2022年上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測卷子

高一數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題：此題共8小題，每題總分值5分，共40分.

1.設(shè)z=」一+j,則上卜（）

1+Z11

A.|B.—C.—D.2

222

（答案）B

（解析）

（分析）對復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡得2=」+1[,再進(jìn)行模的計(jì)算，即可得答案；

22

應(yīng)選：B.

（點(diǎn)睛）此題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考考運(yùn)算求解能力，屬于根底題.

2.2023年湖南省新高考實(shí)行“3+1+2"模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地

理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式.某同學(xué)已選了物理，記事件4="他選擇政治和地理"，事

件8="他選擇化學(xué)和地理"，則事件/與事件8（）

A.是互斥事件，不是對立事件B.是對立事件

C.既不是對立事件，也不是互斥事件D.無法推斷

（答案）A

（解析）

（分析）依據(jù)對立事件、互斥事件的定義推斷即可；

（詳解）解：依題意某同學(xué)已選了物理，則還有政治和地理，政治和化學(xué)，政治和生物，地理和化學(xué)，地

理和生物，化學(xué)和生物這6種情況，

所以事件A與事件B是互斥事件，但是不是對立事件；

應(yīng)選：A

3.已知兩條不同直線/,m,兩個(gè)不同平面a,/?,則以下命題正確的選項(xiàng)是

A.假設(shè)a//￡,Iua,mu/3,則/〃陽

B.假設(shè)a///7,mlla,l工。,則/1加

C.假設(shè)a_L/7,Ha,m10,則〃/加

D.假設(shè)a_L〃，IHa,ml1（3,則/，加

（答案）B

（解析）

（分析）

對A,/〃加或/，加異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對B,11m,所以該選項(xiàng)正確；對C,11m,所以該選項(xiàng)

錯(cuò)誤；對D,/，〃?或/〃加或/，加相交或/,〃?異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

（詳解）對A,假設(shè)a//Q,lua,mu。，則"/加或/，加異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對B,假設(shè)a///?,I工。,所以因?yàn)閣//a,則/，〃？，所以該選項(xiàng)正確；

對C,假設(shè)Ila,mV/3,則/，加，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對D,假設(shè)l//a,ml1/3,則加或/〃加或/,加相交或/，加異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

應(yīng)選：B.

（點(diǎn)睛）此題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的命題真假的推斷，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握

水平和空間想象能力.

4.設(shè)xeR,則“F—5x<。"是"|x—1|<1"的

A.充分而不必要條件

B,必要而不充分條件

C充要條件

D.既不充分也不必要條件

（答案）B

（解析）

（分析）

分別求出兩不等式的解集，依據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.

（詳解）化簡不等式，可知0<x<5推不出k―1|<1；

由上一1|<1能推出0<x<5,

故"/一5x<0"是"|x-11<1"的必要不充分條件,

應(yīng)選B.

（點(diǎn)睛）此題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來推斷條件.

5.已知。=log?5,人=[g），c=2^9則。，b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

（答案）c

（解析）

（分析）

依據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別推斷。，b,。的范圍，即可得出結(jié)果.

（詳解）因?yàn)閍=log2；<bg21=0,6==2?=4,]<c=2；=&<4

所以a<c<b.

應(yīng)選：C.

6.如圖，測量河對岸的塔高時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C,D,測得

ZBCD=150,NCBD=3。。,CD=10Jim，并在。處測得塔頂A的仰角為45。，則塔高28=（）

A.30后mB.20V3mC.30mD.20m

（答案）D

（解析）

（分析）由已知在△88中，利用正弦定理可求C8的值，在中，由4c8=45。，可求塔高

AB=BC的值.

（詳解）解：在△8。。中，ZBCD=\5°,ZCBD=30°,8=10鬲，

由正弦定理----------=----------，可得-------=-(--------------r

sinZCBDsinZCDBsin30°sin(180°-15°-30°)

可得C8=2O0xJ=20，

2

在中，乙4cB=45。,

所以塔高/8=8C=20m.

應(yīng)選：D.

7.函數(shù)/(x)=x+cosx的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

(答案)A

(解析)

(分析)

先推斷〃x)>0在(0,1］上恒成立，排解CD；再推斷/(x)=x+cosx在［-1,0］上單調(diào)，計(jì)算出了(—1)

，/(0)，依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可得出結(jié)果.

