中考數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》專題訓(xùn)練（附答案解析）

一、單選題

1.（2023?青海西寧）如圖，?ABCΦ,BC=6,2C邊上的高為3,點。，E,P分別在邊2C,AB,ACl.,

且EF//BC.設(shè)點E到BC的距離為X,△力EF的面積為y,則y關(guān)于X的函數(shù)圖象大致是（)

【解析】過點A向BC作A”L8C于點”，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出E尸，進而求出函數(shù)關(guān)系式,

由此即可求出答案.

【詳解】

解：過點A向BC作AHlBC于點H

3-x

~Γ

即E三F=:3-x

63

解得:EF=2(3-x)

139

則ADEF的面積y=-x2(3-x)X=-X2+3Λ=-(X--)2+-

-224

故y關(guān)于X的函數(shù)圖象是一個開口向下、頂點坐標(biāo)為（；3，39）的拋物線.

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與X的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東廣州）如圖，拋物線>=62+"+以。二0）的對稱軸為工=-2,下列結(jié)論正確的是（）

A.a<OB.c>O

C.當(dāng)x<-2時，y隨X的增大而減小D.當(dāng)x>-2時，y隨X的增大而減小

【答案】C

【解析】由圖像可知，拋物線開口向上，因此4>0.由圖像與），軸的交點在y軸負(fù)半軸上得c<0.根據(jù)圖

像可知，在對稱軸左側(cè)y隨X的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨X的增大而增大.

【詳解】

拋物線開口向上，因此α>0,故A選項不符合題意.

拋物線與），軸的交點在y軸的負(fù)半軸上，因此c<0,故B選項不符合題意.

拋物線開口向上，因此在對稱軸左側(cè)，y隨X的增大而減小，故C選項符合題意.

拋物線開口向上，因此在對稱軸右側(cè)y隨X的增大而增大，故D選項不符合題意.

故選C

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?黑龍江綏化）已知二次函數(shù)y=αχ2+6x+c的部分函數(shù)圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+/-40c

與反比例函數(shù)丫=電上也上在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

X

【答案】B

2

【解析】根據(jù)y=αγ2+fcv+c的函數(shù)圖象可知，a>0,h-4ac>0,即可確定一次函數(shù)圖象，根據(jù)x=2時，

y=4a+2b+c>0,即可判斷反比例函數(shù)圖象，即可求解.

【詳解】

解：Y二次函數(shù)y=αχ2+?x+c的圖象開口向上，貝∣jq>o,與X軸存在2個交點，則從-4.c>0

二一次函數(shù)y=ax+〃-4ac圖象經(jīng)過-、二、三象限

二次函數(shù)y=4χ2+?r+c的圖象，當(dāng)χ=2時，y=4a+2b+c>0

???反比例函數(shù)y=4"+2"+°圖象經(jīng)過一、三象限

X

結(jié)合選項，一次函數(shù)y=Οr+從-4αc與反比例函數(shù)y=絲上型?在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是B

X

選項

故選3

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

4.（2023?湖北武漢）二次函數(shù)y=（x+,"f+”的圖象如圖所示，則一次函數(shù)V=如+〃的圖象經(jīng)過（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

【答案】D

【解析】根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出，“V0,”<0,即可得出?次函數(shù)y=s+〃的圖象經(jīng)過二、三、

四象限.

【詳解】

解：：拋物線的頂點（-，“，”）在第四象限

Λ-m>0,n<0

.*.∕n<0

一次函數(shù)產(chǎn)"忒+"的圖象經(jīng)過二、三、四象限

故選：D.

【點睛】

此題考查了二次函數(shù)的圖象，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根

據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出小〃，的符號.

5.（2022?遼寧阜新）如圖，二次函數(shù)y=α（x+2y+k的圖象與X軸交于A,8兩點，則下列說法正

確的是（）

B.點A的坐標(biāo)為（Y,0）

C.當(dāng)x<0時，y隨X的增大而減小D.圖象的對稱軸為直線x=-2

【答案】D

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可依次判斷.

【詳解】

由圖可得開口向上，故4>0,A錯誤

：解析式為y="(x+2)2+&,故對稱軸為直線4-2,D正確

，；B(-1,0)

,A點坐標(biāo)為(-3,0),故B錯誤

由圖可知當(dāng)x<-2時，y隨X的增大而減小，故C錯誤

故選D.

【點睛】

此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)頂點式的特點.

6.(2022?湖北襄陽)一次函數(shù)y="x+力的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=o√+云的圖象可能是()

【答案】D

【解析】根據(jù)一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限以及與坐標(biāo)軸的交點可知：a<0,bX),由此可知二次函數(shù)開門方

向，坐標(biāo)軸情況，依此判斷即可.

