專(zhuān)題21等腰三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明】 3【題型2根據(jù)三線(xiàn)合一求解或證明】 6【題型3格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】 12【題型4根據(jù)等角對(duì)等邊證明或求解】 16【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】 22【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】 25【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】 32【題型8等邊三角形的判定】 42【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 49【題型10探究等腰/等邊三角形中線(xiàn)段間存在的關(guān)系】 55【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題】 66【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題】 75【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題】 82【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題】 86【題型15利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求解】 94【題型16線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定】 101【知識(shí)點(diǎn)等腰三角形】等腰三角形1.等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形．2.等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）.3.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）.易錯(cuò)混淆：1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒(méi)有明確是底還是腰,角沒(méi)有明是頂角還是底角，需要分類(lèi)討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.3.等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有1條或3條對(duì)稱(chēng)軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則b26.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線(xiàn)將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線(xiàn)段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．等邊三角形等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形.等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.2）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.易錯(cuò)混淆：1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合．6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=3垂直平分線(xiàn)1垂直平分線(xiàn)的概念：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（或線(xiàn)段的中垂線(xiàn)）.性質(zhì)：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.易錯(cuò)混淆：對(duì)于含有垂直平分線(xiàn)的題目，首先考慮將垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩端點(diǎn)連接起來(lái)．【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明】【例1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C=30°，則∠ABO的度數(shù)為（

）

A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠OBA=∠OAB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=60°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠AOB度數(shù)和得出∠OAB=∠OBA．【變式1-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在矩形ABCD邊上，連接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，則∠AOF=．【答案】46°或106°【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分點(diǎn)F在AB上和BC上兩種情況討論即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠ADO=∠OAD，∵∠ADB=38°，∴∠ADO=∠OAD=38°∴∠AOB=∠ADO+∠OAD=76°，如圖所示，當(dāng)F點(diǎn)在AB上時(shí)，

∵∠BOF=30°，∴∠AOF=∠AOB?∠BOF=76°?30°=46°如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，

∵∠BOF=30°，∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°，故答案為：46°或106°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的外角的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)DE的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，連接DB'，EB'，分別與AC相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF=8

【答案】4.5【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和折疊的性質(zhì)證明∠A=∠B'，進(jìn)而證明△AFD∽△B'FG，則AF【詳解】解：∵AC=BC=16，∴∠A=∠B，由折疊的性質(zhì)可得∠B=∠B∴∠A=∠B又∵∠AFD=∠B∴△AFD∽△B∴AFB'F∴GF=3.5，∴CG=AC?AF?GF=4.5，故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角等等，證明△AFD∽△B【變式1-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE=BF，

(1)如圖①，求證△AED≌(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H，在不添加任何軸助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖②中四個(gè)角（【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC=BE，BC∥AD，進(jìn)而有∠ADE=∠EBF，從而利用SAS即可證明結(jié)論成立；（2）先證四邊形ABCD是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD，又證△ABE≌△CDHAAS，得∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，由（1）得△AED【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BE=BC∴AD=BC=BE，BC∥AD，∴∠ADE=∠EBF，∵DE=BF，∠ADE=∠EBF，∴△AED≌（2）解：∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由如下：∵AB=AD，四邊形ABCD∴四邊形ABCD是菱形，BC∥AD，AB∥CD∴AB=BC=BE=CD=AD，∠ADE=∠EBF，∠ABE=∠CDH，∴∠BEA=∠BAE，∵CH∥∴∠BEA=∠DHC，∴△ABE≌∴∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，由（1）得△AED≌∴∠AED=∠EFB，∵∠AED+∠BEA=∠EFB+∠EFC=180°，∴∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及等角的補(bǔ)角相等．熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)三線(xiàn)合一求解或證明】【例2】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若△ABC的面積是24，PD=1.5，則PE的長(zhǎng)是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【答案】A【分析】連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，先由等腰三角形“三線(xiàn)合一“性質(zhì)，證得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，求出S△EGD=3，然后證△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，從而得DG=3，即可由三角形面積公式求出EG長(zhǎng)，由勾股定理即可求出PE長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，∵AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD=12∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△AED=12∵G是AD的中點(diǎn)，∴S△EGD=12∵E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG=12BD=12∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=12CD∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD=12GD?EG=3，即∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE=EG故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形中線(xiàn)分三角形兩部分的面積相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC=