(詳解)當(dāng)0<x<l時(shí)，0<cosl〈cosxKcos0=l,所以/(x)=x+cosx>0恒成立，故(0,；)和

［5,1J內(nèi)不可能存在零點(diǎn)：排解CD.

當(dāng)—時(shí)，y=x單調(diào)遞增，y二COSX也單調(diào)遞增，所以/(x)=x+cosx在［―1,0］上單調(diào)遞

增；

又/(x)=x+cosx在H上為連續(xù)函數(shù),且/(一1)=一1+COS(-1)=一1+cosl<0,

/n1(1)1171.

->——+cos—=0,

［2)2<<2)2226

/(0)=cos0=l,因此/(一1>/卜；卜o,/13/⑼>心

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，僅區(qū)間1-1,一；）內(nèi)有零點(diǎn)，即A正確，B錯(cuò).

應(yīng)選：A.

8.已知四邊形488中，AC1BD,AB=BC猾=2,點(diǎn)E在四邊形上運(yùn)

動(dòng)，則麗.麗的最小值是（）

A.3B.-1C.-3D.-4

（答案）C

（解析）

（分析）由題意分析可知四線性力8c。關(guān)于直線8。對稱，且8C_LC3,只需考慮點(diǎn)E在邊8C,CD上

的運(yùn)動(dòng)情況即可，然后分類商量求出EB-ED的最小值.

如下圖，因?yàn)榍?8=3C,所以8。垂直且平分力C,則△ZCZ）為等腰三角形，又

AC=CD=2y/3＞所以△4C。為等邊三角形.

則四邊形48c。關(guān)于直線8。對稱，故點(diǎn)E在四邊形/BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需考慮點(diǎn)E在邊3C,CD上的

運(yùn)動(dòng)情況即可，

nr\

因?yàn)?8=8C=^=2,易知6c2+c02=5。2,即3cl.C。，則赤?麗=0，

①當(dāng)點(diǎn)E在邊8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)麗=幾赤（0W/IW1）,則反=（/—1）在，

.-.EBED=ACB-（A-l）CB=4A（A-l）,當(dāng)2=（時(shí)，麗.麗的最小值為一1；

②當(dāng)點(diǎn)￡在邊C￡）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)歷=左麗（0W左41）,則沅=（左一1）①，

.■.EBEb=（EC+CByED=（k-\）CDkCD=nk（k-1）,當(dāng)4=g時(shí)，麗.麗的最小值為一3；

綜上，麗?麗的最小值為-3；

應(yīng)選：C.

（點(diǎn)睛）此題考查向量的數(shù)量積及數(shù)量積的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用、分類商量思想的運(yùn)用，

難度稍大.

二、多項(xiàng)選擇題：此題共4小題，每題總分值5分，共20分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，局部選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位:

千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如下圖的頻率分布直方圖，則（）

A.頻率分布直方圖中。的值為0.04

B.這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為20

C.這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5

D.據(jù)此可以估量該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25

（答案）ACD

（解析）

（分析）利用頻率之和為1可推斷選項(xiàng)A,利用頻率與頻數(shù)的關(guān)系即可推斷選項(xiàng)B,利用頻率分布直方圖

中眾數(shù)的計(jì)算方法求解眾數(shù)，即可推斷選項(xiàng)C,由百分位數(shù)的計(jì)算方法求解，即可推斷選項(xiàng)D.

（詳解）解：由（0.01+0.07+0.06+4+0.02）x5=1,解得。=0.04,應(yīng)選項(xiàng)A正確;

體重不低于60千克的頻率為（0.04+002）x5=0.3,

所以這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為0.3x100=30人，應(yīng)選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為"產(chǎn)=52.5,應(yīng)選項(xiàng)C正確；

因?yàn)轶w重不低于60千克的頻率為0.3,而體重在［60,65）的頻率為0.04x5=0.2,

所以計(jì)該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為60+5X：=61.25,應(yīng)選項(xiàng)D正確.

應(yīng)選：ACD.