【詳解】

解：觀察一次函數(shù)圖像可知α<0,bX)

二次函數(shù)y=ar?+W開口向下

對稱軸X=-3>0

2a

故選：D.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)的圖像以及二次函數(shù)的圖像，根據(jù)一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限以及與坐標(biāo)軸的交點情

況判斷，，的正負(fù)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)了=以2與一次函數(shù)y=bχ+c的圖象如圖所示，則二

次函數(shù)y=θχ2+?r+c的圖象可能是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)二次函數(shù)y=0√與一次函數(shù)y=bx+c的圖象可知。>0,?>0,c<0,從而判斷出二次函數(shù)

y=ax1+?r+c的圖象.

【詳解】

解：：二次函數(shù)y="∕的圖象開口向上

Λα>O

次函數(shù)y=加+c的圖象經(jīng)過一、三、四象限

?>O,c<O

對于二次函數(shù)y=or?+bx+c的圖象

Va>O,開口向上，排除A、B選項

α>0.b>0

對稱軸X-.......<0

2a

二D選項符合題意

故選：D.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出

4>0,b>0,CeO是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾）已知二次函數(shù)y=αχ2+fev+c（a≠0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y=q與一

X

【解析】苜先根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c>0,根據(jù)拋物線開口向下可得α<0,由對稱軸在y軸

右邊可得〃、b異號，故b>0,再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系畫出圖象可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c>0,根據(jù)拋物線開口向下可得“<0,由對稱軸在）,軸右邊可得

。、b異號，故?>0

則反比例函數(shù)y=g的圖象在第二、四象限

X

一次函數(shù)y=-u+人經(jīng)過第一、二、四象限

故選：c.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖象確定出氏

的符號.

9.（2021?甘肅天水）若函數(shù)y=d+bx+c（α≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y="+/，和y=￡在同一平面直

X

角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

φ

?十?b.寸K

?

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像即可判斷出“、3C與。的大小關(guān)系,然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖

像特點確定答案.

【詳解】

解：：拋物線開口向上

.,.a>0

.??拋物線對稱軸x=V>°

Λ?<0

V拋物線與y軸交點在），軸正半軸上

Λc>O

...當(dāng)。>0,匕<0時，一次函數(shù)y=6+6的圖像過第一、三、四象限

當(dāng)C?>O時，反比例函數(shù)》=￡的圖像過第一、三象限.

X

故選B.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)、二次

函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì).

10.（2021?湖北襄陽）二次函數(shù)y=加+?x+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①“c<0②3α+c=0③

4ac-b2<0④當(dāng)χ>T時，y隨X的增大而減小，其中正確的有（）

【答案】B

【解析】根據(jù)拋物線的開口向上，得到”>0,由于拋物線與），軸交于負(fù)半軸，得到CV0,于是得到“cV0,

故①正確根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=-3=1,于是得到2α+%=0,當(dāng)戶-1時，得到3α+c=0故②正

確把x=2代入函數(shù)解析式得到4"+2∕>+c<0,故③錯誤拋物線與X軸有兩個交點，也就是它所對應(yīng)的

方程有兩個不相等的實數(shù)根，即可得出③正確根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)x>l時，y隨著X的增大而增大，故

④錯誤.

【詳解】

解：①：拋物線開口向上與y軸交于負(fù)半軸

.?.6f>0,C<0

.?.”c<0

故①正確

②：拋物線的對稱軸是戶1

Λ-A=I

2a

.*.b=-2a

?：當(dāng)X=-I時，y=0

.*.O=a-b+c

.,?3t∕+c,=0

故②正確

③?.?拋物線與X軸有兩個交點，即一元二次方程O=Or2+fev+c有兩個不相等的實數(shù)解

.*.h2—4ac>0

「?4ac-b2<0

故③正確

④當(dāng)-l<x<l時，y隨X的增大而減小，當(dāng)x>l時y隨X的增大而增大.

