2022-2023學年湖南省長沙市高一下冊第二次階段數學模擬卷

（含解析）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.設xeR,則“"萬”是“（l-2x）（x+l）<°，，的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據充分條件和必要條件的定義分析即可得解.

【詳解】當x>；時，l-2x<0,x+l>0,故（l-2x）（x+l）<0,

當x=-2時，（1一2x）（x+l）<0,則由（l-2x）（x+l）<0不能推出x>g,

所以“X>；”是“（1-2x）（x+1）<0”的充分不必要條件.

故選：A.

2.如圖所示，一個水平放置的四邊形ONBC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形

0‘H6'C',則原四邊形OZBC的面積是（）

【正確答案】B

【分析】根據斜二測畫法規(guī)則求出/。,8。，判斷。/8C的形狀，確定由此求

出原四邊形OZBC的面積.

【詳解】在正方形0‘H8'C'中可得B'O'=yf2A'O'=2√2，

由斜二測畫法可知BO=2B'O'=4√2，AO=A'O'=2,

B-OAYOB,OAHBC,ABIICO,

所以四邊形。ZBC為平行四邊形，

所以So”。=8O?Z0=4夜X2=8√Ξ?

故選：B.

3.已知復數Z滿足z=B等(αeR),若Iw=JiU,則復數Z為().

A.3—iB.—1—3i

C.3—i或—1—3iD.3—i或3+i

【正確答案】C

【分析】根據復數的模的計算求得。的值，再根據復數的除法運算即可求得答案.

【詳解】由Z=土史?有k+i∣∣z∣=∣4+2i∣,即后二T?√Td=2jJ,

Q+1

解得Q=±1,

4+211

當”=1時，z=l±^=^^-L(2+i)(l-i)=3-i,

當4=-1時，Z=書?=(4+21;TT)=(2+i)(TT)=T_3i.

故選：C

4.函數/(x)=(er-e")CoSX的部分圖象大致是()

【分析】判斷函數的奇偶性，并判斷XG(O,時.，函數值的正負，即可判斷選項.

【詳解】?.?∕(x)=(e^jt-ev)cosx,

,定義域為R，關于原點對稱，

由f(-?)=(ev-e^v)cos(-x)=-(e-x-ev)cosx--f(x)，

所以/(x)為奇函數，排除BD；

當Oc昔時，cosx>0,因為y=e-、為R上減函數，y=e'為R上的增函數，

則y=e-<e*為R上的減函數，且當X=0,V=。，則當0<χ<5,

e^x-e1<0.故/(x)<0,排除A.

故選：C.

5.科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一

號(如圖1)是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一

號”Ill型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，

創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄,彰顯了中國的實力“極目一號”HI型浮空

艇長53米，高18米，若將它近似看作一個半球，一個圓柱和一個圓臺的組合體，軸截面圖

如圖2所示，則“極目一號”In型浮空艇的體積約為()

Sl

A.2530乃B.3016π

C.3824πD.4350π

【正確答案】A

【分析】根據球、圓柱、圓臺的體積公式可求出結果.

【詳解】根據題意，該組合體的直觀圖如圖所示：

半球的半徑為9米，圓柱的底面半徑為9米，母線長為14米，圓臺的兩底面半徑分別為9

米和1米，高為30米.

則4球=→→π×93=486π(m3),%柱=?×92×14=1134?(m3),

/臺=∣×(92+9×l+l2)πx30=910π(m3),

所以2=曝球+%,柱+%臺=486τt+1134兀+910兀=2530兀(n√).

故選:A.

6.已知函數/(x)滿足/(e'T)=2x-l,/(a)+/?=。，則下列說法正確的是().

A.a+b=?B.a-3t-h=-

e

C.ah=?D.ah=—

e

【正確答案】D

【分析】用換元法求出/?),再用代入法即可解出答案.

【詳解】設t=e*τ,則X=Inf+1,.?.∕(∕)=21nr+l,f〉0.

