAED和Rβ?AFD中，

甲。=4。，

IDE=DF

ElRzaAEDElRzaAFZ）（HL）,

^AE=AF,即EWEF是等腰三角形

&AD平分ISEA凡

0AD0EF（等腰三角形三線合一）.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識

點，說明EIAEF是等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2022?北京.垂楊柳中學(xué)八年級期中）如圖，在EABC中，AB=AC,其中A。，BE都是M8C的

∏?.求證：SBAD=BCAD=UiEBC.

【答案】證明見解析.

【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出自BAC=回Cw,再由三角形的高的定義得出13BEC=IaADC

=90",根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到I3￡8C+G1C=9O。，田CAD+0C=9（Γ,根據(jù)同角的余角相等得出MBC=

SiCAD,等量代換得至膽184O=I3CAD=E1E8C.

【詳解】證明：SAB=AC,AlXiBC,

00BAD=0CAD.

SBESCE,ADSBC,

EBBEC=0AZ）C=90°,

EBEBC+0C=90°,0CΛD+EC=9Oo,

WEBC=ISCAD,

SEBAD=^CAD=SiEBC.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式8-3](2022?山東青島?七年級期末)已知，在AABC中，AC=BC,?ACB=90°,CD平分心ACB交4B于

點。，點E是4B邊上的一動點(不與點4、B重合)，連接CE.

(1)如圖①，若E運動到BD上，過點4作CE的垂線交CD于點G,CE于點凡CB于點H,求證：CG=BE；

(2)如圖②，若E運動到AD上，過點A作CE的垂線與CE延長線交于點凡延長AF交CD延長線于點G,試猜想

CG、BE的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】⑴證明見解析

(2)CG=BE,證明見解析

【分析】(1)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NB=?ACG=45。,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得ZCAG=乙BCE,

然后根據(jù)三角形全等的判定證出ACAG=LBCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=Bn=4D,CD148,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得4G=NDEC,

然后根據(jù)三角形全等的判定證出A40G-ACnE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DG=DE,最后根據(jù)線段和差

即可得證.

(1)

證明：?.???BCφ,AC=BC,?ACB=90o,CD平分N4C8,

.?.ZB=?ACG=45o,?CAG+?AHC=90°,

"AH1CE,

：.乙BCE+?AHC=90°,

???Z-CAG=乙BCE,

?ACG=?B

在ACTlG和ABCE中，AC=CB,

Z-CAG=Z-BCE

CAG=△BCE(ASA)?

?CG=BE.

(2)

解：CG=BE,證明如下：

o

?.??ΛFCΦ,AC=BCfZ.ACB=90,CD平分ZJICB,

^CD=BD=ADfCDLAB,

???Z-DCE+乙DEC=90°,

-AGLCF,

???乙DCE+ZG=90°,

??.?G=?DEC>

NADG=乙CDE=90°

在△4。G和ACDE中，乙G=乙DEC，

AD=CD

ADG≤?CDF(AAS),

???DG=DE,

XvCD=BD,

?*?DG+CD=DE+BD,

即CG=BE.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，正確找出全等三角形是解題

關(guān)鍵.

【考點9利用等角對等邊證明邊長相等】

【例9】（2022?江蘇?八年級單元測試）如圖，已知AABC中，AB=6,AC=8,EL4BC和SACB的平分線相交

于點，過點。作BC的平行線，分別交AB,AC于E,F,則AAE尸的周長是____.

A

BC

【答案】14

【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的等角對等邊得出E8=ED,FD=FC,即可

得出答案.