故④錯誤

所以正確的答案有①、②、③共3個

故選：B

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與X軸的交點，正確識別圖象，并

逐一分析各結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

11.（2021?安徽）如圖:45C和一E）M都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊BCEF在同一條直線/上，

點C,E重合，現(xiàn)將AABC沿著直線/向右移動，直至點8與尸重合時停止移動.在此過程中，設(shè)點移動的

距離為X,兩個三角形重疊部分的面積為y,則y隨X變化的函數(shù)圖像大致為（）

【答案】A

【解析】根據(jù)圖象可得出重疊部分三角形的邊長為X,根據(jù)特殊角三角函數(shù)可得高為#X,由此得出面積y是

X的二次函數(shù),直到重合面積固定,再往右移動重疊部分的邊長變?yōu)椋?—1）,同時可得

【詳解】

C點移動到F點,重疊部分三角形的邊長為X,由于是等邊三角形,則高為且X,面積為y=x?@X?；=立V

2224

B點移動到F點,重疊部分三角形的邊長為（4一X）,高為@（4-x）,面積為

J=(4-%)?-y-(4-x)-7=-^-(4-X)2

兩個三角形重合時面枳正好為E.

由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可判斷答案為A

故選A.

【點睛】

本題考查三角形運動面積和二次函數(shù)圖像性質(zhì),關(guān)鍵在于通過三角形面枳公式結(jié)合二次函數(shù)圖形得出結(jié)論.

12.(2023?廣西玉林)小嘉說：將二次函數(shù)y=V的圖象平移或翻折后經(jīng)過點(2,0)有4種方法：

①向右平移2個單位長度②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度

③向下平移4個單位長度④沿X軸翻折，再向上平移4個單位長度

你認(rèn)為小嘉說的方法中正確的個數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移可依此進行求解問題.

【詳解】

解：①將二次函數(shù)y=Y向右平移2個單位長度得到：y=(χ-2)2,把點(2,0)代入得：>，=(2-2『=0,所以

該平移方式符合題意

②將二次函數(shù)y=f向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到：γ=(x-l)2-l,把點(2,0)代入

得：y=(2-I)2-1=0,所以該平移方式符合題意

2

③將二次函數(shù))，=一向下平移4個單位長度得到：y=f-4,把點(2,0)代入得：J=2-4=0,所以該平移

方式符合題意

④將二次函數(shù)y=f沿X軸翻折,再向上平移4個單位長度得到：y=-x2+4,把點(2,0)代入得：J=-22+4=0,

所以該平移方式符合題意

綜上所述：正確的個數(shù)為4個

故選D.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關(guān)鍵.

13.(2023?甘肅蘭州)已知二次函數(shù)y=2f-4x+5,當(dāng)函數(shù)值)，隨X值的增大而增大時，x的取值范圍是

()

A.x<?B.x>lC.x<2D.x>2

【答案】B

【解析】先將函數(shù)表達式寫成頂點式，根據(jù)開口方向和對稱軸即可判斷.

【詳解】

解：Vy=2x2-4x+5=2(x-l)2+3

開口向上，對稱軸為戶1

.?.x>I時，函數(shù)值)，隨X的增大而增大.

故選:B.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，比較簡單，需要熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).

14.(2023?內(nèi)蒙古通遼)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=(x-iy+l的圖象向左平移1個單位長度,

再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為()

A.y=(x-2)2-lB.y=(x-2)2+3

C.?=X2+1D.y=X1

【答案】D

【解析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】

解：將二次函數(shù)y=(x-爐+1的圖象向左平移I個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析

式為y=(χ-l+lj+l-2=χ2-l

故選D.

【點睛】

本題考查了拋物線的平移規(guī)律.關(guān)鍵是確定平移前后拋物線的頂點坐標(biāo)，尋找平移規(guī)律.

15.(2023?貴州銅仁)如圖，等邊ABC,等邊。肝的邊長分別為3和2.開始時點4與點。重合，DE

在AB上，。尸在AC上，J)EF沿AB向右平移，當(dāng)點。到達點2時停止.在此過程中，設(shè)：A3C、_DEF

重合部分的面積為y,I)EF移動的距離為X,則y與X的函數(shù)圖象大致為()

W)EB

【答案】C

【解析】當(dāng)一r>EF在aABC內(nèi)移動時，ABC.一DEF用合部分的面枳不變，當(dāng)MEF移出ABC時，計算

出SDBN，得至IJy=Y空χ+啜，從而得到答案.

424

【詳解】

如下圖所示，當(dāng)E和B重合時，AD=AB-DB=3-2=?

當(dāng),f>EF移動的距離為O≤x≤l時，JEP在,ABC內(nèi)，V=S叱

當(dāng)E在8的右邊時，如下圖所示，設(shè)移動過程中。產(chǎn)與CB交于點N,過點N坐NM垂直于AE,垂足為M

根據(jù)題意得AD=X,AB=3

.".DB=AB-AD^3-x

VZZVDB=60°.NNBO=60°

.:梳DB是等邊三角形

：.DN=DB=NB=3-X

'：NMlDB

：.DM=Λ√B=∣(3-x)

:NM2+DM2=DN-

NM=y-（3-x）

.?.SDBN=；DBXNM=：（3一力亭（3一X）=乎（3一Xp

.?.當(dāng)l≤x≤3時，y是一個關(guān)于X的二次函數(shù)，且開口向上

：當(dāng)0≤x≤l時，V=—×22=√3,當(dāng)x=3時，y=0

-4

故選：C.