【答案】2【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接AC,CD，先根據(jù)勾股定理可得AC=BC=10,CD=5【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接AC,CD，

∵AC=1∴AC=BC，又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴sin故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、等腰三角形的三線(xiàn)合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．

(1)求證：∠EAD=∠EDA；(2)若∠C=60°，DE=4時(shí)，求△AED的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）由∠B=∠AED求出∠BAE=∠CED，然后利用AAS證明△BAE?△CED，可得EA=ED，再由等邊對(duì)等角得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)求出DF和AD，然后利用勾股定理求出EF，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵∠B=∠AED，∴180°?∠B=180°?∠AED，即∠BEA+∠BAE=∠BEA+∠CED，∴∠BAE=∠CED，在△BAE和△CED中，∠B=∠C∠BAE=∠CED∴△BAE?△CEDAAS∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，由（1）知EA=ED，∵∠AED=∠C=60°，∴∠AEF=∠DEF=30°，∵DE=4，∴DF=1∴AD=2DF=4，EF=D∴S△AED

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE,CE,OE，且BE=CE．(1)如圖1，求證：△BEO≌△CEO；(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)△DEG、△DEH、△BFO、△CHO【分析】（1）利用SSS證明兩個(gè)三角形全等即可;（2）先證明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，則S△AOE=S△DOE，根據(jù)三線(xiàn)合一定理證明∴OE⊥AD，推出AB∥OE，得到S△AOE=SBOE，即可證明S△BFO=S△AEF由△BEO≌△CEO，得到∠OBF=∠OCH，S△BOE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OB=OC，∵BE=CE，OE=OE，∴△BEO≌△CEO（SSS）；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，又∵BE=CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴AE=DE，∴S△AOE∵OA=OD，AE=DE，∴OE⊥AD，∴AB∥∴S△AOE∴S△AOE∴S△BFO∵△BEO≌△CEO，∴∠OBF=∠OCH，S△BOE又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，∴△BOF≌△COH（ASA），∴S△BFO∴S△BOE∴S△OEF∴S△AOE∴S△DEH∵AC∥∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，又∵AE=DE，∴△AEF≌△DEGAAS∴S△AEF綜上所述，△DEG、△DEH、△BFO、△CHO這4個(gè)三角形的面積與△AEF的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線(xiàn)合一定理，矩形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定等等，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【題型3格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】【例3】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B均在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為3的平行四邊形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫(huà)出圖形即可：如以B為頂點(diǎn)，AC為底邊，即可做出等腰三角形；（2）作底為1，高為3的平行四邊形即可．【詳解】解：（1）如圖①中，此時(shí)以B為頂點(diǎn)，AC為底邊，該△ABC即為所求（答案不唯一）．（2）如圖②中，此時(shí)底AE=1，高?=3，因此四邊形ABDE即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握等腰三角形和平行四邊形的基本性質(zhì)．【變式3-1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，如果以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的所有格點(diǎn)C有（

）個(gè)．

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況：當(dāng)BA=BC時(shí)；當(dāng)AB=AC時(shí)；當(dāng)CA=CB時(shí)；即可解答．【詳解】解：如圖：

分三種情況：當(dāng)BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C1，C當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C3，C當(dāng)CA=CB時(shí)，作AB的垂直平分線(xiàn)，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C5，C6，C7綜上所述：滿(mǎn)足條件的所有格點(diǎn)C有8個(gè)，故選：C．【變式3-2】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．線(xiàn)段AB的端點(diǎn)均在網(wǎng)格上，分別按要求作圖，每小題各畫(huà)出一個(gè)即可．