由/(a)+∕'(b)=O,有21nα+l+21nb+l=0,即ln(ab)=-l,αb=L

e

故選：D

7.如圖，aLB,α∏A=/,A≡a,8e2，點48在棱/上的射影分別是4,4，若

AA1=BB1=2,/8=4,則異面直線力4與力田所成角的余弦值為()

1

D.-

ɑ-t3

【正確答案】C

【分析】分別取中點。,瓦/，結合三角形中位線性質可知所求角為/瓦加

或其補角，根據面面垂直的性質和勾股定理可求得。Ε。￡防的長，利用余弦定理可求得

COSNEDF,進而得到所求余弦值.

【詳解】分別取4練期,44件點。,￡,尸，連接DE,DF,EF,4E,

?;D,E,F分別為AιB∣,BBι，AA∣中點、，：.DE//AιB,DF//AB1且DE=1A∣B,

DF=-AB.,

21

???異面直線ABy與A1B所成角即為NEDE或其補角；

Qa_L/?,aΓ?β=l,AA1Ilf44∣Uα,/.AAxVβ,同理可知：BBlI.a；

?/AiE9ATBu0,AA[±ATE,AAx±AIB,

22

.?.AiB=√4-2=2√3.4旦=’(26『—22=2后,

22

.?.DF=^ABi=∣^2+(2√2)=√3,DE=g4B=6,

22

又4E=y∣(2也了+廿=3，.?.EF=√3+1=√10'

DERDF2-EF?_3+3-102

.?cosZ.EDF

2DE-DF2×?/?X?/?3

2

.?.異面直線ABi與48所成角的余弦值為I.

故選：C.

8.已知函數/(x)=InIX-2∣+/-4χ,若α=/(Iogz9),b=/(log418),c=∕(l),

則()

A.a>c>bB.c>b>a

C.a>b>cD.c>a>b

【正確答案】A

【分析】先判斷了(χ)的對稱性與單調性，再利用中間值法得Iog4l8<3<log29,最后利

用單調性比較大小即可.

【詳解】因為/(4τ)=ln∣4-x-2∣+(4-x『_4(4T)=/(x),

所以/(x)的對稱軸為χ=2,則有/(1)=∕(3),

又當x>2時，得/(x)=In(X-2)+/-4χ,

而y=ln(x-2)和y=f-4χ均在區(qū)間(2,+8)上單調遞增，

所以/(x)在區(qū)間(2,+8)上單調遞增，

又Iog29>Iog28=3,

2=Iog416<Iog418<Iog464=3,即l0g418<3<Iog29,

所以f(l0g418)</(3)</(Iog29),即b<c<4.

故選：A

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項

中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得0分.

9.己知α,b是兩條不重合的直線，a,/?是兩個不重合的平面，則下列說法中正確的是

()

A.若CZr1/=6,αuα,則直線“，6一定相交

B.若ɑ〃夕，aua,則α〃夕

C.若a〃b,bua,則直線“平行于平面α內的無數條直線

D.若α〃夕，aua,bu/3,則α與b是異面直線

【正確答案】BC

【分析】根據空間直線和平面平行的判定和性質即可逐項判斷.

【詳解】對于A,若a∏尸=b,αuα,則a〃b或。與6相交，A錯誤；

對于B,若a∣∣β,aua,由面面平行的性質可得：存在cu,使得M∕c,由線面平行的

判定可得。///，B正確；

對于C,若α∕∕b,bua,則因為在ɑ內存在無數條直線和b平行，故直線。平行于平面α

內的無數條直線，故C正確.

對于D,若aHβ,αuα,buβ,則。〃6或。與6是異面直線，故D錯誤；

故選：BC.

10.定義：a,B兩個向量的叉乘〃力=向?∣,?sinG,力，則以下說法正確的是（）

A.若GXB=0，則）B

B.λ[a×b^=（2a）×6

C.若四邊形N3C。為平行四邊形，則它的面積等于方X而

D.若才X力=JJ,ab=i>則歸+母的最小值為J7

【正確答案】AC

【分析】對于A,根據叉乘定義，判斷萬，B至少有一個為零向量或Sin〈2萬〉=0,即可判

斷；對于B,根據叉乘定義，討論/≥0和2<0,即可判斷；對于C,結合平行四邊面積即

可判斷；對于D,由才X力=VL展B=I推出∣M∣?∣B∣=2,結合向量模的計算以及基本不

等式即可判斷.