【點睛】

本題考查圖形移動、等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?遼寧錦州）如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點E,點F分別為邊AD,CO中點，

點。為正方形的中心，連接0旦0尸，點尸從點E出發(fā)沿E-O-尸運動，同時點。從點B出發(fā)沿BC運動，

兩點運動速度均為ICm∕s,當(dāng)點P運動到點尸時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為rs,連接8P,PQ,NBPQ

的面積為SCm2,下列圖像能正確反映出S與f的函數(shù)關(guān)系的是（）

BC

【答案】D

【解析】分0≤∕≤l和1<￡2兩種情形,確定解析式,判斷即可.

【詳解】

當(dāng)OWvl時，；正方形48CD的邊長為2,點。為正方形的中心

.?.直線Eo垂直8C

???點P到直線BC的距離為2√,BQ=t

?1,

?'*5=—（2-ty?t——1~+f

22

當(dāng)1V∕≤2時，Y正方形ABC力的邊長為2,點尸分別為邊A。，CO中點，點。為正方形的中心

；?直線OF//BC

；?點P到直線BC的距離為1,BQ=t

S=-t

2

故選D.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)解析式，正確確定面積，從而確定解析式是解題

的關(guān)鍵.

17.（2023?山東煙臺）二次函數(shù)y=αχ2+fcc+c（存0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線X=-g,且

與X軸的一個交點坐標(biāo)為（-2,0）.下列結(jié)論：①αbc>0②a=b③2α+c=0④關(guān)于X的一元二次方程

“χ2+?x+c-1=0有兩個相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的序號是（）

【解析】根據(jù)對稱軸、開口方向、與），軸的交點位置即可判斷。、匕、C與O的大小關(guān)系，然后將由對稱可知

a=b,從而可判斷答案.

【詳解】

解：①由圖可知：α>0.CV0,-----<0

2a

Λ?>0

.,.abc<O,故①不符合題意.

②由題意可知：—二=-：

：.b=a,故②符合題意?

③將（-2,0）代入y=0r2+Z>x+c

Λ4a-2?+c=0

?9a=h

2e∕+c=O,故③符合題意.

④由圖象可知：二次函數(shù)y=o√+A+c的最小值小于0

令y=l代入y=0r2+?r+C

.,.ox2÷?x+c=1有兩個不相同的解，故④不符合題意.

故選：D.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確地由圖象得出八。、C的數(shù)量關(guān)系，本題屬于基

礎(chǔ)題型.

18.(2023?四川廣安)已知拋物線)=0√+∕λγ+c的對稱軸為mi,與X軸正半軸的交點為A(3,0),其部

分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①αbc>0②2c-3b<0③5α+b+2c=0④若B(?-,y/)、C(?,”)、D

(-p”)是拋物線上的三點，則》勺2<”.其中正確結(jié)論的個數(shù)有()

A.?B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】

解：由圖像可知，開口向上，圖像與y軸負(fù)半軸有交點，則α>0,c<0

對稱軸為直線χ=-==l,則6=-2Λ<0

2a

.,.abc>0,故①正確

當(dāng)％=3時，y=9a+3b+c=0

-：h=-2a

38+c=0,即3b=—c

：.2c-3?=2c+c=3c<0,故②正確

h

???對稱軸為直線X=-丁=1

2a

???拋物線與X軸負(fù)半軸的交點為（-1,0）

.*.a-h+c=O

?/9β+3?+c=0

兩式相加,則10Q+2?+2C=0

.?.5α+0+c=0,故③錯誤

-1二，“

3333∣3I3

.421

333

???根據(jù)開口向上，離對稱軸越近其對應(yīng)的函數(shù)值越小，則有%>%>X,故④正確

???正確的結(jié)論有3個

故選：C

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，能夠通過函數(shù)圖象提取信息是解題的

關(guān)鍵.