(1)在圖1中畫(huà)出以AB為邊的平行四邊形ABCD，且點(diǎn)C，D在格點(diǎn)上；(2)在圖2中畫(huà)出等腰三角形ABE，且點(diǎn)E在格點(diǎn)上；(3)在圖3中畫(huà)出直角三角形ABF，且點(diǎn)F在格點(diǎn)上．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）找到格點(diǎn)C,D，根據(jù)AD=BC=2，且AD∥BC，即可得出四邊形（2）AB,AE分別為兩個(gè)小菱形的對(duì)角線(xiàn)，即可求解；（3）作菱形ABMN對(duì)角線(xiàn)AM,BN交于點(diǎn)F，則AF⊥BF，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，AD=BC=2，且AD∴四邊形ABCD是平行四邊形，

（2）解：如圖所示，AB,AE分別為兩個(gè)小菱形的對(duì)角線(xiàn)，∴AB=AE，∴△ABE是等腰三角形，

（3）解：如圖所示，∵AB,AN,MN,BM分別等于兩個(gè)菱形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，∴四邊形ABMN是菱形，對(duì)角線(xiàn)AM,BN交于點(diǎn)F，則AF⊥BF∴△ABF是直角三角形．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的定義，菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在4×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，分別按要求畫(huà)出圖形（僅用無(wú)刻度直尺，并保留畫(huà)圖痕跡）．(1)在圖1中，已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，畫(huà)出一個(gè)以AB為腰的等腰△ABC，且C在格點(diǎn)上．(2)在圖2中，已知△ABC為格點(diǎn)三角形，作出△ABC的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形兩腰相等進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)內(nèi)心是三角形的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，以及等腰三角形三線(xiàn)合一，進(jìn)行作圖即可．【詳解】（1）解：如圖所示，△ABC即為所求；∵AB=3∴△ABC是以AB為腰的等腰三角形；（2）解：在BC上取格點(diǎn)E，使AB=BE，連接AE，取BC的中點(diǎn)D，AE的中點(diǎn)F，連接AD,BF，AD,BF的交點(diǎn)即為△ABC的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ，如圖所示：∵AB=BE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴BF是∠ABC的角平分線(xiàn)，同理可得：AD是∠BAC的角平行線(xiàn)，∴AD,BF的交點(diǎn)即為△ABC的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心．熟練等腰三角形兩腰相等，三線(xiàn)合一，是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)等角對(duì)等邊證明或求解】【例4】（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，AB=CD=3，∠A=15°，∠C=15°，∠D=105°，則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD，且AE=CD，連接BE，CE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得AD=CE，AD∥CE，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BAE=60°，∠BCE=90°，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得BE=AB=3，∠ABE=60°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BC=EC，根據(jù)勾股定理求得BE=3【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD，且AE=CD，連接BE，CE，如圖：

∵AE∥CD，AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AD=CE，AD∥CE，∵AE∥CD，AD∥CE，∠D=105°，∴∠DAE=180°?105°=75°，∠DCE=180°?105°=75°，又∵∠DAB=15°，∠DCB=15°，∴∠BAE=∠DAE?∠DAB=75°?15°=60°，∠BCE=∠DCE+∠DCB=75°+15°=90°，∵∠BAE=60°，AE=CD，∴三角形ABE是等邊三角形，∴BE=AB=3，∠ABE=60°，∵∠DAB=∠DCB，∠DOA=∠COB，∠D=105°，∴∠D=∠ABC=105°，∴∠EBC=∠ABC?∠ABE=105°?60°=45°，∴∠EBC=∠BEC=45°，∴BC=EC，在Rt△BCE中，EC2∴2BC解得：BE=3即AD=3故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理等，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，D，E是△ABC邊上的點(diǎn)，ED∥BC，BE平分

(1)求證：BD=DE；(2)若BD:BC=2:3．直接寫(xiě)出S△ADE【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2:1【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠CBE=∠BED，由角平分線(xiàn)的定義可得∠DBE=∠CBE，即∠DBE=∠BED，即可解答；（2）由已知條件可得DEBC=23，再說(shuō)明△ADE～△ABC可得AEAC=DEBC=【詳解】（1）證明：∵ED∥∴∠CBE=∠BED,∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBE,∴∠DBE=∠BED∴BD=DE．（2）解：∵BD:BC=2:3，BD=DE，∴DEBC∵ED∥∴△ADE～△ABC∴AEAC=如圖：過(guò)D作DG⊥AC∴S△ADE∴S△ADE

