三湘名校教育聯(lián)盟?2023年下學(xué)期高二期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)。全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合2={%€2卜+4）（》—3）＜。},5={xb=k）g2（|x|—2）},則（Q8）nz=

A.[-2,2]

C.{-2,-1,0,1,2}D.0

2.已知復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)I滿(mǎn)足I（2+i）=l-i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

22

3.已知雙曲線(xiàn)C：4—二=1（?！?力〉0）的焦距為4石，實(shí)軸長(zhǎng)為4,則C的漸近線(xiàn)方程為

ab

…±2、Bj=±瓜C.y=±iXDj=±gx

4.已知數(shù)列{%}中，%=3,an=1——2）,則%）23等于

an-\

112

A.------B.—C.一D.3

233

5.已知片（西,必），￡（馬,當(dāng)）是直線(xiàn)V=+2023（左為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的方程組

xx+yy=l,

1i的解的情況，下列說(shuō)法正確的是

x2x+y2y=l

A.無(wú)論左，P」巴如何，總是無(wú)解

B.無(wú)論左，右，與如何，總有唯一解

x=1

C.存在左，Px,使〈是方程組的一組解

〔歹=2

D.存在左，Px,P2,使之有無(wú)窮多解

6.已知正方體4BCD-481GA的棱長(zhǎng)為2,球。是正方體的內(nèi)切球，點(diǎn)G是內(nèi)切球。表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則痂?比的取值范圍為

A.[0,4]B.[2-2V2,0]

C.〔4,2+2夜]D12-2后,2+2及]

7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/⑴滿(mǎn)足/(x)=—/(—x),當(dāng)王,》2e(—°0,。]且x尸/時(shí)，—<o

成立.若存在xe[O,l]使得/(1-辦--)</(2-a)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-oo,l)B.(2V^,+co)

C.(-2-2V2,-2+2A/2)D,(1,+OO)

22

8.已知雙曲線(xiàn)C：二-4=1(?！?力〉0),M和N分別為實(shí)軸的右端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)廠(chǎng)的

ab

直線(xiàn)/交。的右支于4,B兩點(diǎn).若存在直線(xiàn)/使得點(diǎn)M為的重心，則。的離心率為

A.-B.V2C.2D.V5

3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線(xiàn)I：kx—y+2k+1=0和圓。：x~+y~=8,貝！I

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(2,1)

B.直線(xiàn)/與圓。相交

C.存在上使得直線(xiàn)/與直線(xiàn)/0：x—2了+4=0平行

D.直線(xiàn)/被圓0截得的最短弦長(zhǎng)為2G

10.設(shè)函數(shù)/(x)=sinox—W(0〉。)，則下列說(shuō)法正確的是

A.若/(x)的最小正周期為萬(wàn)，則0=2

B.若0=1,則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

JTA

C.若/(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則0<0<§

713

D.若/⑺在區(qū)間[0,2句上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則=“0<三

11.已知尸為拋物線(xiàn)￡：/=2.(P〉0)的焦點(diǎn)，A,B,C是E上三點(diǎn),且2(1,2),則下列說(shuō)法正確的

是

A.當(dāng)B,C,尸三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，忸C的最小值為4

B.若忸q=12,設(shè)8,C中點(diǎn)為〃，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為6

C.若2而=正，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△80C的面積為逆

2

D.當(dāng)AB1AC時(shí)，點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離的最大值為4J5

12.已知正方體48CD-451GA的棱長(zhǎng)為1,E為線(xiàn)段81c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸和點(diǎn)尸分別滿(mǎn)足用=2方

D[P=ND[B,其中4〃e[0,1],則下列說(shuō)法正確的是

A.APL平面AEC

B.AP與平面BDDXBX所成角的取值范圍為[45°,60°]

5萬(wàn)

C.PE+PF的最小值為一

6

D.點(diǎn)P到直線(xiàn)B.C的距離的最小值為PE=—

16

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知圓C過(guò)點(diǎn)。(0,0),且與直線(xiàn)x+y+4=0相切，則滿(mǎn)足要求的面積最小的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

..(7113r,sin2a+2sin2a生,+“

14.已知sm—+a=—，貝！J-----------------的值為

(4)51+tana

15.己知三棱柱4BC-481G的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為G，AB=2,

AC=1,^BAC=60°,則此球的體積為.

22

三+4=1有相同的焦點(diǎn)大,

16.如圖，橢圓G：—7+-T=1(%>by〉0)和C2:耳，離心率分別為,，%,

a\b；a2

5為橢圓。的上頂點(diǎn)，F(xiàn),P工RP,此,B,尸三點(diǎn)共線(xiàn)且垂足尸在橢圓C,上，則且的最大值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.(本小題滿(mǎn)分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，存在四點(diǎn)/(0,1),3(7,0),C(4,9),￡>(1,3).