10.將函數(shù)/（x）=sin（2x-°）［o<0<搟）的圖象上全部的點(diǎn)向左平行移動(dòng)。個(gè)單位長度，得到偶函數(shù)

“X）的圖象，則以下結(jié)論中正確的有（）

A.”x）的圖象關(guān)于點(diǎn)卜0）對稱

B.〃（x）的圖象關(guān)于x='對稱

c.人（力在展今上的值域?yàn)椋?g,乎］

D./?（x）在—上單調(diào)遞減

62

（答案）ABD

（解析）

（分析）

通過函數(shù)圖象的伸縮平移變換可得。的值，以及/（x）與/7（x）解析式，再依據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)推斷各個(gè)

選項(xiàng).

（詳解）函數(shù)/（》）=5由（2%一0"0<°<^的圖象上全部的點(diǎn)向左平行移動(dòng)?個(gè)單位長度,

2乃、

得〃(x)=sin2x-(p+TJ

又〃（x）為偶函數(shù)，故y軸為人（力的對稱軸,

27C7C兀

即一°+——=—+k兀,keZ,解得e=——kjv.keZ,

326

71冗

?/o<夕<一，?,.0=一,

26

.(c)2)

，/(x)=sinf2x--^j,h(x)=sin2x——十——=cos2x,

I63

”x）的對稱中心：令2x='+左乃，kwZ,工=?+?，keZ,即對稱中心為（?+與,0），keZ

71\

當(dāng)％=-1時(shí)，對稱中心為一蓼,。，故A選項(xiàng)正確;

I4；

令2x=k7i,kGZ,X=^-,AGZ,

”x）對稱軸:當(dāng)k=l時(shí)，對稱軸為X=］,故B選項(xiàng)正確;

2

兀2兀兀4冗

VXG..2xG—,//(X)=COS2XG-1,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

力（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：令2k兀WZXJTI+2k冗,keZ,即左"+左"，keZ,

H）1）1z\JIJI,

又ck7r,-+k7r,故函數(shù)"（x）在上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確；

_62J|_2J|_62_

應(yīng)選：ABD.

11.以下說法正確的選項(xiàng)是（）

A.假設(shè)函數(shù)/（力在（一1,1）存在零點(diǎn)，則/（一1）?/⑴<0肯定成立

B."VxeH,4一2X-3、0”的否認(rèn)是“孫）eR,■-2%-3=0”

C.設(shè)河為平行四邊形”88的對角線的交點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則為+礪+瓦+歷=2兩

D.假設(shè)2萬+礪+3反=6,。為口N6C所在平面一點(diǎn)，s匚和用“屋分別表示口80C和口。的

面積,則SQBQC:S0ABC=1：3

（答案）BD

（解析）

（分析）直接利用零點(diǎn)定理，命題的否認(rèn)，向量的線性運(yùn)算，向量的加法和三角形的面積的求法，逐一分

析各個(gè)選項(xiàng)，即可得出答案.

（詳解）解：對于A：假設(shè)函數(shù)/&）在（-L1）存在零點(diǎn)，且函數(shù)具有單調(diào)性，則/（-I）?/（1）<0肯定成

立，故A錯(cuò)誤；

對于B：“YXGR,》2一2萬一3/0的否認(rèn)是“叫,€&，x；—2%-3=0"故B正確；

對于C：如下圖:

——1_———1——

所以QW=—(08+0。)，OM=-(OA+OC),

22

所以方+%+雙+歷=4兩，故C錯(cuò)誤;

對于D：2OA+OB+3OC^0>

如下圖:

E

B

整理得：2（a4+OC）+（O5+dC）=6,取8c的中點(diǎn)為。，/C的中點(diǎn)為￡,

所以歷二-2瓦，

c=

所以設(shè)S.OBD=SCDO=t，2COD_2COE'SCOE=2

所以5皿=會(huì)，

由于?！隇榭贜BC的中位線,

所以*“BC=4X2=&,

故S[,BOC：，U5c=1：3.故D正確;

應(yīng)選：BD.