【詳解】解：回8。平分0ABC,CZ）平分0AC8,

0EEBZ）=aε>BC,MCD=SIDCB,

SlMaBC,

ΞΞEDB=ΞDBC,⑦FDC=BDCB,

^EBD^EDB,0FCD=0FDC,

SiEB=ED,FD=FC,

EIAB=6,AC=8,

EEAEF的周長=AE+EF+A尸=AE+EO+FD+4F=AE+E8+FC+A∕7=AB+AC=14,

故答案為：14.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形等角對等邊，熟練掌握相關(guān)圖形的性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式9-1]（2022?湖南長沙?八年級期中）如圖，S4BC的平分線B尸與ElABC中EACB的相鄰?fù)饨囚麮G的

平分線CF相交于點尸，過F作。F/BC,交AB于。，交Ae于E,若BQ=9cm,OE=4cm,求CE的長為

【答案】5.

【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可證BO=FC,EF=CE,再根據(jù)線段和差可求CE的長.

【詳解】解：團8尸、C尸分別平分S48C、SiACG,

EEQBF=I3CBF,0FCE=0FCG,

SDE"8C,

00DFB=0CBF,0SFC=0FCG,

00DBF=0DFB,0FCE=0EFC,

EIBQ=FQ,EF=CE,

團8Z）=9cm,DE=4cm,，

⑦EF=DF-DE=BD-DE=9-4=5Ccm),

^?EC=Scmf

故答案為：5.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解已知條件，根

據(jù)角平分線和平行線得出等腰三角形.

【變式9-2](2022?浙江?樂清市知臨寄宿學(xué)校八年級期中)如圖，在MBC中，回BAC的平分線AO交BC于

點O,E為AC上一點，AE=AB,連接。E.

(1)求證：SABDWAED；

(2)已知0Λ8C=2I3C且B3=5,AB=9,求AC長.

【答案】⑴見解析；

(2)AC=14.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得回BAZ)=回CAZ),然后利用“邊角邊"證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AE=A8,DE=BD,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得0AEO=回8,

再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得0AEO=S1C+∣≡CDE,從而求出!3C=l3Cf>E,根

據(jù)等角對等邊可得CE=DE,然后根據(jù)AC=AE+CE計算即可得解.

(1)

證明：。是EI54C的平分線，

00BAD=0C4D,

AB=AE

在AABD和E。中，??BAD=?EAD.

,AD=AD

EBABfXZBAEO(SAS)；

(2)

解：WABDWAED,

EiAE=AB=9,DE=BD=S,^AED=^B,

00AED=0C+∣3CDE,BB=20C,

120C=0CDE,

EICE=OE=5,

EIAC=AE+CE=9+5=14.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊等知識，熟練掌握全等三

角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式9-3](2022?福建?廈門雙十中學(xué)八年級期末)如圖，AQ為ΔA3C的角平分線.

(1)如圖1,若BELAD于點、E,交4C于點/，AB=4,AC=I.則CF=；

⑵如圖2,。6，4。于點6,連接8G,若43G的面積是6,求ΔABC的面積；

(3)如圖3,若ZB=2NC,AB=m,AC=n,則Cn的長為.(用含血〃的式子表示)

【答案】⑴3；

⑵12；

⑶”(〃一加)

m

【分析】(1)依題意可證AABEmAAFE,從而AF=AE=4,可由Fe=AC-AF求得問題的解；

(2)延長CG,48交于點H,可證MGH^ΔAGC,從而AH=AC,HG=GC,又SMHG=SMCG,SAmJG=九皿-SΛΛBG,

SABCG=SAMjG+ShAGC—SAOC>由SMBG=SSBCG∣"J，血可解；

SDC

(3)在AC上取一點M使得AN=A8,從而AAB的AAND,所以BD=DN=NC=n-m,從而由消ISC="求

^ΛABDBD

得OC的長.

(1)

解：BELAD,

.?.ZAEB=ZAEF=90。，

回相)為ΔABC的角平分線，

.-.ZBAD=ZCAD,

AD=AD，

.?.ΔA8E空AAbE(ASA),

.?.AF=Aβ=4,

??.FC=AC-A/=7—4=3,

故答案為：3;

(2)

解：延長CG,