【詳解】對于A,a×b=|?|-1?∣?sin6^=0,

若萬，E至少有一個為零向量，則滿足1//B；

若值，方均不為零向量，則Sin〈2萬〉=0，即萬，B同向或反向，即]〃B，故A正確,

對于B,λ(a×b)=λ?a???b??sin(a,b)，

(λa)×b^λa???b??sm(λa,h)，

若4N0,則(λa)×h=λ?a???h??sin[a,h')-1?B?Λ(α×b)=(λa)×b；

若彳<0,{λia)×b=-λ?a?-?b??sin(a,δ),1??λ(a×b)≠{λa)×b,故B錯誤;

對于C,若四邊形ZBC。為平行四邊形，

則它的面積等于I方∣?∣N5∣?sin〈刀,而〉，即存xZ5,故C正確；

對于D,a×b-?a???b?-sm(a,b)=>/3，

a-b=?a?-?b?-cos{a,b)=l,兩式平方后相加得(|町-|司)2=4,即舊卜歷|=2,

又M+5∣=JN2+2展B+戶=Jl5∣2+∣5∣2+22λ∕2∣0∣?∣6∣+2=√6-

當且僅當I。|=|51=J5時等號成立，

故11+5I的最小值為J4，故D錯誤，

故選：AC

11.正方體N8CQ-48∣CQ的棱長為a，E在棱4瑪上運動(不含端點)，則()

A.側面/42。中不存在直線與DE垂直

Tl

B.平面4。E與平面488所成二面角為一

C.E運動到44的中點時，4。上存在點P,使BC〃平面NEP

D.P為4C中點時，三棱錐E-PBG體積不變

【正確答案】BCD

【分析】由線垂直于面，則線垂直于面內的任意一條線，可判斷A選項，由二面角的定義

找到平面4。E與平面ZBCO所成二面角，可判斷B選項，由線面平行的判定定理可以找

到點P,可判斷C選項，由線面平行的判定定理可得E到平面尸8￡的距離為定值，可判斷

D選項.

【詳解】對于《選項，E在棱44上運動時，OEU平面44。。，連接4。，ADy,

則AD1，平面AlBICD,：.AD1IDE,A錯誤.

D[工,

O

------------?

π

對于8選項，平面4DE與平面ZBCO所成二面角即為N4ZX4=—,8正確.

14

對?于C選項，BC//AD,：.BC//^\AED,

Λt-----------?

...當P是小C與平面ZEZ）的交點時，BC〃平面AEP,C正確.

對于。選項，連接BG與BC交于。，連接P0,

則在“∣片。中，PO∕∕A?B?,又,：尸OU平面PBCl,AMU平面P8C∣,

.?.4S〃平面PBG,.?.E到平面PBG的距離為定值.

三棱錐E-尸8G體積不變，。正確.

故選：BCD

12.已知函數＜(X)=Sin"x+cos"x(∏eN,).則下列說法正確的是()

A./(x)在區(qū)間一號：上單調遞增

B.右(X)在一5，°上的值域為一等

C.κ(χ)的最小正周期為T

D./(x)的圖象可以由函數g(x)=[sin4x的圖象，先向左平移?個單位，再向上平移,

個單位得到

【正確答案】ACD

【分析】對于A,利用輔助角公式及正弦函數的單調性即可求解：對于B,根據立方和公

式及輔助角公式，利用換元法及函數單調性的定義即可求解；對于C、D,根據同角三角函

數的平方關系及二倍角公式，結合余弦函數的周期公式及三角函數的平移變換即可求解.

【詳解】對于A,由題意可得：/(X)=SinX+cosx=J5sin∣x+,

因為x∈—?-,所以x+]∈——,?,且y=sinx在一五，,上單調遞增，

???/；(力在區(qū)間一K上單調遞增，故A正確；

對于B,由題意可得：

(x)=sin3x+cos3x

=(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)=(SirLX+cosX)(I-SinXCOSX),

令f=sinx+cosx=+,則SinXCoSX=T，可得

31

構建〃(/)二萬/—5J,t∈[―1,i],

貝U對?4,t2e[-i,↑]9tx<t29有

=T2)_g(U_g)=g(，l-2)(3_彳_他Y)<0，

故Mf)在[—1』上單調遞增，故Mf)在[—1』上的值域為[-15，

所以力(X)的值域為[-1,1],故B錯誤;