(1)求過(guò)B,。三點(diǎn)的圓M的方程，并判斷。點(diǎn)與圓M的位置關(guān)系；

(2)若過(guò)。點(diǎn)的直線(xiàn)/被圓/截得的弦長(zhǎng)為8,求直線(xiàn)/的方程.

18.(本小題滿(mǎn)分12分)

長(zhǎng)沙市某中學(xué)近幾年加大了對(duì)學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對(duì)象，2023年5月該中學(xué)進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽,

從參加競(jìng)賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(jī)(百分制，均為整數(shù))分成六組：第1組［40,50),第2組

［50,60),第3組［60,70),第4組［70,80),第5組［80,90),第6組［90,100］,得到頻率分布直方圖(如

圖)，觀(guān)察圖中信息，回答下列問(wèn)題：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)本次考試成績(jī)的平均數(shù)和第71百分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值作代表)；

(2)已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從成績(jī)?cè)?/p>

第5組和第6組的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的概率.

已知a,b,c分別為△4SC三個(gè)內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊，且bcosC+GbsinC-a-c=0.

(1)求角5；

(2)若點(diǎn)。滿(mǎn)足27萬(wàn)=反，且AD=1,求△4BC的面積的最大值.

20.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，四棱錐尸—N5CD的底面Z5CD是平行四邊形，^ABP=90°,AB=BP=2,點(diǎn)。在平面Z8P

內(nèi)的投影/是48的中點(diǎn)，￡是尸C的中點(diǎn).

(1)證明：EE〃平面400；

(2)若尸。=3,求二面角?！拧恼抑?

21.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)/(X)=一e",g(x)=lux.

(1)求函數(shù)g[2—x—6)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若對(duì)任意々e-,e,存在X]e(-叫0),使得/(xjwg(》2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

e

(3)若函數(shù)/(x)=/(x)+/(—x),求函數(shù)尸(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

22.(本小題滿(mǎn)分12分)

22

橢圓E：\+1~=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo).過(guò)片作直線(xiàn)4交E于Z,8兩點(diǎn).過(guò)鳥(niǎo)作垂直于直線(xiàn)4的

直線(xiàn)，2交￡于C，。兩點(diǎn).直線(xiàn)4與人相交于點(diǎn)尸?

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)求四邊形NCAD面積的取值范圍.

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參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.【答案】c

【解析】因?yàn)閊={XGZ|（X+4）（X-3）<0}={-3,-2,-1,0,1,2},又

5=卜卜=睡2（忖—2）}={x|x〉2或x<—2},^B={x\-2?x?2},所以他8）口幺={—2,—1,0,1,2},故

選C.

2.【答案】A

_1（l-i）（2-i）_13所以z=』+3i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為3],在

【解析】由2（2+i）=l—i可得2=—-----------------------I

2+1（2+i）（2-i）5555（55J

第一象限.故選A.

3.【答案】C

【解析】由已知得，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線(xiàn)的焦距2c=4石，解得。=2君,

雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2。=4,解得。=2,則6=，。2一〃=逝0—4=4,

即雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為j=+-x=±-x.故選C.

b2

4.【答案】D

5.【答案】B

v=kx.+2023,/、/、/、

【解析】由題意《y

則占%一%2%=再（丘2+2023）-X2（kyx+2023）=2023（玉一馬）?！悖?/p>

y2—kx2+2023,

（直線(xiàn)y=自+2023的斜率存在，，玉w/），故4：MX+必歹=1與4：X2X+%V=1相交，?,?方程組總

有唯一解.A,D錯(cuò)誤，B正確；

x=]x+2v=]

若｛二：是方程組的一組解，則;+2]；則點(diǎn)片（xQi），6（/，%）在直線(xiàn)%+2^=1，即

、V、2>29

11X=]

y=——X+—上，但已知這兩個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)y二自+2023上，這兩條直線(xiàn)不是同一條直線(xiàn)，???〈~'不可能是

22"[y=2

方程組的一組解，C錯(cuò)誤.故選B.