19.（2023?貴州銅仁）如圖，若拋物線y=αχ2+∕λr+c（αwθ）與X軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,若

ZOAC=ZOCB.則訛的值為（）

A.—1B.—2C.—D.—

23

【答案】A

【解析】觀察圖象，先設(shè)4和0)&<0),B(x29O)(x2>O),C(O,c)(c>θ),根據(jù)已知條件NQ4C=NOCB及OC_LAB

證明AOACS得出N①|(zhì)=。2=一％.9，利用根與系數(shù)的關(guān)系知七.％2=￡,最后得出答案.

a

【詳解】

設(shè)Aa,0)α<0),BCX2,O)(X2>O),C(O,c)(c>0)

;二次函數(shù)y=辦2+版+C的圖象過點C(O,c)

???OC=c

VZOAC=ZOCB,OClAB

：.AOACS∕?OCB

.OAOC

ΛΛ~OC~'OB

???OC2=OAOB

即ki?%2∣=c2=-3.々

令以2+?χ+c=0

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知X?X=-

2a

.,.-x∣x>=--=C2

^a

故〃c=-1

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)），=加+法+c（-0）與關(guān)于方程加+bx+c=0S≠0）之間的相互轉(zhuǎn)換，同時要將線段

的長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

20.（2023?四川達州）二次函數(shù)>=〃/+法+°的部分圖象如圖所示，與>軸交于Qi）,對稱軸為直線

x=l.以下結(jié)論：?abc>0②③對于任意實數(shù)，"，都有亞的+加>4+人成立④若（―2,χ）,

（g，%），（2,%）在該函數(shù)圖象上，則為<M<*⑤方程I依2+A+c?∣=Z（Z..0,k為常數(shù)）的所有根的和

為4.其中正確結(jié)論有（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】根據(jù)圖象可判斷4>O,c=-1力<。，即可判斷①正確令y=α√-2οx-l=0,解得

x=2α±"/+僅=]±2g^,根據(jù)圖得，-i<>YZEZ<o,即可求出。的范圍，即可判斷②錯誤由

2aaa

%=-2α代入變形計算即可判斷③錯誤由拋物線的增減性和對稱性即可判斷④錯誤將所求的方程解的

問題轉(zhuǎn)化為拋物線與兩直線的交點問題，根據(jù)交點的個數(shù)，以及拋物線的對稱性可知⑤錯誤.

【詳解】

「二次函數(shù)y=加+?x+c的部分圖象與)，軸交于(0,-1),對稱軸為宜線χ=l,拋物線開頭向上

.?.b=-2a<0

.?.abc>0,故①正確

令y=ax2-2ax-1=0

解得x=2α±j44?四=]±√^7Σ

2aa

由圖得，-i<>①上巴<o

a

解得〃>；,故②正確

,b--2a

:.m(am+b)>a+b可化為m(am-2a)>a-2a,即m(m-2)>-l

.?.(w-l)2>0

若S(M+A)>α+。成立，則加H1,故③錯誤

當(dāng)χ<ι時，y隨X的增大而減小

-2<-

2

yl>%

一對稱軸為直線x=l

.?.X=2時與X=O時所對應(yīng)的y值相等

%<%<%，故④錯誤

?ax2+bx+(]=k(k.0,k為常數(shù))的解，是拋物線與直線y=±k的交點的橫坐標(biāo)

則Iar2+?x+d=左(氏.0,左為常數(shù))解的個數(shù)可能有2個，3個或4個

根據(jù)拋物線的對稱性可知

當(dāng)有3個或4個交點時，|以2+法+1=々(k..0,k為常數(shù))的所有解的和是4

當(dāng)有2個交點時，即:0時，∣0√+法+，=左(k.0,k為常數(shù))的所有解的和是2

故⑤錯誤

綜上，正確的個數(shù)為2

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一元二次方程求根公式，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握知識點，能夠運

用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

21.（2023?內(nèi)蒙古包頭）已知實數(shù)。，6滿足人-α=l,則代數(shù)式^+2）-64+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】由已知得6=“+1,代入代數(shù)式即得/-4α+9變形為（α-2）2+5,再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解.

【詳解】

解：b-a-?

b=a+1

.*?a2+2b-（>a+1

=α2+2（α+1）-6α+7

=a2-4a+9

=3-2產(chǎn)+5

V（a-2）2≥0

當(dāng)α=2時，代數(shù)式/+2∕7-6α+7有最小值，最小值為5

故選：A.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的最值，通過變形將代數(shù)式化成（α-2）2+5是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?黑龍江齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)丫="2+法+。（4*0）的圖象與丫軸的交點在（0,1）與（0,

2）之間，對稱軸為X=T,函數(shù)最大值為4,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論:①b=2a?-3<a<-2?4ac-b2<0

④若關(guān)于X的一元二次方程讀2+法+c=%-4（。WO）有兩個不相等的實數(shù)根，則膽>4⑤當(dāng)x<0時，y隨X

的增大而減小.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐個結(jié)論進行分析判斷即可.