對于C、D,由題意可得：

4422222

∕4(x)=sinx+cos%=(sinx+cosx)-2sinx?cosx=1-?sin2^

iII-cos4xI.3

=I——×----------=—cos4x+—,

2244

故∕Kχ)的最小正周期為r=m=T，故C正確；

1π

函數g(x)=-sin4x的圖象，先向左平移g個單位，得到

48

(π}1.Y吟1.a,

y=g∣X+—=—sι∏4x+-=—sin4x+-=—cos4x,

I8)4I8；4I2)4

313

再向上平移2個單位，得到N=上cos4x+±=y；(x),故D正確.

444

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

32

13.己知α>0,b>0,α+6=l,則一+一的最小值為_____.

ah

【正確答案】5+2√6

?????J?

【分析】根據題意，由一+—=（一+—）（。+6）=—+心+5,結合基本不等式，即可求解.

ahahah

【詳解】由已知4〉0,Z?>0,α+b=l,則

23佶+3](α+b)="+曳+5i2.3b

—+—生次+5=5+2√6.當且僅當任

ba?ba)babab

4+6=1時等號成立.

故答案為.5+2√6

14.已知正四棱錐的所有棱長均為2,且該四棱錐的五個頂點在一個球面上，則這個球的表

面積S=.

【正確答案】8π

【分析】設尸。是正四棱錐尸―/8。的高，求出尸。，即可得到。為球心，半徑R=J],

從而求出外接球的表面積.

【詳解】如圖，設尸。是正四棱錐尸一ZBCO的高，則尸O=JPZ2_4。2=日

則04=08=OC=OD=OP=、回，即。為球心，半徑為R=J5，

所以外接球的表面積為4兀&2=8兀.

故8%

15.在A48C中，4=60°,8C=2G,3C邊上的高為2,則滿足條件的—8C的個數為

【正確答案】2

【分析】根據正弦定理計算出三角形外接圓半徑，求得Z到BC的距離的最大值，和BC邊

上的高為2比較，即可確定答案.

【詳解】因為中，A=60。,BC=26，

1Rr

所以^ABC的外接圓半徑為R=—X----r=2,

2sin60

即/位于以2為半徑的圓弧沅上，

如圖，當AZ6C為正三角形時，此時頂點/到BC的距離的最大值為2仃sin60°=3>2,

如圖當4位于瓦尸處時，此時BE,C尸為外接圓直徑，則EC,5C,E8L8C,

則EC=FB="-(2√J)2=2,滿足A=6QQ,BC=2√3,BC邊上的高為2,

故滿足條件的“BC的個數為2個，

故2

方法點睛：解答本題判斷符合條件的三角形個數問題，采用作圖分析即數形結合，即可判斷

得出結論.

16.已知實數X,y滿足log2J2y+1=3—>,2*+x=7,貝IJX+2y=.

【正確答案】6

【分析】將方程化簡整理，構造函數/(a)=2"+α-7,從而得到6-2y=x即可求解.

3j,62y

【詳解】log2√2^+l+y=3=>2^=y∣2y+ln2-=2y+1,

令6-2y=f,則有、=7-∕=2'+∕-7=0，2*+x=7n2'+x-7=0,

設函數/(α)=2"+α-7,顯然該函數為增函數，/(2)√(3)=-l×4=-4<0,

所以函數/(。)=2"+。一7在(2,3)上有唯一的零點，

因此/=X=>6—2y=x=>x+2y=6,

故答案：6.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

17.已知同=4,W=2,且Z與B夾角為120°，求:

（I）13”年

（2）Z與】一%的夾角的余弦值.

【正確答案】（1）2√43

⑵等

【分析】⑴利用RZ_?=JgZ-J『來計算求2一同；

（2）設Z與1—各的夾角為6,先求出|￡-囚，再利用向量夾角公式來計算即可.

【小問1詳解】

由已知可得Z?B=4x2xcosl20°=—4，

2

.?.∣30-q=J(3￡_g)=y∣9a-6ab+b=y∣9×?6-6×(-4)+4=2y/43；

【小問2詳解】

設Z與的夾角為。，

又卜-B∣二J("=后-2a-b+b2=Jl6-2x(-4)+4=2√7^.

a-a?b

=PpPψPfpj=16-(-4)F5-/7.

