第五章方差分析

ANOVAorAOV第一節(jié)方差分析的步驟和原理以“重復(fù)次數(shù)相等的單因素完全隨機試驗結(jié)果”，又稱為“單向分組，組內(nèi)重復(fù)值數(shù)目相等”的資料為例表8-15個小麥品系株高（cm）調(diào)查結(jié)果株號品系A(chǔ)BCDE164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.17069.846663.766.869.168.3565.863.968.57167.5處理總和（Tt）326.5322336.53543431682全試驗總和（T）處理平均（Xt）65.3064.4067.3070.8068.6067.28全試驗平均（X）一、線性可加模型與平方和、自由度的分解線性可加模型(P.115)：總體中每一個變量可以按其變異的原因分解成若干個線性組成部分，它是方差分析的理論依據(jù)。例8.1資料:總體的線性組成:Xij＝μ＋τi＋εij樣本的線性組成:Xij＝X＋ti＋eijXij－X＝(Xt－X)＋(Xi.－Xt)2．變異的效應(yīng)與平方和、自由度的分解總變異效應(yīng)是各觀察值Xij與總平均株高X的離差，即：Xij－X＝Xij－67.28總變異部分由兩個部分組成：處理效應(yīng)

Xt－X＝Xt－67.28它是各處理的平均株高Xt

與總平均株高X的離差誤差效應(yīng)

Xij－Xt它是各處理的各觀察值Xij與該處理平均株高Xt

的離差

因此原表的25個xij，當(dāng)皆以離均差的形式表示時，就得到以下結(jié)果總效應(yīng)：Xij－X株號品系A(chǔ)BCDE1-2.68-2.780.524.521.922-1.98-1.98-0.984.820.923-2.48-2.68-0.182.722.524-1.28-3.58-0.481.821.025-1.48-3.381.223.720.22SST＝Σ(Xij－X)2＝（-2.68）2＋（-1.98）2＋……＋0.222＝147.32dfT＝5×5－1＝24處理效應(yīng)：Xt－X株號品系A(chǔ)BCDE1-1.98-2.880.023.521.322-1.98-2.880.023.521.323-1.98-2.880.023.521.324-1.98-2.880.023.521.325-1.98-2.880.023.521.32SSt

＝Σ(Xt-X)2＝5×（-1.98）2＋5×（-2.88）2＋……＋5×1.322＝131.74dft＝5－1＝4誤差：Xij－Xt株號品系A(chǔ)BCDE1-0.70.10.51.00.620.00.9-1.01.3-0.43-0.50.2-0.2-0.81.240.7-0.7-0.5-1.7-0.350.5-0.51.20.2-1.1SSei1.481.62.986.263.2615.58SSedfei4444420dfeA-2.68-1.98-2.48-1.28-1.48B-2.78-1.98-2.68-3.58-3.38C0.52-0.98-0.18-0.481.22D4.524.822.721.823.72E1.920.922.521.020.22＝＋A-1.98-1.98-1.98-1.98-1.98B-2.88-2.88-2.88-2.88-2.88C0.020.020.020.020.02D3.523.523.523.523.52E1.321.321.321.321.32A-0.70-0.50.70.5B0.10.90.2-0.7-0.5C0.5-1-0.2-0.51.2D11.3-0.8-1.70.2E0.6-0.41.2-0.3-1.1看黑板(直觀理解，有利記憶）二、期望均方與F測驗期望均方：某因素引起的變異方差的理論組成（EMS）P.108處理的總體效應(yīng)：誤差的總體效應(yīng)：由樣本估計時：（黑板上）比較項目固定模型隨機模型混合模型τi固定的隨機的某些因素的效應(yīng)是固定的，某些是隨機的。處理所屬總體k個處理來自k個亞總體k個處理來自1個亞總體目的研究處理效應(yīng)H0:μi＝μSS/DFF多重比較研究τi的變異程度H0:στ2≤σe2

SS/DFFστ2的分解重復(fù)試驗處理不變處理變動EMS用η2表示方差用σ2表示方差運用范圍栽培試驗，品種比較數(shù)量遺傳研究固定效應(yīng)模型與假設(shè)測驗F=MSt/MseF=多一項的均方/少一項的均方表15個小麥品系株高的方差分析變異來源DFSSMSFF0.05處理間4131.7432.942.32.866處理內(nèi)2015.580.78