6.【答案】D

【解析】取5c中點(diǎn)為X,因?yàn)榈Z=曲+屜，GC=GH+HC,

-----?------?------?2------k2------*2

所以GBGC=GH-HC=GH-1,

-------???-------?2*2*2------***

又GH=GO+OH,貝UGH=GO+OH+2GOOH,又正方體的棱長(zhǎng)為2,則正方體的內(nèi)切球半徑為

1,貝"血|=1,|OH|=V2,所以甫2=3+2行cos（血,而），

所以麗沅=麗2-l=2+2":os?W

所以當(dāng)詼，而反向時(shí)，cos（GO,OH\=-l,歷?元有最小值為2—2后；

當(dāng)GO,兩同向時(shí)，cos（GO,OH\=l,赤?元有最大值為2+2J5.故選D.

7.【答案】D

【解析】由條件可知函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞減.存在xe[0,1]使得f（l-ax-x2）</（2-a）成立等價(jià)于存

在X￡[0,1]使得不等式1一〃工一工2〉2-Q成立.由1一。%一x2〉2-。得（1-X）Q〉+1,X￡[0,1],

丫2+1+1

1—"0,.?.①當(dāng)x=l時(shí)，0〉2不成立②當(dāng)xe[0,l）時(shí)，a>--有解.求當(dāng)xe[0,1）時(shí)，函數(shù)y=--

1X1X

的最小值.

?/nIX2+1（1—Z）2+12

令彳=1_%?￡（0,1]）,則,=-----=----------=t-\------2,

1Xtt

2

而函數(shù)3；=，+：—2是（0,1]上的減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即x=0時(shí)，ymin=l.

故?！?,故選D.

8.【答案】A

【解析】依題意，M（a,0）,N（0,b）.點(diǎn)河為△N48的重心時(shí)，48中點(diǎn)尸1+，—g]設(shè)3（XQJ,

22V2V2A2b

2（々/2）,則彳-今=1與—q=1.兩式作差得：原4?七尸=彳?其中，.又因?yàn)锽,A,

aba3a

22

12z

做3-bb4

F,尸四點(diǎn)共線(xiàn)，所以演4=與尸九---二一T，解得3c=4。，故e=—.故選A.

c2c一2

23aa3

9.【答案】BD

【解析】對(duì)于A,由Ax-y+2左+1=0可得，左（％+2）—》+1=0,令％+2=0,即％=—2,此時(shí)y=l,

所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)（-2,1）,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)槎c(diǎn)（-2,1）到圓心的距離為"71=6<2/，所以定點(diǎn)（-2,1）在圓內(nèi)，所以直線(xiàn)/與圓。相

交，B正確;

對(duì)于C,因?yàn)橹本€(xiàn)/o：X—2y+4=o的斜率為:，所以直線(xiàn)/的斜率為g,此時(shí)直線(xiàn)/的方程為

x—2y+4=0,直線(xiàn)/與直線(xiàn)/(,重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,設(shè)直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)2(—2,1),圓心到直線(xiàn)/的最大

距離為=君，此時(shí)直線(xiàn)/被圓。截得的弦長(zhǎng)最短為2/。=26，D正確；故選BD.

10.【答案】AD

2TC

【解析】對(duì)于A,若/(x)的最小正周期為萬(wàn)，則』=乃，解得0=2,故A正確；

G)

對(duì)于B,若刃=1,則/⑴=sin(x-小，x=g時(shí)，/(x)=sin=1,故B錯(cuò)誤；

71717171371

對(duì)于C,xe0,—時(shí)什，COX-------G因?yàn)?(X)在0,-上單調(diào)遞增，則

L26~6^~~6

兀冗①兀71&刀/曰八4,,A4+'D

—<-------?一，角牛倚0<@,一，故C車(chē)日陜；

62623

對(duì)于D,xe[0,2〃]時(shí)，a)x-^e,若/(x)在[0,2句上恰有2個(gè)零點(diǎn)，

則71?171(0一工<2萬(wàn)，解得一?a><一，故D正確.故選AD.

61212

11.【答案】ACD

【解析】依題意，p=2.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)8,C,尸三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，8c為焦點(diǎn)弦.通徑(垂直于對(duì)稱(chēng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，最短為22，

故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，忸/|+|?？頒|=12(當(dāng)且僅當(dāng)8,C,尸三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立)，即/+%+2…12,故

xM...5,所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為5,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，依題意，8c為焦點(diǎn)弦且2忸刊=|CF].不妨設(shè)直線(xiàn)5c的傾斜角a為銳角，則

I2a/Q-

忸冏=—2—,\CF\=—2—,解得cosa=—,故5="—=上，故C正確；

1+cosa1-C0S6Z32sina2

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線(xiàn)BC：x=my+n,5(%,必)，C(x2?y2),與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得：

22

y2-4my-4〃=0.由韋達(dá)定理有：%+8=4掰，%%=-4〃.依題意—-----....=-1.即

xx-\x2-1

(必一2)(%—2)+(加必+〃一l)(m%+〃-1)=0,整理得：

[nr+1)必為+(祖〃-機(jī)-2)(%+%)+(〃-1)2+4=0.代入韋達(dá)定理可得：(〃-3y=4(m+l)2,解得

n=±2(m+l)+3,其中〃=2(m+1)+3時(shí)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(5,-2),〃=一2(掰+1)+3時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)N,不符

合題意，故直線(xiàn)8C過(guò)定點(diǎn)尸(5,-2),點(diǎn)/到直線(xiàn)8C的距離最大值為MP|=4JLD正確.故選ACD.