18.在△力BC中，角A,8,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足αcosC+GaSinC-b-C=0.

（1）求角Z；

（2）若a=5求4/8C面積的最大值.

71

【正確答案】（1）-

3

②

4

【分析】（1）因為αcosC+6αsinC-b-c=0,根據正弦定理“邊化角”，結合正弦兩角

和公式，即可求得角A；

（2）根據余弦定理求得Ac關系式，結合均值不等式和三角形面積公式，即可求得AZ8C的

面積的最大值.

【小問1詳解】

由αcosC+6αsinC-b-C=O，根據正弦定理得：

SirL4cosC+VisiMsinC-Sin5-sinC=0，

又8=兀一（Z+C）,代入上式得：SirL4cosC+GsirUsinC-sin（4+C）-SinC=0,

?/?sin^sine-CoSNsinC-sinC=0,

又SinC>0,所以JlSiM-cos/=1=>2sin=InSin

6,666

【小問2詳解】

由余弦定理得：

CoSZ="+'-----=?,代入a='得：b2+c2-3+hc>

Ibc2

根據基本不等式/+C2N2A,得：bc≤3,當且僅當b=c時，等號成立,

△Z8C的面積為：LbCSirL4=—―bc<??>

故A∕8C面積的最大值為空.

4

19.如圖，多面體EE中，四邊形N8C。為矩形，二面角Z—CO—口的大小為45°，

DEHCF,CDLDE,AD=2,DC=3.

（1）求證：BF〃平面4DE；

(2)求直線ZC與平面CDE/所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵返

13

【分析】(1)證明出平面BbV/平面4DE，利用面面平行的性質可證得結論成立；

(2)分析可知二面角A-CD-F的平面角為ZADE，過點A在平面ADE內作，OE,

垂足為點。，證明出4。，平面CQEp,可得出直線ZC與平面CZ)Ep所成角為乙4C。，

計算出/。、/C的長，即可求得NZCO的正弦值，即為所求.

【小問1詳解】

證明：因為四邊形ZBC。是矩形，所以，BCHAD,

因為BCu平面,Z0α平面6CE,所以ZD〃平面BCF,

因為DEHCF,6(=平面8€7"OEO平面BCE,所以。E〃平面BCf,

因為/DcDE=。，4D、OEU平面則平面BCT7〃平面/DE,

因為BbU平面86,所以，BF〃平面ADE.

【小問2詳解】

解：因為CO，/。，CDLDE,所以，二面角/-CO—E的平面角為/Z0E,

由題意可得NZz)E=45°，

又因為ZDcDE=O,AD.OEU平面NOE,所以，8_1平面/。后，

過點A在平面Nz)E內作NOLOE,垂足為點。，

因為ZoU平面ZOE,所以CDLNO,

又因為CD∏DE=O,CD、DEU平面CZ)E/，所以/OJ_平面Cz)E/，

連接CO,所以直線/C與平面CDE/所成角為NNC0,

因為CD1∕D,AD=2,DC=3,則ZC=√^FT5E7=√FTF=√E，

因為/OJ.DE,貝∣J/。=/DsinNADE=2×-=√2.

2

y40_√2_√26

所以SinNZCo

^C^√B--ΓΓ

20.已知函數/(x)=4SinXCOS[x+]J+JJ.將函數/(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)?/p>

原來的彳2，縱坐標不變，再將所得函數圖象向右平移Tr.個單位長度，得到函數

318

g(χ)的圖象.

(1)求函數/(χ)在區(qū)間[一：，上的單調遞減區(qū)間；

(2)若對于?xe0,∣,g?(x)-mg(x)-3≤0恒成立，求實數機的范圍.

ππ

【正確答案】(I)—

【分析】(I)利用輔助角公式可將/(X)化為2sin[2x+∕J,因?],則

TT2,71712TC

2x+,后由N=sinX在一工,丁上的單調遞減區(qū)間可得答案;

r6363

(2)由題可得g(x)=2sin3x+-,后利用V=SinX在—單調性可得

I6J166」

g(x)∈[-l,2].