【詳解】

解：：二次函數(shù)y=αχ2+bx+c(α≠0)的對稱軸為X=-I

.?b=2a,故①正確

；函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為X=T,函數(shù)最大值為4

???函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(-1,4)

當(dāng)X=-I時，a-b+c=4

a-2a+c-4

.*.c=4+4

：二次函數(shù)y="?+法+c(αXO)的圖象與y軸的交點在(0,1)與(0,2)之間

Λl<c<2

.,.1<4+α<2

?'?-3<a<—2,故②正確

：拋物線與X軸有兩個交點

?'?b^—4ac>O

?'?4ac-b2<0?故③正確

：拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,4)且方程以2+?r+c=m-4有兩個不相等的實數(shù)根

OcZH—4<4

.,.4</H<8,故④錯誤

由圖象可得，當(dāng)Q-I時，)，隨X的增大而減小，故⑤錯誤.

所以，正確的結(jié)論是①②③，共3個

故選：B

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

23.(2022?山東日照)拋物線y=*+∕*+c("())的對稱軸是直線x=-1,其圖象如圖所示.下列結(jié)論：①

abc<O②(44+c)2<(2?)2③若(占,無)和伍，丹)是拋物線上的兩點，則當(dāng)|5+1∣>H+1∣時，％<當(dāng)④

拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,〃?)，則關(guān)于X的方程公2+?r+c="—1無實數(shù)根.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】①由圖象開口方向，對稱軸位置，與y軸交點位置判斷。，b,C符號.②把χ=±2分別代入函數(shù)

解析式，結(jié)合圖象可得(4〃+c)2-(26)2的結(jié)果符號為負(fù).③由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠的點y值

越大.④由拋物線頂點縱坐標(biāo)為相可得依2+加+c..切，從而進行判斷這2+fev+c=m_1無實數(shù)根.

【詳解】

解：①:拋物線圖象開口向上

.?a>0

.?對稱軸在直線y軸左側(cè)

:a,6同號，?>o

拋物線與y軸交點在X軸下方.

.?.c<O

.?.abc<O,故①正確.

②(4Q+c)2-(2b)2=(4〃+c+2b)(4a+c-2b)

當(dāng)x=2時/+∕7χ+c=4α+c+2Z?,由圖象可得&z+c+2Z?>0

當(dāng)X=-2時，OXL+bx-^c=4a+c-2b,由圖象可得4<ι+c-2Z?VO

.?.(4(7+c)2-(2b)2<0,即(4Q+c)2<(2b)2

故②正確.

③IXJ+1HXI-(T)1,Ix2+1Hx2-(-1)I

Ix1+11>∣x2+11

，點(X，凹)到對稱軸的距離大于點(與，M)到對稱軸的距離

???yi>y2?

故③錯誤.

④?拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,加)

.?.y..m

ax2+bx+c..m

:.ax2+bx+c=m-l無實數(shù)根.

故④正確

綜上所述，①②④正確

故選:B.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)y=0χ2+法+c（α≠O）中“，b,C與函數(shù)圖

象的關(guān)系.

24.（2022?黑龍江牡丹江）如圖，拋物線y=αχ2+以+c（存°）的頂點為（1,〃），與X軸的一個交點B（3,

0）,與y軸的交點在（0,-3）和（0,-2）之間.下列結(jié)論中：①史>0②-2Vb<-*③（α+c）2

c3

-b2=0?2c-a<2n,則正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進行判斷即可

【詳解】

解：:拋物線y=α√+加:+c（〃彳0）的開口向上

Λrz>O

;拋物線線y=α√+bx+c（c"0）的頂點坐標(biāo)為（1,n）

.,?對稱軸X=一~—=1

2a

?*.b=-2a<0

???拋物線與y軸的交點在（0,-3）和（0,-2）之間

Λ-3<c<-2<0

>0故①正確

C

：拋物線線X軸的一個交點B（3,0）

.?9a+3b+c=0,拋物線線X軸的一個交點（-1,0）

.*h=-2a

4

Λ-2<?<--,故②錯誤

Y拋物線線X軸的一個交點(-1,0)

.*.a-b+c=0

.,.(4+c)2-〃=(4+b+c)(4-b+C)=0,故③正確

Λ-a<0

Yh=-2a

.*.3a+2h=-a<0

Λ2c-a>2(a+b+c)

:拋物線y=0r2+∕υc+c(a≠0)的頂點為(1,〃)

：?a+b+c=n

2c-a>2n故④錯誤

故選：B

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)嚴(yán)0r2+fer+c(wo),明確以下幾點：①二次項系數(shù)4

決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)α>0時，拋物線向上開口當(dāng)α<0時，拋物線向下開口②一次項系

數(shù)b和二次項系數(shù)，共同決定對稱軸的位置：當(dāng)4與b同號時(即帥>0),對稱軸在y軸左當(dāng)〃與力異

號時(即"V0),對稱軸在y軸右③常數(shù)項C決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于(0,c).