12.【答案】ACD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，平面NEC即為平面481C,易知A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：如圖，連接ZC交5。于點(diǎn)。，連接。尸，知幺。,平面8。。]與，所以NZ尸。即為4P與面

V2

BDQBi所成角，所以sin/4Po="=工,由尸在上知AP^—,41,所以

APAP

1~\

smZAPOe,因?yàn)镹4POe(0°,90°),所以/ZPO的范圍是[30°,60°],即直線(xiàn)/尸與平面

8。2g所成角的范圍是[30°,60°],故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面48GA內(nèi)求點(diǎn)尸使得尸￡+尸尸最小，如圖，作點(diǎn)￡關(guān)于線(xiàn)段AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

耳，過(guò)點(diǎn)E1作RG，48的垂線(xiàn)，垂足分別為尸和笈，

D.FC,

I'、'、/"/

1/2

則尸￡+尸匠..凡尸，設(shè)NE[BA=e,則sine=sin(//8￡>]—=—E.H=BE^mO=—,

2

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)〃=§時(shí)，尸￡平面4SC且4,尸，￡三點(diǎn)共線(xiàn).此時(shí)尸￡，與。，PE1BD.,即此時(shí)尸到

直線(xiàn)5c的距離最小，最小值為工2￡=逅.故選ACD.

36

13.【答案】（n+廳+什+以=2

【解析】過(guò)。作直線(xiàn)x+y+4=0的垂線(xiàn)，垂足為2.

當(dāng)。4為直徑時(shí)，圓C的面積最小.

4

=2A/2,

。到直線(xiàn)x+y+4=0的距離d=正

可知半徑子=正，圓心（。力）在直線(xiàn)x—了=0上，且/+〃=2,

解得a=—1,b=-l,所求圓的方程為（x+iy+（y+l）2=2.

7

14.【答案】--

25

（冗\(yùn)337

【解析】由sin—+[=一,得——（cosa+sini）=一,兩邊平方得2sinacos。=----.

UJ52v7525

2

LC、Isin2a+2sin2。2sintzcos6r+2sin^z2sinacoso(cos。+sina)7

所以--------------二----------；-----------二-------------——；------------二2smacos。=----.

1+tana]?smacosa+sina25

cosa

872

15.【答案】--------71

【解析】由已知該三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，NACB=90。,設(shè)。，j分別是48,AR

1J3

的中點(diǎn)，。是。j中點(diǎn)，則。就是三棱柱外接球球心，5^=-x2xlxsin60°=—,

12Ac2

v=Sh=RxDD[=5即DD[=2,OA=^AD2+DO-=Vl2+12=41.所以

展n?x（何=乎—

_.-\/2+1

16.【答案】----

2

C\OF\一、2c，2|。周

【解析】由圖知弓=—=―4-

%I陰a22a2I尸片I+1尸瑪I

則宣二畫(huà)業(yè)周，設(shè)NPFE=e,

￡22明

則\PFX\+\PF2\=2C-(sin。+cos。),忸片|=—

—sm(20+^]+-1?1+V2

則員=(sine+cos。)?cos?=71

42I4)22

17.【解析】(1)設(shè)圓〃方程為/+/+9+或+/=0,

1+E+F=O,

把/,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：<49+7。+/=0,

16+81+4D+9E+/=0,

解得￡>=—8,E=-8,F=7,

所以圓M方程是丁+了2—8x—8y+7=0

把。點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：1+9-8-24+7<0,故。在圓M內(nèi)；

(2)由⑴可知圓M：(X-4)2+(J-4)2=25,則圓心M(4,4),半徑r=5,

由題意可知圓心到直線(xiàn)/的距離是3,

當(dāng)直線(xiàn)/斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/方程為：y=k(x-l)+3=>kx-y+3-k=0,

|3左一1|4

所以L(fǎng)、3,解得左=——,故直線(xiàn)/的方程為4x+3y—13=0；

,1+左23

當(dāng)直線(xiàn)/斜率不存在時(shí)，則直線(xiàn)/方程為：x=l,

此時(shí)圓心到直線(xiàn)/的距離是3,符合題意.