12.如圖，在正方體48cA中，點(diǎn)尸在線段4c上運(yùn)動(dòng)，則（

A.直線8。J平面4G。

TT

B.二面角4—CD—8的大小為一

2

c.三棱錐尸—4G。的體積為定值

KK

D.異面直線/P與4。所成角的取值范圍是

（答案）AC

（解析）

（分析）在A中推導(dǎo)出小DCJBDi，從而直線平面小C0；在B中依據(jù)正方體性質(zhì)顯然

不成立;在C中由8cli平面小C。，得到P到平面小CQ的距離為定值，再由△小G。的面積是定值,

從而三棱錐PAGD的體積為定值；在D中異面直線AP與AQ所成角的取值范圍是[。，1]即可求解.

在A中，A\C\i-BB\,B\D\C\BB(=5|,

???4G1平面8團(tuán)。,-.AtCtJ-BDi，同理，DCJBDi，

?.4GnoG=G，.,?直線BO4平面小G。，故A正確:

在B中，由正方體可知平面4C。不垂直平面/8CQ,故B錯(cuò)誤;

在C中，「小。中C，4Ou平面小C。，81at平面4G。，

平面AiCtD,

???點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，到平面小C。的距離為定值，

又△小G。的面積是定值，；?三棱錐產(chǎn)〃CQ的體積為定值，故C正確；

TT

在D中，當(dāng)點(diǎn)P與線段4c的端點(diǎn)重合時(shí)，異面直線/尸與4。所成角取得最小值為故異面直線ZP

與小。所成角的取值范用是故D錯(cuò)誤.

應(yīng)選：AC

（點(diǎn)睛）關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)正方體的圖形與性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定，三棱錐的體積公式，二面角、異

面直線所成角的概念，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.

13.已知向量加=[Gsin7-1）,/?=fcos—,cos--j,假設(shè)〃則cos[x—.

（答案）:

（解析）

（分析）利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換化簡得出sinj；-￡〕=:，利用二倍角的余弦

（26J2

公式可求得結(jié)果.

]X

+C0S

（詳解）由而_L[得---H.XX2xy/3.X2.x1X￡

m-n=V3sin-cos——cos—=——sin-----------sin———cos——

44422222222

1

=0,

2

故答案為：g.

14.關(guān)于x的方程/+（2。一。%—0+1=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)”的值為

（答案）±1

（解析）

（分析）設(shè)看為方程的實(shí)根，代入方程中化簡，然后利用復(fù)數(shù)相等的條件可求出實(shí)數(shù)。的值

（詳解）設(shè)X。為方程的實(shí)根，則x02+（2a-i）x0-ai+l=0,

的以x0~+ICIXQ+1—（x0+a）i=0,

x++1=0

所以l:n2a\xec，

一（XQ+Q）=0

所以（—4）2—2/+1=0,得/=],

所以a=±1,

故答案為：±1

15.為了了解一家公司生產(chǎn)的白糖的質(zhì)量情況，現(xiàn)從這家公司生產(chǎn)的白糖中隨機(jī)抽取了10袋白糖，稱出各

袋白糖的質(zhì)量（單位：克）如下：

495500503508498500493500503500

則質(zhì)量落在區(qū)間斤-S,+s]（朝表示質(zhì)量的平均值，s為標(biāo)準(zhǔn)差）內(nèi)的白糖有.袋.

（答案）7

（解析）

（分析）依據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)據(jù)，即可求得結(jié)果.

（詳解）由題可得：亍=木（495+500+503+508+498+500+493+500+503+500）=500；

2^^[25+9+64+4+49+9]=16,故可得s=4.

則區(qū)間A-s,4+s]即為[496,504].

故落在該區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)為：7.

故答案為：7.

“、|lnx|,0<x<2/

16.已知函數(shù)=、八,假設(shè)當(dāng)方程/（%）=加有四個(gè)不等實(shí)根不、為、七、匕，（用

[/（4-x）,2<x<4

<*2V七VX4）時(shí)，不等式h3?+X；+x；N4+11恒成立，則XI?X2=,實(shí)數(shù)上的最小值為

7

（答案）①.1

（解析）

（分析）依據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)畫出了（X）的圖象，結(jié)合題設(shè)/（x）="7,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及對

數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0<加<M2,利用對數(shù)的運(yùn)算易得X-X2=1,由對稱性可得

（4一天>（4一%）=1，再應(yīng)用參變別離有一二二一3+；*）恒成立,構(gòu)造

X3x4-1

g（x）=H-（X|+%2）,利用換元法結(jié)合根本不等式求最值，即可求上的最小值.