13

25.(2022?遼寧丹東)已知拋物線y=Qχ2+Zu?+c(α>0),Kα+?+c=--,t7-?+c=--.判斷下列結(jié)論：

①而c<0②2α+2?+c>0③拋物線與X軸正半軸必有一個交點④當(dāng)2<尤<3時，>最小二3〃⑤該拋

物線與直線>=x-c有兩個交點，其中正確結(jié)論的個數(shù)()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】由題意易得人=2,C=T-。，則有CVO，進而可判定①②，當(dāng)工二1時，則y=4+b+c=-g,當(dāng)Λ--1

22

31

時，則有y=a-b+c=γ,然后可判定③，由題意可知拋物線的對稱軸為直線％=-丁<。，貝IJ有當(dāng)2≤x≤3

24a

時，y隨X的增大而增大，故可得④聯(lián)立拋物線及直線解析式即可判斷⑤.

【詳解】

13

解：*.βα+b+c=——,α-?+c=——

22

.?.兩式相減得匕=工，兩式相加得C=T-。

2

.*.c<O

*.*tz>O,/?>O,c<O

：.ahc<0,故①正確

.*.2a+2∕?+c=2a÷2×—1—。=。>0,故②IE確

2

13

:當(dāng)X=I時，則y=。+人+（?=-5,當(dāng)X=-I時，則有y=α-b+c=—耳

.?.當(dāng)>=0時，則方程0=加+?r+c的兩個根?個小于-1，一個根大于1

???拋物線與X軸正半軸必有一個交點，故③正確

由題意可知拋物線的對稱軸為直線X=-3=-二-<0

2a4?

.?.當(dāng)2≤x≤3時，y隨X的增大而增大

當(dāng)x=2時，有最小值，即為y=4a+2匕+c=4α+l-l-4=3”,故④正確

聯(lián)立拋物線y="+6x+C及直線"x-c可得：x-cX+fev+c，整理得：αx2-→+2c=0

Δ=—8nc>O

4

???該拋物線與直線丁=工-。有兩個交點，故⑤正確

???正確的個數(shù)有5個

故選D.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.（2021?四川眉山）已知二次函數(shù)y=f-2Οr+∕-2α-4為常數(shù)）的圖象與X軸有交點，且當(dāng)x>3

時，y隨X的增大而增大，則α的取值范圍是（）

A.a≥-2B.G<3C.—2≤α<3D.—2≤α≤3

【答案】D

【解析】根據(jù)圖象與X軸有交點，得出判別式ANO,從而解得“≥-2,然后求出拋物線的對稱軸，結(jié)合拋物

線開口向上，且當(dāng)x>3時，y隨X的增大而增大，可得好3,從而得出選項.

【詳解】

解：y=x2-2ax+a1-2a-4

：圖象與X軸有交點

ΛΔ=(-2α)2-4(“2-24-4)>0

解得α>-2

???拋物線的對稱軸為直線X=-言=a

拋物線開口向上，且當(dāng)x>3時，y隨X的增大而增大

a<i

?,?實數(shù)α的取值范圍是?2%≤3.

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線與X軸的交點，明確拋物線與X軸的交點個數(shù)與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

27.(2021?遼寧丹東)如圖，二次函數(shù)y=αχ2+?r+c(a≠0)的圖象與X軸交于A,B兩點，與V軸交

于點C,點A坐標(biāo)為點C在(0,2)與(0,3)之間(不包括這兩點)，拋物線的頂點為。，對稱軸為直線

1

x=2,有以下結(jié)論：①α歷：>0②若點M-∣σ.j.點N((,%)是函數(shù)圖象上的兩點，則③

2

其中正確的有()

C.3個D.4個

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】

解：①由開口可知：α<0

.?.對稱軸X=-

.,.b>0

由拋物線與y軸的交點可知：c>0

.".abc<O,故①錯誤

_171Q

②由于-5〈2〈彳，且(--,??)關(guān)于直線m2的對稱點的坐標(biāo)為(，，yι)

.*.jι<y2,故②正確

③,??-2=2

2a

?*.b=-4a

Vx=-I,J=O

.*.a-b+c=0

：?c=-5a

V2<c<3

：.2<-5a<3

32

?，?-B<α<-己，故③正確

④根據(jù)拋物線的對稱性可知，AB=G

.?-AB=3

2

假定拋物線經(jīng)過(0,2),(-1,0),(5,0)

2

設(shè)拋物線的解析式為)=α(x+D(x-5),則?=-1

.?.MDB不可以是等腰直角三形.故④錯誤.