總變異24147.32

Ho:μ1＝μ2

＝

…＝μ5；HA:μ1、μ2

、…、μ5間兩兩不等推斷：不同品系間株高有顯著差異。需要進行平均數(shù)間的多重比較測驗來確定各平均數(shù)間的差異顯著性。隨機效應(yīng)模型與假設(shè)測驗表8.24窩動物的出生重(克)動物號窩別IIIIIIIV134.733.227.132.9233.32623.331.4326.228.627.825.7431.632.326.728Tt125.8120.1104.9118Xt31.4530.02526.22529.5表8-6某動物不同窩出生體重的方差分析差異源SSdfMSFF0.05EMS窩間58.575319.5251.973.49σe2+4στ2窩內(nèi)(誤差）118.945129.9121σe2總計177.5215

Ho:στ2≤σe2,HA:στ2

＞σe2推斷:不同窩間該動物的出生體重間沒有顯著差異。三、多重比較多重比較：平均數(shù)間的兩兩比較多重比較（一）LSD法Sx1-x2=0.5582114t0.05,20=2.086t0.01,20=2.85LSD0.05=1.164LSD0.01=1.591表25個小麥品系株高平均數(shù)的差異顯著性（字母標(biāo)記法）品系苗高(cm)差異顯著性α=0.05α=0.01D118.00aAE114.33bBC112.17cCA108.83dDB107.33eDLSDα1.1641.591表35個小麥品系株高平均數(shù)的差異顯著性（列階梯表法）品系苗高(cm)差數(shù)顯著性XAXBXCXDA108.83

B107.331.50*

C112.17-3.33**-4.83**

D118.00-9.17**-10.67**-5.83**

E114.33-5.50**-7.00**-2.17**3.67**LSD0.05=1.164,LSD0.01=1.591Duncan測驗SE＝（0.779/5)1/2=0.5582查dfe下的rα(表9，P.269)計算Rα=SE×Rα查表9，P.269,計算Rαp2345r0.05,202.953.13.183.25r0.01,204.024.224.334.4R0.05,201.1641.2241.2551.283R0.01,201.5871.6661.7091.737此題Duncan法差異顯著性檢驗結(jié)果與LSD法相同（巧合）四、推斷例8.1資料的分析結(jié)果推斷：5個品系的株高間均有顯著差異，D品系的株高最高，其余依次為E，C，A，B。方差分析步驟總結(jié)數(shù)據(jù)整理平方和和自由度的分解列方差分析表進行F測驗多重比較推斷第二節(jié)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換一、基本假定二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換(P.140-141)使方差同質(zhì)例如：

每50次捕捉獲得牧草盲蝽數(shù)（x）處理ⅠⅡⅢⅣSi

2A75416.25B61215.67C62106.92D01200.92E10120.67F51491521.58X’=(X+1)1/2處理ⅠⅡⅢⅣSi

2A2.832.452.241.410.36B2.651.411.731.410.34C2.651.731.4110.49D11.411.7310.13E1.4111.411.730.09F2.453.873.1640.51使誤差方差作獨立的，正態(tài)分布補充例題：不同處理有生活力花粉的百分數(shù)

（蓋本，例6.15P.126表6.38）處理對照ABC重復(fù)值（%）979593709177786882727566856476497856635577687164處理對照ABC比例1/20.9848860.97467940.9643650.836660.9539390.87749640.8831760.8246210.9055390.84852810.8660250.8124040.9219540.80.871780.70.8831760.74833150.7937250.741620.8774960.82462110.8426150.8處理對照ABCarcsin(p)1/2（弧度）1.3967131.34528291.3030330.9911571.2661041.07061671.0825910.9695321.1326471.01319751.0471980.9482631.1730970.92729521.0588240.7753971.0825910.84554310.9169090.8354821.0706170.96953211.0021210.927295處理對照ABCarcsin(p)1/2（角度）80.177.174.756.872.661.462.155.664.958.160.054.467.253.260.744.462.148.552.647.961.455.657.453.2表2

不同貯藏方式花粉活力的方差分析差異源SSdfMSFFcrit處理間783.6723.000261.2244.5943.098處理內(nèi)1137.19320.00056.860總計1920.86423.000

