新時代NT教育2023~2024學年高三入學摸底考試

數(shù)學（新高考）

考試說明：

1.本試卷共150分.考試時間120分鐘.

2.請將各題答案填在答題卡上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合A={x∣如=2},B={-2,2},若AqB,則所有”的取值構(gòu)成的集合為（）.

A.{-l,l}B.{-l}C.{0,-l}D.{-1,0,1}

2

2.已知復數(shù)Z滿足——=l-i,則彳=().

1+z

A.IB.—iC.1—iD?l+i

3.“攵＞2”是“二——E—=1表示雙曲線”的（）.

k+1k—2

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.萊布尼茨三角是與楊輝三角數(shù)陣相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形

數(shù)組頂端的數(shù)等于底邊兩數(shù)之和.記第2行的第2個數(shù)字為q,第3行的第2個數(shù)字為的，…，第

“（"≥2）行的第2個數(shù)字為怎τ,則4+4+%+L+%）=（）.

C910

A.—1BC.—1C.—D.

901010TT

已知

5.α+b=(-2,1),a?b=g,則M-可的值為（).

A.√3B.3C.√2D.2

6.已知tana+—=-2,則CoS2。的值為().

I4J

4?4\_

A.B.C.D.

522

7.已知數(shù)列｛%｝的前〃項的積為且7；=〃(〃=1,2,3,L),則數(shù)列｛a,｝().

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

8.已知函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，且滿足/(x)=∕(2τ),當xe(0,l］時，/(x)=x2,則方程

/(x)=l0g5∣x-2|解的個數(shù)是().

A.8B.7C.6D.5

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列不等關(guān)系正確的是().

A.若α>0,b>0,則α+b^l—≥2??∕2B.若/>/,則α>b

yjab

C.若α<b,則(I)<(|)<(1)D.若L>g>O,貝IJlna>lnb

10.下面說法正確的是().

A.若一組數(shù)據(jù)x∣,x2,???,X“的平均數(shù)是無，則X；,石，…，x；的平均數(shù)是元2

B.若10個數(shù)的平均數(shù)是3,標準差是2,則這10個數(shù)的平方和是130

C.若則O(2J)=8

D.數(shù)據(jù)2,3,4,7,8,10,17,18的第50百分位數(shù)是7

11.如圖，在等腰梯形ABCf)中，ZABC=60°,AB=2AT>=2,BE=2EC,M為EC中點，將

△84E沿直線AE翻折至.則在△比!E翻折過程中，下列判斷正確的是().

A.在3Z)上存在點N,使得MN〃面B'AE

B.存在某個位置，使得BZ><LAE

C.當EC時，8'到面AZ)E的距離為、一

3

D.四棱錐AECD體積的最大值為1

12.對于函數(shù)/(x)=ln%-1,則下列判斷正確的是().

A.直線y=j■是/(x)過原點的一條切線

B./(x)關(guān)于y=x對稱的函數(shù)是y=e*τ

C.若過點(a,。)有2條直線與/(x)相切，則lna<A+l

D./(x)≤x-2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(X)=X2COS(2X-1+0),e(0,兀)是奇函數(shù)，則0的值為

14.在上、下底面均為正方形的四棱臺ABC?！狝4CA中，已知Λ1A=4B=GC=2。=2,

AB=3,44=1，則該四棱臺的體積為

21

15.已知/?>0,且--+—=1,則2。+人的最小值為

a-?b

16.在AABC中，AB=AC,BO為AC邊上的中線，BD=2√3,則該三角形面積最大值為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，公差為d,數(shù)列也｝為等比數(shù)列，公比為夕，且％=4=1,d=q,

%+%=叫.

(1)求｛%｝和也｝的通項公式；

(2)數(shù)列也｝的前W項和是S“，cn=an-Sn,求｛q,｝的前〃項和

18.(本題滿分12分)

,?,SinASin(4+8).、

在?ASC中，-------------------------------=SinA+sinC—sin(A+C).

sinA+sin(A+B)+sinB',

(1)求角8；

(2)若S&ABC=6,。是AC中點，目BD=瓜求b的值.

19.(本小題滿分12分)

已知/(x)=αe*,g(?)=ln???.