X3X4T

（詳解）當(dāng)2Vx<4時(shí)，0<4-x<2,

???=/（4-x）=|ln（4-x）|,/（x）如以下圖示：

??X[、x2.x3,X4對應(yīng)4B、C、。的橫坐標(biāo)，

由/⑵=ln2,故0<z?<ln2,因?yàn)閨lnxj=加引，又0<%<1<&<2

得一In%=Inx2=>Inxtx2=0=>x,x2=1

故答題空1的答案為：1.

由對稱性同理可得:(4-X3)-(4-X4)=1,

又因?yàn)?(x)=/(4-x)

得：毛=4一々，%4=4一玉，

別離參數(shù)得：人""一('+?),

X3&-I

_x22

、兒/X_1l(i+■；)一11—(#+考)_13-(%,+x2)

以——'—,

x3x4-1(4-^2)(4-^)-116-4(^+X2)

令X]+工2=%,則2<須+%2V—，EE(2,2),則g(x)=A(/)=——,

2216-4/

3

再令4一,=〃(一<〃<2)

2

.,—n~+8〃—31.313

則nh(t)=9(〃)=----------二一(一〃----F8)=—(77H—)+2,

4〃4n4n

??.M+->2V3(當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí)取

n

例〃)42一，即g(x)W2—，

.??^>2--)即實(shí)數(shù)上的最小值為2—史.

22

故答題空2的答案為：2-且.

2

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知加=(sinx,-JJ)，”=(COSX,COS2JC)函數(shù)=?

[1]求/(x)的最小正周期和最大值；

無2兀

[2]求〃x)在上的單調(diào)區(qū)間.

63

(答案)(1)最小正周期為兀，最大值為218.

2

Jr57r57r27r

(2)為單調(diào)遞增區(qū)間；—為單調(diào)遞減區(qū)間.

012J|_123_

(解析)

(分析)(1)依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換化簡，由正弦型三角函數(shù)求周期、最值即可；

7T

(2)依據(jù)自變量的范圍求出2x—-的范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性求解.

3

(小問1詳解)

、—f.V3,、1.1百.拒■兀、G

j(x)=m-n=cosxsinx---(1+cos2x)=—sin2x--cos2x-=sin(2x-y)--,

因此/a)的最小正周期為兀，最大值為218.

2

(小問2詳解)

當(dāng)xe—,時(shí)，042x—巴4n,

_63J3

7T7T

從而當(dāng)042x-；蕓，

32

即巴7E"45乃71時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，

612

當(dāng)—3(兀，即石■Wx?■時(shí)，/(x)單調(diào)遞減.

7T57r57r27r

綜上可知，/'(X)在上單調(diào)遞增；在-5V上單調(diào)遞減.

18.從①(a-c)(a+c)=Z>(a-b),②百acosC=csin4，③cos~1萬+C)+cosC=*三個(gè)條件中任選

一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答：

己知口/BC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知.

(1)求角。的大??；

(2)假設(shè)口Z8C為銳角三角形，b=2,求。的取值范圍.

(答案)選①②③(1)g；(2)(1,4)

(解析)

(分析)(1)選①：利用余弦定理以及己知條件可求得cosC的值，再結(jié)合角。范圍即可求解；選②：利

用正弦定理化邊為角可得tanC的值，再結(jié)合角。范圍即可求解；選③：利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)根

本關(guān)系可求得cosC的值，再結(jié)合角C范圍即可求解；

2兀

(2)利用正弦定理，結(jié)合8+C=q-將邊。轉(zhuǎn)化為角，再由銳角三角形求出8的范圍，利用三角函數(shù)的

性質(zhì)即可求解.

(詳解)⑴選①：?.,(a-c)(a+c)=b(a-b),

a1一。之=ab-b2.

Q2+/-c2=ab.

.-a1+b2-c2ah1

..cosC=---------------=------=—

lablab2

又???Ce(0,7r),.?.C=q

選②：:百4cosc=csin力，

由正弦定理得由sinAcosC=sinCsinA.

sin/*O,

?>*>/3cosC=sinC?tanC=V3.