否定Ho，接受HA,

不同貯藏方式的花粉活力間有顯著差異。需要進行平均數(shù)間的多重比較．Ho:μ1=μ2=…=μ4,HA:μ1,μ2,…,μ4兩兩不等t0.05,20=2.086Sx1-x2=4.354LSD0.05=9.081表3不同貯藏方式花粉活力的差異顯著性處理ASIN(P)1/2P(%)差異顯著性對照68.0485.98aB61.2576.82aA58.9673.37aC52.0462.12bLSD0.059.081使環(huán)境效應(yīng)與處理效應(yīng)變?yōu)榭杉有匝a充例題：可加性模型與非可加性模型的比較處理可加性倍加性對倍加性取對數(shù)(lg10)121212A1020102011.3B304030601.481.78第三節(jié)完全隨機試驗結(jié)果

的分析方法一、單因數(shù)完全隨機試驗結(jié)果分析（一）重復(fù)次數(shù)相等的資料（單向分組組內(nèi)重復(fù)次數(shù)相等的資料）P.104:例８.1表８－１資料例8.2表8-2(二)重復(fù)次數(shù)不等的資料

蓋本P.113,(杜本P112)稻田類型觀察值TtXtniⅠ1213141515161710214.577Ⅱ1410111314117312.176Ⅲ9210111213121180108Ⅳ1211109810127210.297T=327X=11.68Σni=28C=3818.89變異來源DFSSMSFF0.01EMSP稻田類型間396.1309532.0445.924.720.0034誤差24129.97625.4157總變異27226.10718.3743

no=6.97619作業(yè)P117-1188.38.58.68.7二、兩因素完全隨機試驗結(jié)果的分析（一）處理組合內(nèi)沒有重復(fù)的試驗結(jié)果（兩向分組組內(nèi)沒有重復(fù)的資料）P.119例6.13單因素的區(qū)組試驗也為此種類型的資料補充例題:兩向分組組內(nèi)無重復(fù)值的資料M\HH1H2H3TMXMM11314144113.67M21212133712.33M333393.00M410910299.67M5254113.67TH404344T=127XH8.08.68.8X=8.47補充題分析方法見黑板濃度與浸種時間試驗結(jié)果的

方差分析變異來源DFSSMSFF0.05濃度間4289.0672.27116.56**3.84時間間21.730.871.404.46誤差84.940.62總變異14295.73濃度與浸種時間試驗

濃度平均數(shù)的多重比較差異顯著性處理平均數(shù)α=0.05α=0.05M113.67aAM212.33aAM49.67bBM53.67cCM33.00cCLSD1.4832.15兩因素完全隨機沒有重復(fù)的試驗特點、應(yīng)用前提和要求特點:處理組合內(nèi)沒有重復(fù)前提:已知A、B互作不存在要求:重復(fù)次數(shù)必須滿足dfe≥12（8OK）兩因素完全隨機試驗結(jié)果分析

(二)處理內(nèi)重復(fù)次數(shù)相等的資料(兩向分組組內(nèi)重復(fù)值數(shù)目相等的資料）P.120，122例6.14Ⅰ固定模型資料的方差分析例6.14，P.122，表6.31表6.31資料的分析

步驟1.整理處理單向分組表，分解平方和與自由度處理重復(fù)值處理總和TAB(3)A1B121.421.220.162.7A1B219.618.816.454.8A1B317.616.617.551.7A2B112.014.212.138.3A2B213.013.712.038.7A2B313.314.013.941.2A3B112.813.813.740.3A3B214.213.613.341.1A3B312.014.614.040.6T=409.4(27)SSe=SST-SSt=219.28-202.58=16.70Df

T=abn-1=26Df

t=k-1=ab-1=8Dfe=k(n-1)=182.列A、B兩向表，分解平方和、自由度表6.31資料的AB兩向表A\B(TAB(n))B1B2B3TA(bn)A162.754.851.7169.2A238.338.741.2118.2A340.341.140.6122.0TB(an)141.3134.6133.5T(abn)=409.43.列方差分析表進行F測驗4.推斷:表6.1資料推斷P.124中間肥料A1對小麥的增產(chǎn)效果最顯著，不同土類對產(chǎn)量的影響不顯著，但土類與肥類兩因素間互作效應(yīng)顯著，表現(xiàn)在A1肥料施于B1土壤上對小麥的增產(chǎn)效果更好。注意1、有重復(fù)與無重復(fù)試驗的比較2、交互作用的判斷ⅣA、B兩因素試驗不同模型