(1)當α=l時，證明：/(x)≥g(x)+l;

⑵若Vx∈(-1,+∞),/(x)≥g(x)+l恒成立，求α的取值范圍.

20.(本題滿分12分)

在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCO是矩形，Z?S40是正三角形，且平面5X0,平面ABCO,

AD=2AB,P為棱A。的中點，E為棱S3的中點.

(1)求證：PE〃平面SCr＞；

(2)若SM=2M4,求平面awB與平面夾角的余弦值.

21.(本題滿分12分)

同學甲進行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設兩個關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝

上，則順利進入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止、甲同學在每次進入闖關(guān)界面后

能夠成功通過關(guān)卡的概率均為2,且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進行.

3

(1)同學甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率；

(2)同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)為J,求J的分布列.

22.(本題滿分12分)

己知橢圓。：￡+營=1(。＞。＞0)過點4(—2,1),且離心率e=等.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點4作與＞=狀2(f＜0)相切的兩條直線，分別交橢圓C于P,。兩點，求證：直線PQ恒過定點.

新時代NT教育2023~2024學年高三入學摸底考試

數(shù)學(新高考)參考答案

I.D

【解析】當A=0時，Q=O,當A={—2}時，a=-l,當A={2}時，a=l,

.*.Q∈{-1,0,1}.

2

2.B【解析】z=-------1=i,.β.z=—i.

1-i

3.B

22

【解析】當(Z+2)("2)>0,即Z<-2或%>2時，—......L-=I表示雙曲線,

攵+2k—2

所以“%>2”是-----J=I表示雙曲線”的充分不必要條件.

k+2k-2

4.D

【解析】由題分析得見1=1I

+n〃+1

.1111110

所fic以rQI+QO+QR+Lτ+α∣n=1l-----1--------I-τLH---------=—.

'-310223101111

5.A【解析】?cι-b^-∣d+?∣-4。力=5—2=3,?二,一W=G.

6.C

,-(5πA(兀、1+tana_

【r解2tn析r】tana+一=tanα+—=----------=-2,

V4)[4√1-tana

C.21-tan2a4

，tanα=3,..cos2a=cos26Z-sma=-----?-

1+tana5

7.A

一Tn1

【解析】當〃=I時，=T1=1f當/≥2時，an=——=---=1+

%n-?n-?

：.a2>a3>α4>L>an>?,而q=1,%為最小項，出為最大項.

8.D

【解析】由已知得函數(shù)/(x)既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于尤=1對稱，所以周期T=4,

設g(x)=l0g5∣x-1，而g(-3)=g⑺=1,

由函數(shù)圖像可分析/(x)與g(X)的交點個數(shù)為5.

9.AB

【解析】若。>0,Z?>O,則。+—≥2VcιbH—1—≥2?[i,

y∣aby∣ab

5

當且僅當。=〃=X-時取等號????A正確;

2

/(x)=χ3是在R上單調(diào)遞增的函數(shù)，，若"α)>∕e),則Q>b,???B正確;

2>(g),?，?C錯誤;

若α<0,,f(x)=x"在(0,+oo)單調(diào)遞減,，.1

5/

若一>—>0,則0<。<Z?,Inα<ln∕?,?'.D錯誤.

ab

10.BC

、2

Λx++l

【解析】52=1+x2÷L+%”≠'^,'A錯誤;

n7n

11010

2

由$2=-EX；-X,=IoX(S2+元2)=130,?*?B正確;

?θ/=I/=I

由得，0(9=2,0(24)=40(3=8,；.C正確;

數(shù)據(jù)2,3,4,7,8,10,17,18的第50百分位數(shù)是7.5,.?.D錯誤.

11.ACD

【解析】取8'。的中點N,8'A的中點F,連結(jié)MN,NF,EF,

則四邊形EMAE為平行四邊形，；.MN〃痔，MNa面JBN￡,肱V〃面8'AE,，A正確;

假設存在一個位置使得BZoJ_AE,取AE中點H,連結(jié)87/,DH,

顯然BrH工AE,BfHCBfD=H,；.AE人面BHD,：.AELDH,

進而有ZM=Z)E,而由題可得。E=√5WD4,.?.不存在B'DLAE,故B錯誤;

當3'DJ_EC時，則3'。，Ar>,而。A

.?.ADJ_面B1DE,：.面笈OE_1_面ADE,

且面87)EC面ADE=DE,3'到面ADE的距離即B'到DE的距離d,

.?.在437)E中，BE=2,B'D=DE=C,

?2j6

由SAB,DE==]xJ^d，?*?d=—y--,.?.C正確；

當面面A3C。時，四棱錐夕-AECD的體積最大，此時棱錐的高為6,

正確.