7E

又丁CG(0,7t),：.C=—

選③：VCOS2I—+C14-cosC=-,

UJ4

2o5

/.(-sinC)+cosC=1-cos2C+cosC=—.

cos~C-COSCd—=0.

4

cosC=—.

2

Tl

又,..?！?0,兀)，.?.C

abc

(2)由正弦定理

sin4sin5sinC

a2

sinAsinB

2sin18+；

_2sinJ_2sin(5+C)

ci——J

sin5sinBsin5

sin4+百cosB

=1+——

sinBtan5

兀

???□46C為銳角三角形，C=-

3

八2兀c兀

0<----B<—

32兀c兀

可得〈，解得:—<B<一

兀62

0<5<-

2

?0,3），a<4.

tan5

的范圍是（1,4）.

19.在直三棱柱Z8C—中，D,￡分別是4G的中點(diǎn)?

（I）求證：4石//平面。石。；

（II）假設(shè)。AC=BC=\,"4=2.

（i）求二面角8—r）G—c的正切值；

（ii）求直線4E到平面G8。的距離.

（答案）（I）證明見解析；也；（ii）YS.

26

（解析）

（分析）（I）取￡8中點(diǎn)廠并連接EF,證明四邊形4。莊為平行四邊形，然后得到&E〃。尸即可;

（II）（i）連接8,首先得到然后可得二面角8—OG—C的平面角為N&9C,然后證

明8C,平面然后在H/DSCQ中求解即可；

（ii）利用VA.-C.BD=嚷4G。求解即可，

（詳解）證明：（I）取中點(diǎn)R并連接ER,

因?yàn)镋是AG的中點(diǎn)，所以EF〃BB「EF=^BBX

因?yàn)?。是的中點(diǎn)，所以4D〃BB「AQ=；BBi

所以A]D〃EF,A{D=EF,所以四邊形4。必為平行四邊形,

所以4E〃DF,

因?yàn)?EZ平面C18。，DFu平面C]BD,

所以4E〃平面Ga).

(II)(i)連接CD,因?yàn)?。=1,441=2,。是的中點(diǎn),

所以=所以乙4CD=45。，所以/。。。=45。，

同理可得NCCQ=45°,所以C0，G。，

因?yàn)镚。1BD,所以二面角8—OG-。的平面角為N8OC,

又CDIBD=D,所以平面C8。，

因?yàn)?Cu平面CBO,所以GOLBC，

因?yàn)橹比庵鵑BC—44G,所以CGJ■平面N8C,又BCu平面/8C,

所以CCj^BC，又C|OcC|C=G，

所以8C_L平面ZCG4，因?yàn)閏ou平面ZCG4,所以BCLCD,

易得CZ>=、/5,在R出38中可得tanN8DC=Cg=Y2，

CD2

所以二面角8-L>G一。的正切值為交

2

（ii）因?yàn)?E〃平面G3。，

所以直線A.E到平面QBD的距離等于點(diǎn)4到平面C[BD的距離，

設(shè)點(diǎn)4到平面C}BD的距離為h,

因?yàn)椤?CM。=,所以人SACIBD=BC.5△/￡/），

Ep/zx—xV2xV3=lx—xlxl,解得〃=2^,

226

所以直線A.E到平面C】BD的距離為逅.

6

20.為打造樣板賽事，某市舉辦“南粵古驛道定向大賽"，該賽事表達(dá)了“體育+文化+旅游”全方位融合開

展.本次大賽分年少組、成年組、專業(yè)組三個(gè)小組，現(xiàn)由工作人員統(tǒng)計(jì)各個(gè)組別的參賽人數(shù)以及選手們比賽

時(shí)的速度，得到如下統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖：

組數(shù)速度（千米/小時(shí)）參賽人數(shù)（單位：人）

年少組[6,8)300

成年組[8,10)600

專業(yè)組[10,12]b

頻率

組距

0.3

0.15\...................—

0.1-----------L-L—

06789101112速度(千米/時(shí))

(1)求m6的值；

(2)估量本次大賽全部選手的平均速度(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值作代表，最終計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到

0.01)；

(3)通過分層抽樣從成年組和專業(yè)組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪，求接受采訪的

2人都來自“成年組”的概率.

