第2課時(shí)角平分線的應(yīng)用北師大版八年級(jí)下冊(cè)

現(xiàn)在要在京周公路，良鄉(xiāng)西路和西潞北大街的中間修一個(gè)貨站，要求到這三條路的距離相等，請(qǐng)你找一下建貨站的地址。ABCP作∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，P即為建貨站的位置獲取新知1.已知：如圖，設(shè)△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P，求證：P點(diǎn)在∠BAC的角平分線上．證明：過P點(diǎn)作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上)．∴△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)P．三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)2.如圖，P是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，求證：PD=PE=PF.由上題的證明可知：PD=PE=PF.

三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等。歸納結(jié)論

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。1、直接應(yīng)用定理求線段的長度：

已知：OE平分∠AOB，P為OE上一點(diǎn)，PC⊥OA于C，且PC=5，則P點(diǎn)到OB

的距離為_____5AOEBPC2、直接應(yīng)用定理求角的度數(shù)

已知：如圖，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°，∠B=40°，AD平分

∠CAB交BC于D點(diǎn)，DE⊥AB于E，則∠CAD=________25°3、角平分線與四邊形組合已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE證明：過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD

∴CE＝CF，AE＝AF

（角平分線性質(zhì)），∠CEB＝∠CFD＝90°

∵∠B+∠ADC＝180°,∠CDF+∠ADC＝180°

∴∠B＝∠CDF

∴△CBE≌△CDF

（AAS）

∴DF＝BE

∵AF＝AD+DF

∴AF＝AD+BE

∴AE＝AD+BE

EABCDF4、以角平分線為軸，構(gòu)造全等三角形，證線段之差不等已知：如圖，點(diǎn)P是∠BAC平分線上一點(diǎn)，P與A

不重合，AC﹥AB.求證：PC-PB﹤AC-AB證明：作PB′=PB，與AC交于點(diǎn)B′，易證△APB′≌△APB∴AC-AB=AC-AB′在△PB′C中，PC-PB′＜B′C=AC-AB′∴PC-