VDH,-CAFdCUD=—3×1×?/?×?/?=1.AD

12.ACD

【解析】設切點（加,Inm-1）,k=f?m）=-f

1

.*.?nm-l=—m,.*.Inm=2,：?m=D?,

m

X

所以過原點的切線方程為y=W，.?.A正確；

e

與/（x）關(guān)于y=x對稱的函數(shù)為y=e,.?.B錯誤；

若過點（。力）有2條直線與/（x）相切，則點（a,。）在/（x）上方，

即方>/（。）（），即〃>lna-l,；.C正確；

由于DX∈R+,Inx≤x-1,ΛInx-I≤x-2,，D正確.

5π

13.~6

【解析】..?y=χ2為偶函數(shù)，所以g（x）=cos2x-1+e,姒0,兀）為奇函數(shù),

.ππ.,?5π

??-----?-(p----FKTt,kSZJ,??(p=—

326

【解析】易得棱臺的高/7=0,%臺=?∣(s上+JSh?S下+S下)=42.

15.11

【解析】a>?,b>0,

2^+?=2(t?-l)+/?+2=[2(β-l)+?][2]+：]+2=7+2(；D+2；≥1?,

02=(Q-1)2時取等號.

【解析】法一：如圖建立直角坐標系，

y2=4［（x-2石）+y2,

設Aay）,由IABl=2∣ADl得：x2+

即：3X2+3√-16√3X+48=0,

所以點A的軌跡為以［孚,θ）為圓心,

半徑為華的圓，SΔABC=2SΔABD,

所以當A到X軸距離最大時，即為逆

時，AABC面積最大為8.

法二：設AD=加，則A3=2m,在AABO中，

12

由余弦定理可知，12=4m2+〃，-4"∕cosA,nr=,

5-4cosA

*τ,Ae（0,π）,

而sΛABC=2S?ABD=2M'SinA=2即"=-6

5-4cosAcosA--I

sinA4

由圖可知，U最小值為直線MN的斜率-上9

coSA-53

4

V

θVNX

故AABC面積的最大值為（一6）X[-3）=8.

17.【解析】（1）671=1,?1=1,d=q,

.?.a4+a5=1+3d+1+4d=8q=85,：.d=2,q=2,（2分）

.*.an=2〃-1,hn=2〃一二（5分）

nnz,

(2)Sll=2-l,.?.?ι=fl；j.S,,=(2n-1)?(2-1)=(2n-1)?2-(2π-1),(7分)

7；,=1?2I+3?22+L+(2n-l)?2,,-[l+3+5+L+(2/2-1)],

令S,,'=l?2+3?22+L+(2n-l)?2n,

25/=l?22+3?23+L+(2n-l)?2"+',

.?.-S,/=2+2?(22+23+L+2H)-(2H-1)?2n+l=-6+(3-2n)-2"+',(9分)

.?.S；=6+(2n-3)?2n+l,7；,=6+(2n-3)?2n+l-n2.(10分)

18.【解析】(1)由----Sin-----=Sin4+sinC-sin(A+C)得

SinA+sin(A+B)+sinB`7

sinAsinC

=sinA+sinC-sinB，

sinA+sinC+sinB

由正弦定理可得：αc=(α+c—b)(α+c+b)=Q-+c~+2ac—b1,(2分)

即?+c2-h2=-ac,

：.cosB=a+c'~b^=--,8e(0,兀)，.?.B=女.(4分)

2ac23

?/?