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）折疊問(wèn)題是我們常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)解決的相關(guān)問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，MD'與BC

【猜想】】MN=CN【驗(yàn)證】請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線(xiàn)折疊∴∠CMD=∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=（）∴=（等量代換）∴MN=CN（）【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線(xiàn)MD'上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若CD=2，MD=4，求EC的長(zhǎng)．【答案】【驗(yàn)證】∠CMD'；∠MCN；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠CMD'；【驗(yàn)證】（1）由折疊得∠AME=∠A'ME，由平行線(xiàn)性質(zhì)，得∠AME=∠MEN，于是∠A'ME=∠MEN，進(jìn)而可得證MN=EN（2）由折疊得∠D=∠D'=90°，DC=D'C=2，MD=MD【詳解】解：【驗(yàn)證】∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線(xiàn)折疊∴∠CMD=∠CM∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=∠MCN（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠CMD∴MN=CN（等角對(duì)等邊

）【應(yīng)用】（1）EC=2MN

理由如下：∵由四邊形ABEM折疊得到四邊形A'∴∠AME=∠∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥∴∠AME=∠MEN（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠A∴MN=EN（等角對(duì)等邊）∵M(jìn)N=CN∴MN=EN=NC

即EC=2MN；

（2）∵矩形ABCD沿MC所在直線(xiàn)折疊∴∠D=∠D'=90°，DC=設(shè)MN=NC=x∴N在Rt△ND∴ND∴(4?x)2+2∴EC=2MN=5.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等角對(duì)等邊；根據(jù)折疊的性質(zhì)得到線(xiàn)段相等、角相等是解題的關(guān)鍵．【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【例5】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿(mǎn)足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．【答案】a＞8或a=4【分析】如圖，作線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交OB于點(diǎn)OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿(mǎn)足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)．【詳解】如圖，作線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交OB于點(diǎn)OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于H，當(dāng)MH＞MN，即MH＞4時(shí)，滿(mǎn)足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，當(dāng)MH=4時(shí)，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴當(dāng)a＞8時(shí)，滿(mǎn)足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，另外當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿(mǎn)足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，此時(shí)a=4，故答案為：a＞8或a=4【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)特殊位置解決問(wèn)題．【變式5-1】（2023·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在直線(xiàn)y=x上．若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：如圖，AB的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)y=x相交于點(diǎn)C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)為C2，C3，∵OB=6，∴點(diǎn)B到直線(xiàn)y=x的距離為6×22∵32∴以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與直線(xiàn)y=x沒(méi)有交點(diǎn)，AB的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)有一個(gè)所以，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是1+2=3．故選B．【變式5-2】（2023·江蘇·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線(xiàn)AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿(mǎn)足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為．【答案】4．【詳解】試題分析：如圖，當(dāng)AB=AD時(shí)，滿(mǎn)足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），則AB=AD=4，故答案為4．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；分類(lèi)討論．【變式5-3】（2023·江西南昌·三模）如圖，點(diǎn)A是直線(xiàn)y=?2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，y軸上存在點(diǎn)C，能使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(0,1),(0,0),(0,?3),(0,【分析】分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)三種情況，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式分別列出等式求解即可得．【詳解】由題意，設(shè)A(a,?2a+3),B(a,0),C(0,c)，則ABACBC由等腰直角三角形的定義，分以下三種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，AB=AC時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，則AB代入解得c=1或c=?3，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)或(0,?3)；（2）當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，AB=BC時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，由圖可知，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)；（3）當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，AC=BC時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，則AC代入解得c=3此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3綜上，所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),(0,0),(0,?3),(0,3故答案為：(0,1),(0,0),(0,?3),(0,3【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的定義與性質(zhì)、一次函數(shù)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，PQ∥BC，M為PQ上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PM=2MQ．連接AM、DM，若MA=MD，則AP的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】可令A(yù)P的長(zhǎng)為x，證明△APQ∽△ABC，可得APAB=PQBC，即PQ=32x【詳解】解：設(shè)AP的長(zhǎng)為x，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴APAB又∵AB=4，BC=6，∴PQ=3又∵PM=2MQ，∴PM=x，MQ=1∴PM=PA，又∵∠APM=90°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=2x，∴∠DAM=45°，又∵M(jìn)A=MD，∴∠ADM=∠DAM=45°，∴△MAD是等腰直角三角形，∴AD=2AM，即∴x=3，∴AP=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，通過(guò)相似比找出其他線(xiàn)段與AP的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線(xiàn)AF，交DE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB交BC于點(diǎn)N．則