(答案)⑴a=0.2,b=300；(2)9.05千米/小時(shí)；(3)

(解析)

(分析)(1)由頻率和為1,求出。的值，再由頻率分布直方圖求出年少組的頻率，而年少組的人數(shù)為300

人，從而可求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可求出6的值；

(2)利用平均數(shù)的公式求解即可；

(3)先利用分組抽樣的定義求出成年組和專業(yè)組的人數(shù)，然后利用列舉法求解即可

(詳解)(1)由頻率分布直方圖可知

0.1+0.15+。+0.3+0.15+0.1=1,

/.a=0.2.

年少組人數(shù)為300人，頻率片=0.1+0.15=0.25,總?cè)藬?shù)〃=2”=1200人，

0.25

.??6=1200-300-600=300.

/.a-0.2,b=300.

(2)平均速度

v=6.5x0.1+7.5x0.15+8.5x0.2+9.5x0.3+10.5x0.15+11.5x0.1=9.05，

估量本次大賽的平均速度為9.05千米/小時(shí).

(3)成年組和專業(yè)組的參賽人數(shù)分別為600人、300人.

設(shè)在成年組和專業(yè)組抽取的人數(shù)分布為x,y,

6xy

則-------------------.

600+300600300

：.x=4,y=2.

，由分層抽樣在成年組中抽取4人，專業(yè)組中抽取2人.

設(shè)成年組中的4人分別用Z,B,C,。表示；專業(yè)組中的2人分別為a,6表示.

從中抽取兩人接受采訪的全部結(jié)果為：

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bh,CD,Ca,Ch,Da,Db,ab共15種.

接受采訪的兩人均來自成年組的全部結(jié)果為：

AB,AC,AD,BC,BD,CD共6種.

故接受采訪的兩人都來自成年組的概率為"=|.

21.會(huì)議指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將

重塑全球汽車行業(yè)的方案，2020年某企業(yè)方案引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，通過市場分析，全年需投入

10x2+100x,0<x<40

固定本錢3000萬元，每生產(chǎn)x（百輛）需另投入本錢夕（萬元），且y501x+^^-4500,x>40

X

由市場調(diào)研知，每輛車售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

⑴求出2020年的利潤S（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x1百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額一本錢）

[2]當(dāng)2020年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

-1Ox2+400x—3000,0<x<40

(答案)(1)S(x)=<1500-x-^^,x>40

x

（2）100百輛,最大利潤為1300萬

（解析）

（分析）（1）依據(jù)題意分情況列式即可；

（2）依據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)分別計(jì)算最值.

（小問1詳解）

由題意得當(dāng)0<x<40時(shí)，S(X)=500X-(10X2+100x)-3000=-1Ox2+400%-3000,

當(dāng)x240時(shí)，S(x)=500x-f501x+^^-4500^-3000=1500-%-^^,

\X)X

-10x2+400x-3000,0<x<40

所以S(x)=<10000s

1500-x--------,x>40

X

（小問2詳解）

由(1)得當(dāng)0<x<40時(shí)，S(X)=-10X2+400X-3000,

當(dāng)x=20時(shí)，5max(x)=1000,

200,當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=100時(shí)等號(hào)成立,

:.S(x)41500-200=1300,.”=100時(shí),5max(x)=1300,v1300>1000,

:.x=100時(shí)，即2020年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為1300萬元.

22.已知函數(shù)/(》)=與上為奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)b的值;

(2)假設(shè)對任意的xe[0』],有/(2/—后一女)+g<0恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍:

(3)設(shè)g(x)=bg?,[4'+4T-Mf(x)](加>0,且加H1),問是否存在實(shí)數(shù)加，使函數(shù)g(x)在

[l,log23]上的最大值為0?假設(shè)存在，求出加的值，假設(shè)不存在，請說明理由.

(答案)(1)6=-1；(2)|，+8)；(3)不存在m滿足條件，理由見解析.

(解析)

(分析)(1)由于函數(shù)在R上為奇函數(shù)，所以/(0)=0,從而可求出實(shí)數(shù)人的值；

(2)由于/(x)在R上單調(diào)遞增，且