綜上所述，直線(xiàn)/的方程為4x+3y—13=0或x=l.

18.【解析】（1）x=45x0.1+55x0.26+65x0.2+75x0.3+85x0.08+95x0.06=66.8,

所以本次考試成績(jī)的平均分約為66.8；

因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?0,70）的頻率為（0.01+0.026+0.02）x10=0.56,

成績(jī)?cè)冢?0,80）的頻率為0.56+0.03x10=0.86,

所以第71百分位數(shù)位于［70,80）,

設(shè)其為x,則0.56+（x—70）x0.03=0.71,

解得x=75,所以第71百分位數(shù)為75；

（2）第5組的人數(shù)為：50x0.008x10=4人，可記為Z,B,C,D；

第6組的人數(shù)為：50x0.006x10=3A,可記為a,b,c；

則從中任取2人，有（45），（4。），（4。），（4。），（4?,（4c），（5,C）,（B,D）,（B,a）,

（B,b）,（民c）,（C,￡>）,（C,a）,（C,c）,,（a,b）,（a,c）,（b,c）,

共21種情況，

其中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的情況有（4。），（，力）,（4e），（B,a）,（C,a）,（C,b）,

（C,c）（￡>,a）,（D,b）,（Z）,c）,（a,6）,（a,c）,（“c）,共15種情況.

所以至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的概率尸="=3.

217

19.【解析】（1）由正弦定理可得：sinBcosC+V3sin5sinC-sin-sinC=0

又在三角形48C中，siib4=sin（5+C）,

siriScosC+V3sinSsinC-sin（5+C）-sinC=0,

V3sin5sinC-cos5sinC-sinC=0,

又在三角形ZBC中，sinC>0,

V3sin5-cosB=1,sin||—

I6j2

???B￡（0,〃），:.Bq：

［____i____i__o

（2）由2石=皮，可得而=成+屈=加+±%=限+±（數(shù)一方）=上瑟+4或，

33、'33

_____*21---*14—*24—*—*

兩邊平方可得AD=-BC+-BA+-BCBA,

999

,1244c

即arI1=—a~H—c~2H—accosB,

999

所以9=/+4。2+2ac.6ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=2c時(shí)取"=

所以ac”7，所以S^ABC=_acsinS”——.

22o

所以△ZBC的面積的最大值為述.

8

20.【解析】(1)證明：取。尸的中點(diǎn)G,連接EG,GA

V四邊形4BC。為平行四邊形，AB//CD,

；F為AB中點(diǎn)，；.AF〃CD,且以制

：G為。尸中點(diǎn)，E為CP中點(diǎn)，

.?.EG為△CQ尸的中位線(xiàn)，EG〃CD,且忸6|=；|。。|,

即4F〃EG,且斤|=|EG|*

故四邊形4FEG是平行四邊形，￡尸〃ZG,

又/Gu平面4a?,斯仁平面4ap,

EF//平面ADP；

(2)取CD中點(diǎn)N,連接BN,?.,點(diǎn)。在平面4B尸內(nèi)的投影為尸，

/.DF1平面ABP.

?：PF=yjFB-+BP"=A/12+22=45,DP=3

：.DF=dDP?-PF?=79^5=2,

,:BN工CD,則5N=￡＞尸=2,

由于氏4,BN,AP兩兩垂直，則可以點(diǎn)5為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，以氏4為x軸，AP為y軸，5N為2軸,

c

E

ft

Py

則有5（0,0,0）,^（2,0,0）,尸（0,2,0）,F（1,0,0）,￡>（1,0,2）,

則市=1-1,1,-1）麗=[，TT：麗=（T2,0）,

設(shè)平面。￡廠(chǎng)的法向量為々二（再,必,zj,

一3

\DE-nx=0,-5西+%一10,

則—J即〈z

跖4=0,2___

L2不必句一5

令必=3,貝!J再=2,Z]=0,故々=（2,3,0）,

設(shè)平面尸￡尸的法向量為%=（%2，%，Z2），

3

~X2一%—2=0,

2

FP-n-0,

2、一々+2%-0,

令為=1,貝!JX2=2,z2=2,故%=（2,1,2）,

4+3_7回

cos（〃i，〃2

設(shè)二面角?！闒—尸的平面角為9,則sin8二

故二面角。-￡尸-尸的正弦值為------.

39

21.【解析】（1）由％2一、一6〉0得：％<-2或x〉3,

即g（V—X_6）的定義域?yàn)椋鹸|x<-2或X〉3卜

令加=%2-%-6,y=ln加在