【答案】4【分析】由尺規(guī)作圖可知，射線(xiàn)AF是∠BAD的角平分線(xiàn)，由于AD=AE=4，結(jié)合等腰三角形“三線(xiàn)合一”得M是DE邊中點(diǎn)，再由MN∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到N是邊BC中點(diǎn)，利用梯形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)得到MN=1【詳解】解：由題意可知AD=AE=4，射線(xiàn)AF是∠BAD的角平分線(xiàn)，∴由等腰三角形“三線(xiàn)合一”得M是DE邊中點(diǎn)，∵M(jìn)N∥AB，∴由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到BNNC=EMMD=1∴MN是梯形BCDE的中位線(xiàn)，∴MN=1在?ABCD中，CD=AB=6，BE=AB?AE=6?4=2，則MN=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形背景下求線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題，涉及尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、梯形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握梯形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE所在的直線(xiàn)折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'，D'，連接AD

(1)若∠DED'=70°(2)連接EF，試判斷四邊形C'【答案】(1)∠DAD'(2)矩形，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，沿BE所在的直線(xiàn)折疊，可得△AED（2）如圖所示，連接EF，點(diǎn)H是BE上的一點(diǎn)，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可得四邊形BED'F是平行四邊形，如圖所示，連接EC，EC'，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，∵沿BE所在的直線(xiàn)折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'∴DE=D∴AE=D'E∴∠D∵∠DED'=70°∴∠D∴∠DAD'的度數(shù)為（2）解：如圖所示，連接EF，點(diǎn)H是BE上的一點(diǎn)，

∵四邊形ABCD是矩形，∴DE∥BC，∠C=∠D=90°，即CD⊥BC，∵沿BE所在的直線(xiàn)折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'∴∠C'=∠D'=∠C=∠D=90°，由（1）可知，∠EAD∴∠ED∴AD'∥BE∴四邊形BED'F是平行四邊形，則BF=E如圖所示，連接EC，EC'，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，EG⊥BC，∴點(diǎn)G是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，則AE=DE=BG=CG，∴在△BEG,△CEG中，BG=CG∠BGE=∠CGE=90°∴△BEG≌△CEG(SAS∴BE=CE，∠EBG=∠ECG，∵沿BE所在的直線(xiàn)折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'∴∠C'=∠D'在△BCBC∴△BC∴EC'=EC∴EC∴EC∴四邊形C'∵∠C∴平行四邊形C'【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，矩形的判定，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握矩形折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'H⊥BC于點(diǎn)H，若