期望均方比較

P.121，表6.28EMS變異來源MSA、B固定A、B隨機A隨機、B固定AMSAσ2

ε＋bnΚ2

ασ2

ε＋nσ2αβ＋bnΚ2

ασ2ε＋bnΚ2

αBMSBσ2

ε＋anΚ2βσ2

ε＋nσ2αβ＋anΚ2

βσ2

ε＋nσ2αβ＋anΚ2

βA×BMSABσ2

ε＋nΚ2αβσ2

ε＋nσ2αβσ2

ε＋nσ2αβ誤差MSeσ2

εσ2

εσ2

ε三三因素完全隨機試驗結(jié)果的方差分析例13.2P.253例13.2P.253列處理單向表（表13.9），求SST,SSt,SSe和相應(yīng)的DF列AB、AC和BC兩向表求SSA，SSB，SSAB，SSC，SSAC，SSBC，SSABC和相應(yīng)自由度。AB兩向表（表13.10）A\BTAB(nc)B1B2TA(nbc)A1182.4300.4482.8A2170.9265.3436.2A3155.5338.2493.7TB(nac)508.8903.9T=1412.7SSA.B兩向總=ΣT2AB/nc–C=(182.42+300.42+338.22)/10-33262.02=2904.011SSAB=SSA.B-SSA-SSB祥見：253，254第四節(jié)隨機完全區(qū)組試驗結(jié)果的分析一單因素完全隨機區(qū)組試驗結(jié)果分析

(兩向分組組內(nèi)無重復(fù)觀察值的結(jié)果分析P.119，表6.13等）1完整試驗數(shù)據(jù)的分析例12.3P.228A.平方和自由度的分解區(qū)組品種ⅠⅡⅢTtXtA10.99.112.232.210.7B10.812.314.037.112.4C11.112.510.534.111.4D9.110.710.129.910E11.813.916.842.514.2F10.110.611.832.510.8G10.011.514.135.611.9H9.310.414.434.111.4Tr83.191.0103.9T=278.0X=11.6B.表12.4表12.3結(jié)果的

方差分析變異來源DFSSMSFF0.05區(qū)組227.5613.788.4*3.74品種734.084.872.97*2.77誤差1422.971.64總變異2384.61推斷:區(qū)組間差異顯著,說明區(qū)組劃分正確,控制誤差效果顯著。品種間差異顯著。C.多重比較平均數(shù)間的比較

Sx1-x2=(2MSe/r)1/2總和數(shù)間的多重比較

ST1-T2=rSx1-x22有缺失數(shù)據(jù)的結(jié)果分析缺值估計總體線性模型:

xij=μ+τi+βj+εijεij=xij-μ-τi-βj樣本線性模型:eij=(xij-x)-(xt-x)-(xr-x)=xij-xt-xr+x令缺值x所帶有的誤差為零

e’ij=xij-x’t-x’r+x’=0自學(xué)P.233～P.235二兩因素試驗結(jié)果的方差分析P.249例13.7圖13.1三三因素試驗結(jié)果的分析

P.257自學(xué)P.261表13.23及其下方的F測驗中多一項均方比上少一項均方的方法第四節(jié)拉丁方試驗結(jié)果的

方差分析一、單因素試驗結(jié)果的方差分析P.236例12.6縱行區(qū)組橫行區(qū)組12345TrⅠD(37)A(38)C(38)B(44)E(38)195ⅡB(48)E(40)D(36)C(32)A(35)191ⅢC(27)B(32)A(32)E(30)D(26)147ⅣE(28)D(37)B(43)A(38)C(41)187ⅤA(34)C(30)E(27)D(30)B(41)162Tc174177176174181T=882表12.6資料的處理單向表品種XTtXtA383532383417735.4B444832434120841.6C383227413016833.6D373626373016633.2E384030282716333.6表12.17表12.15資料的方差分析變異來源DFSSMSFF0.05橫行區(qū)組4348.6487.16縱行區(qū)組46.641.