方法1：令g(x)=/∈[-1,2],則?x∈0,,g2(x)-mg(?)-3≤0等價于

?f∈[-1,2],z2_mt-3≤O-后分fe[-1,o)√=0√∈(0,2[三種情況,利

3

用分離參數結合函數y=，-一單調性可得答案；

t

方法2：令g(x)=fG[-1,2],則?x∈0,,g2(x)-mg(x)-3≤0等價于

”2)≤

Vz∈[-1,2],〃⑺=-3≤0即可得答案.

Λ(-l)≤0

【小問I詳解】

/（X）=4sinxcosx+-÷6=4sinXf—ιcosx-6——s.in]x+

322

Z

=sin2x一出(1-cos2x)+也=sin2x+逝cos2x=2sin2x÷n

Eπππ兀2兀L八…πππ2π,.,

因x∈[----,—],則2x+}?∈,又歹=SmX分別在一7",大，彳,丁上單xz倜ra

463|_63」L62」123_

遞增和遞減，

JiJr2五JIJI-/、ππ

則2x+]∈n—,即函數/（χ）在區(qū)間?上的單調遞減區(qū)間為

ππ

.T2,6j5

【小問2詳解】

函數/'（X）的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腎，縱坐標不變,

3兀）.31I

所得解析式為2sin2x--+-=2sin3x+一,

I23）3

TT

又將所得函數圖象向右平移二個單位長度,

ππ

解析式為2sin3X——+—=2sin3x+J,則g(x)=2sin3x÷

\183

πππ7冗

因XG°,耳，貝!j3xH—∈

666

ττTTJT77Γ

又y=sinx在上單調遞增，在上單調遞減,

6226

π(π∣e[T,2].

則Sin3%+—∈1,故g(χ)2sin3x+—

I6Γ

π2

方法1：令g(x)=/e[-1,2],則Vx∈θ>->g(x)-mg(%)-3≤0等價于

V/∈?一mt-3≤0.

當f=O時，/一〃〃一3≤0O一3≤0，則此時可取任意值;

3\3、

當E∈(0,2]時，t2-mt-3≤0<^>m≥t---=>m≥t----

Zmax

注意到函數y=x,y=—L均在（0,2］上單調遞增，則函數y=/—,在（0,2］上單調遞增，則

Xt

=211

-1二—=加≥—；

/max22

3(3、

當，∈[-l,0)時,t2-mt-3≤0om≤t—n∕%≤t—

/?n?n

注意到函數y=χ∕=-L均在上單調遞增，則函數歹=?二在［-1,0）上單調遞增,

Xt

(3)3

則t---=-1------=2=>M≤2;

?Jmin-1

綜上可得.J≤aV2

2

π

方法2：令g(x)=1∈[-1,2],則?x∈0,-,g2(x)-mg(x)-3≤0等價于

3

MT)Koj1+w-3<0

X/f∈[-1,2],Λ(∕)=Z2-mZ-3≤0=><

Λ(2)≤0I4-2w-3≤0

則4≤加≤2.

2

關鍵點點睛：本題涉及求正弦型函數的單調區(qū)間及恒成立問題，難度較大.

（1）問較為基礎，（2）問為恒成立問題，方法1轉化為最值問題，方法2利用二次函數觀

點解決問題.

21.如圖，尸是直角梯形，NPCB=90°,PM〃BC,PM=I,BC=2,又/C=l,/∕CB=120°,

ABLPC,且直線∕Λ∕與直線PC所成的角為60。.

（I）求證：平面以Cj■平面/8C；

（2）求異面直線處與所成角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析;

【分析】（1）證明PC_L平面ZBC,原題即得證；

（2）設E是6C的中點，連接ME，PE，AE，證明NNPE是異面直線以與所成

角（或其補角），再利用余弦定理求解.

【小問1詳解】

依題意PC?L8C,PClAB,ABCBC=B,AB，BCu平面ASC,

所以尸。，平面/8C,由于尸CU平面PIC,

所以平面PNC_L平面ZBC.

【小問2詳解】

設E是BC的中點，連接ME,PE，AE，

由于尸W〃CE,PM=CE,所以四邊形PCEΛ/是平行四邊形，所以板〃尸C,

由于尸C，平面N6C,所以ME_L平面/6C,

而4E=J12+I2-