【答案】3+3或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，則四邊形ABEM為矩形AB=ME=6，AM=BE=3，由折疊可知BE=B'E=3，∠BEF=∠B'EF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠GFE=∠BEF，于是∠GFE=∠B'EF，F(xiàn)G=EG，利用勾股定理求得EH=1，證明△EMG∽△B'HE，利用相似三角形的性質(zhì)求得EG=332=FG，MG=32，于是FM=FG?MG=3，AF=3?3，則FD=AD?AF，代入計(jì)算即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，設(shè)B'F交BC【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，則∠AME=90°，∵點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=1∵四邊形ABCD為矩形，BC=6，∴AD=BC=6，∠A=∠B=90°，AD∥∴∠AME=∠A=∠B=90°，∴四邊形ABEM為矩形，∴AB=ME=6，AM=BE=3由折疊可知，BE=B'E=3∵AD∥∴∠GFE=∠BEF，∴∠GFE=∠B'EF∴FG=EG，∵B∴∠B在Rt△B'∵M(jìn)E⊥BC，B'∴∠EMG=∠B∵AD∥∴∠EGM=∠B∴△EMG∽△B∴EMB'H∴EG=332∴FM=FG?MG=3∴AF=AM?FM=3?3∴FD=AD?AF=6?(3?3當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)B'F交BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)同理可得：B'E=3，F(xiàn)P=EP，四邊形KCDF為矩形，F(xiàn)K=AB=6在Rt△B'∵△B∴B'EFP∴FP=332∴EK=EP?PK=3∴DF=CK=CE?EK=3?3綜上，F(xiàn)D的長(zhǎng)是3+3或3?故答案為：3+3或3?【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】【例7】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A3,0，B0,4，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；點(diǎn)D

【答案】?2,0?1?23,2+【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)tan∠ABC=2，設(shè)BE=x,CE=2x，則BC=5x，根據(jù)勾股定理可得求出AB=OA2+OB2=5，用等面積法推出OC=52x?3，最后在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC2+O【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵tan∠ABC=2∴CEBE設(shè)BE=x,CE=2x，根據(jù)勾股定理可得：BC=B∵A3,0，B∴OA=3,OB=4，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可得：AB=∵S△ABC∴12×5×2x=1在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：O∴52解得：x1∴OC=5∴C

∵B0,4，C∴OB=4,OC=2，∴BC設(shè)Dm,n則BD2=∵△BCD為等邊三角形，∴BC即m2整理得m2②?①得：4m+8n=12，則將m=3?2n代入①得：3?2n2解得：n1=2+3當(dāng)n=2+3時(shí)，m=3?2n=?1?23，即當(dāng)n=2?3時(shí)，m=3?2n=23?1故答案為：?2,0；?1?23,2+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，掌握等邊三角形三邊相等，以及勾股定理．【變式7-1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△BPC是等邊三角形，則陰影部分的面積為．

【答案】12?43/【分析】作PM⊥DC于M點(diǎn)，PN⊥BC于N點(diǎn)，首先求出正方形的面積，然后根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)求出PM和PN，從而求出△PBC和△PCD的面積，最后作差求解即可．【詳解】解：如圖所示，作PM⊥DC于M點(diǎn)，PN⊥BC于N點(diǎn)，

∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD=4，S正方形∵△BPC是等邊三角形，∴∠BCP=60°，BC=CP=4，BN=CN=2，∴PN=C∴S△PBC∵∠BCD=90°，∠BCP=60°，∴∠PCM=30°，∴在Rt△PCM中，PM=∴S△PCD∵S陰影∴S陰影故答案為：12?43【點(diǎn)睛】本題考查正方和等邊三角形的性質(zhì)，以及30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是射線(xiàn)BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，在AE的左側(cè)作等邊三角形AED，將線(xiàn)段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線(xiàn)段EF,連接BF．交DE于點(diǎn)M．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2．當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)BC=6，CE=2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM的長(zhǎng)．【答案】(1)DM=EM；(2)DM=EM仍然成立，理由見(jiàn)解析；(3)AM=39或21【分析】（1）可證得∠BAD=（2）連接BD、DF，可證明△BAD≌△CAE，從而∠ABD=∠ACE=120°，BD=CE，進(jìn)而得出∠DBE=60°，從而得出∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，從而B(niǎo)D∥EF（3）分為兩種情形∶當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，作AG⊥BC于G，可得出CG=3，AG=33，從而EG=CG+CE=3+2=5，進(jìn)而得出AE=213，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作AG⊥BC于G，可得出EG=1，AE=【詳解】（1）解∶∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴∠BAC=60°，∠BAE=12∴∠BAE=30°∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE∴∠BAD=∴∠DAE=∴DM=EM；（2）解：如圖l，DM=EM仍然成立，理由如下∶連接BD、DF，

∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=∴∠BAC?∴∠BAD=∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠ABD=∠ACE=180°?∴∠DBE=∴∠DBE+∴BD∥EF，∵CE=EF，∴BD=EF，∴四邊形BDFE是平行四邊形，∴DM=EM；（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，作AG?BC于G，

∵∠ACB=60°∴CG=AC?cos60°=1∴EG=CG+CE=3+2=5，∴AE=A由（2）知∶DM=EM，∴AM⊥DE，∴∠AME=90°∴∠AED=60°∴AM=AE?sin如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作AG⊥BC于G，

由上知∶AG=33∴EG=CG?CE=3?2=1，∴AE=A∴AM=27綜上所述∶AM=39或21【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”等模型．【變式7-3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)G為等邊△ABC的重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長(zhǎng)至點(diǎn)O，使得DO=DG，連接GB，GC，OB，OC

(1)求證：四邊形BOCG為菱形．(2)如圖2，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OG為半徑作⊙O①判斷直線(xiàn)AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點(diǎn)M為劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，求證：AE+AF為定值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)；②見(jiàn)解析．【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)H，連接AD，由△ABC是等邊三角形，G是重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，得AD?BC，DB=DC，進(jìn)而證明四邊形BOCG是平行四邊形，于是即可得四邊形BOCG為菱形；（2）①延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)H，連接AD，先證BG為∠ABC的角平分線(xiàn)，進(jìn)而求得∠ABG=∠GBO=30°，又由菱形的性質(zhì)得∠CBO=∠GBC=30°，從而有∠ABO=∠ABG+∠GBC+∠CBO=90°，于是根據(jù)切線(xiàn)的判定即可得出結(jié)論；②在優(yōu)弧BC上取一點(diǎn)N，連接BN、CN，由①得∠OBC=30°【詳解】（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)H，連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，G是重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴中線(xiàn)AD過(guò)點(diǎn)G，即A、G、D三點(diǎn)共線(xiàn)，∠BAC=∠ABC=60°∴AD?BC，DB=DC，∵DO=DG，∴四邊形BOCG是平行四邊形，∵AD?BC，∴四邊形BOCG為菱形；（2）①解：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)，理由如下：延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)H，連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，G是重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴中線(xiàn)AD過(guò)點(diǎn)G，即A、G、D三點(diǎn)共線(xiàn)，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°∴BG為∠ABC∴∠ABG=∵四邊形BOCG是菱形，∴∠CBO=∴∠ABO=∴AB⊥OB，∴直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)；②證明：在優(yōu)弧BC上取一點(diǎn)N，連接BN、CN，

由①得∠OBC=30°∵OB=OC，∴∠OBC=∴∠BOC=180°?∴∠N=12∵四邊形BNCM內(nèi)接于⊙O，∴∠BMC=180°?∴∠CBE+∵∠ACB=∴∠ACF+∴∠ACF=∵BC=AC，∠BCE=∴△BEC≌△CFA(∴AF=CE∵AE+CE=AC∴AE+AF=AE+CE=AC，即AE+AF為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定以及菱形的判定，熟練掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)以及切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型8等邊三角形的判定】【例8】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：△ABF是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)FA，交射線(xiàn)BE于點(diǎn)G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若AB=3+6，求△BGF【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①△BGF能為等腰三角形，∠ABE=22.5°；②AE=【分析】（1）由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到BF=BC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，求得∠CBE=75°，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到∠FBE=∠CBE=75°，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到BC=BF，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC=AB，得到BA<BE<BG，推出點(diǎn)B不可能是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，若點(diǎn)F是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，則有∠FGB=∠FBG=∠CBG，此時(shí)E與D重合，不合題意，于是得到只剩下GF=GB了，連接CG交AD于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=CG，得到△BGF為等腰三角形，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AHG=∠BCG，求得∠BGF=∠BGC=12∠FGH=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠GBC=∠GCB=②由①知，△CBG≌△FBG，要求△BGF面積的最大值，即求△BGC面積的最大值，在△BGC中，底邊BC是定值，即求高的最大值即可，如圖2，過(guò)G作GP⊥BC于P，連接AC，取AC的中點(diǎn)M，連接GM，作MN⊥BC于N，設(shè)AB=2x，則AC=22x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到GM=12AC=2x,MN=12AB=x，推出PG≤GM+MN=(2+1)x，當(dāng)當(dāng)G，M，【詳解】（1）證明：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到BF=BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵∠ABE=15°，∴∠CBE=75°，∵BC于BE對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為BF，∴∠FBE=∠CBE=75°，∴∠ABF=∠FBE?∠ABE=60°，∴△ABF是等邊三角形；（2）①∵BC于BE對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為BF，∴BF=BC∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AB，∴BF=BC=BA，∵E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，∴BA<BE<BG，∴點(diǎn)B不可能是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，若點(diǎn)F是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，則有∠FGB=∠FBG=∠CBG，此時(shí)E與D重合，不合題意，∴只剩下GF=GB了，連接CG交AD于H，