(2)SΔABC=-acsinB=-^-ac=?/?,QC=4,

由BD=BATC?4BD2=(BΛ+BC)?(8分)

24=α2+c?+24ccosB=片+c2—4,Λtz2÷C2=28,(Io分)

b1=a2+c2—2accosB=28÷4=32,Λb—4>∕2.(12分)

19.【解析】(1)當Q=I時，設〃(X)=/(x)-g(%)-l=/—In(X+1)—1,

h,(x}=ex--—,產(chǎn)=」-只有一個解X=0,

X+1X+1

x>0時，(X)>0,—l<x<0時，Λ,(x)<0,

??"(X)在(TO)單調(diào)遞減，(0,4W)單調(diào)遞增，(2分)

A(x)≥Λ(θ),MA(O)=O,A(X)≥0,即/(x)≥g(x)+l.(4分)

(2)法一：若Vx∈(-l,+∞),/(x)≥g(x)+l恒成立，

X+[

即aex≥In-----+1naex+ln<7≥ln(x+l)+l,

即〃eA+In翁"≥x+l+ln(x+l),(6分)

構(gòu)造函數(shù)=∕+ln∕,易知在(0,+oo)遞增，

則不等式為根(αe*)≥7%(x+l),(8分)

；?αe'設0(1)=與。1>-1),“⑺=一,

exexex

則e(x)在(TO)遞增，(o,+∞)遞減，(K)分)

0(")max=。(°)=L,[≥l?(12分)

法二:Vx∈(-l,+∞),f(x)≥g(?x)+l恒成立,即aex+lntz-ln(x+l)-l≥O.

令F(x)=aex-ln(x+l)+lnβ-LFz(x)=aex----〉。)，

。/=占有唯一實數(shù)根，設為/C?>T),(6分)

即Qe聞=——,lnα+Xo=-In(M+1),則產(chǎn)(力在(一1,%)遞減，在(玉,÷∞)遞增,

?+1

φ

..F(x)m.n=F(x0)=^'°-ln(xo+l)+ln6f-l≥O,(8分)

即」-一xo-21n(%o+l)-l>0,

玉)+1

設〃(x)=_g—x-21n(x+l)-l,顯然∕ι(x)在(T,+∞)單調(diào)遞減，

而∕z(0)=0,.?.∕Z(ΛU)≥O,則一1<ΛO≤O,(10分)

lnβ=-ln(x0+l)-Λ0,?∈(-l,θ],Λ?na≥0,a≥?.(12分)

20?【解析】(1)取SC中點R連接E/，F(xiàn)D,

?.?底面四邊形ABCr）是矩形，P為棱AD的中點，

.?.PD//BC,PD=-BC..".EF∕∕PD,EF=PD,

2

故四邊形PEFT）是平行四邊形，，PE〃田.（2分）

又：FDu平面SCD,PECZ平面SCDPE〃平面SeD.（4分）

PS的方向分別為X,Z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設AD=2,則P(0,0,0),A(l,0,0),B(1,1,0),s(θ,θ,√3),(6分)

若SM=2M4,ΛM|,0,

%PB=O

設面PMB的法向量為〃I,<

niPM=0

m∏1=(√3,-√3,-2),取面&LD的法向量/2=(0,1,0)，(9分)

嚕，⑴分）

CoS如〃=

.?.面S4D和面PMB夾角的余弦值為Y30?（12分）

10

12121

21?【解析】（1）同學甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率尸=±x±x±x*=±.（4分）

23239

（2）同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)J的值為0,1,2,（6分）

12121

p(ξ=2?=-×-×-×-=-,(11分)

,,23239

所以同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)J的分布列為:

012

P115?

Ti3

（12分）

靛+廠

22?【解析】由題可得=也n

a2

a~=h2+c2

χ2V2

???所求橢圓方程為一+2-=l?（4分）

63

（2）方法一：設過點A的直線為y-l=MX+2）與y=〃?<0）相切,

y-l=MX+2)

→*tx~_kx_2k_1=O≡≡≥A=攵2+40+1)=0

γ=Zx2

k`+k)=StJζ+11

???<'2_=」~r~-=—+—=-2(占，網(wǎng)分別是直線以和QA的斜率)，(6分)

設直線尸Q為：y=rnx+n,P(X∣,χ),

y=ιnx+n

得(1+2∕7i2)f+4mnx+2n2—60,

x2+2)2=6

-Amn2n2-6

則X+X=

121+2m21+2-’

由A>0得：6加2—〃2+3>0.(8分)