所以正確的是②③，共2個.

故選：B.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用圖象與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中等題型.

28.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特）關(guān)于二次函數(shù)y=；/-6x+a+27,下列說法錯誤的是（）

A.若將圖象向上平移10個單位，再向左平移2個單位后過點（4,5）,則a=-5

B.當(dāng)x=12時，y有最小值a—9

C.χ=2對應(yīng)的函數(shù)值比最小值大7

D.當(dāng)a<0時，圖象與X軸有兩個不同的交點

【答案】C

【解析】求出二次函數(shù)平移之后的表達式，將（4,5）代入，求出a即可判斷A將函數(shù)表達式化為頂點式，

即可判斷8求出當(dāng)a2時的函數(shù)值，減去函數(shù)最小值即可判斷C寫出函數(shù)對應(yīng)方程的根的判別式，根據(jù)

a值判斷判別式的值，即可判斷D.

【詳解】

解：A、將二次函數(shù)y=3χ2-6x+α+27=J(x-12)2+α-9向上平移10個單位，再向左平移2個單位后

表達式為：y=*+2T2y+α-9+10=((x-10),α+l

若過點(4,5)

則5=1(4-lof+a+l,解得：α=5故選項正確

B、Vγ=-X2-6x+6z+27=—(x-12)2+6/-9,開口向上

44

，當(dāng)X=I2時，y有最小值。-9,故選項正確

C、當(dāng)x=2時，y=α+16,最小值為α-9,?+16-Ca-9)=25,即x=2對應(yīng)的函數(shù)值比最小值大25,故選項錯

誤

。、△=(-6)2-4xgx(α+27)=9-4,當(dāng)”<0時，9-a>0,即方程-6χ+α+27=0有兩個不同的實數(shù)根,

即二次函數(shù)圖象與X軸有兩個不同的交點，故選項正確

故選C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，涉及到二次函數(shù)的基本知識點，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，

以及與一元二次方程的關(guān)系.

二、填空題

29.(2023?貴州黔東南)在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=f+2x-l先繞原點旋轉(zhuǎn)180。，再向下平移5

個單位，所得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是.

【答案】(1，—3)

【解析】先把拋物線配方為頂點式，求出定點坐標(biāo)，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線，再根據(jù)“上加下減，左加右減”

的法則進行解答即可.

【詳解】

解：VJ=X2+2%-1=(X+1)^-2

二拋物線的頂點為(-1.-2)

將拋物線y=f+2x-1先繞原點旋轉(zhuǎn)180。拋物線頂點為(1,2)

旋轉(zhuǎn)后的拋物線為y=-(x-l)2+2

再向下平移5個單位，y=—(x-l)'+2-5即y=-(χ-∣)2-3.

；?新拋物線的頂點(1,-3)

故答案是：(1?-3).

【點睛】

本題考查的是拋物線的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)與平移的法則是解答此題的關(guān)鍵.

30.（2023?江蘇無錫）把二次函數(shù)y=∕+4x+機的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度,

如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點，那么“應(yīng)滿足條件：.

【答案】m>3

【解析】先求得原拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2,加-4）,再求得平移后的頂點坐標(biāo)為（1,根據(jù)題意得到

不等式w3>0,據(jù)此即可求解.

【詳解】

解：,.'y^x2+4x+nι-（x+2）2+m-4

此時拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2,m-4）

函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標(biāo)為（-2+3,昨4+1）,即（1,吁3）

Y平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點

∕n-3>0

解得：nt>^i

故答案為：m>3.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的

頂點坐標(biāo).

31.（2023?江蘇連云港）如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y=-0.2/+x+2.25運行，然后準(zhǔn)確落

入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離?！笔莔.

【答案】4

【解析】將y=3?O5代入>=-0.2/+彳+2.25中可求出X,結(jié)合圖形可知x=4,即可求出OH.

【詳解】

解：當(dāng)y=3.05時，-0.2f+χ+2.25=3.05,解得：X=I或x=4

結(jié)合圖形可知：OH=4m

故答案為：4

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用：投球問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定X的值.

32.(2023?黑龍江牡丹江)把二次函數(shù)y=2χ2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，

平移后拋物線的解析式為.

【答案】y=2∕+4x或)