∵BC=BF∴△CBG≌△FBG∴FG=CG，∴BG=CG，∴△BGF為等腰三角形，∵BA=BC=BF，∴∠BFA=∠BAF，∵△CBG≌∠FBG，∴∠BFG=∠BCG∴AD∴∠AHG=∠BCG∴∠BAF+∠HAG=∠AHG+∠HAG=180°∴∠FGC=180°?∠HAG?∠AHG=90°，∴∠BGF=∠BGC=∵GB=GC∴∠GBC=∠GCB=∴∠ABE=∠ABC?∠GBC=90°?67.5°=22.5°；②由①知，△CBG要求△BGF面積的最大值，即求△BGC面積的最大值，在△BGC中，底邊BC是定值，即求高的最大值即可，如圖2，過(guò)G作GP⊥BC于P，連接AC，取AC的中點(diǎn)M，連接GM，作MN⊥BC于N，

設(shè)AB=2x，則AC=22∵∠AGC=90°，M是AC的中點(diǎn)，∴GM=1∴PG≤GM+MN=(2當(dāng)G，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取等號(hào)，∴△BGF面積的最大值，△BGF的面積====如圖3，設(shè)PG與AD交于Q，

則四邊形ABPQ是矩形，∴AQ=PB=x，∴QM=MP=x,GM=2∴GQ=1∵QE+AE=AQ=x，∴AQAE∴AE=2(2?1)x【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB和AC于點(diǎn)D，

(1)求證：AE=2CE；(2)連接CD，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)△BCD是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接BE，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性質(zhì)可證得AE=2CE（2）由直角三角形的性質(zhì)可得CD=BD，且∠ABC=60°，可證明△BCD為等邊三角形．掌握直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接BE，

∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∴∠CBE=∠ABC?∠ABE=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE∴AE=2CE；（2）解：△BCD是等邊三角形，理由如下：如圖：連接CD．∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴D為AB中點(diǎn)，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠ABC=60°，∴△BCD是等邊三角形．【變式8-2】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AB邊上求作一點(diǎn)P，使得PC=PB（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；(2)連接CP，若∠ABC=30°，證明△ACP為等邊三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）由題意可得，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)與AB的交點(diǎn)，作出線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)可得∠A=∠APC=60°，即可求證．【詳解】（1）解：由題意可得：點(diǎn)P在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)與AB的交點(diǎn)，如下圖：（2）證明：連接CP，∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，∴∠A=60°∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠APC=60°，∴△ACP為等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，尺規(guī)作圖－垂直平分線(xiàn)，等邊三角形的判定，等邊對(duì)等角等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．【變式8-3】（2023·河北承德·校聯(lián)考一模）如圖，已知在⊙O中，弦AB垂直平分半徑ON，NO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于P，連接AP，過(guò)點(diǎn)A，B的切線(xiàn)相交于點(diǎn)

(1)求證：△ABM是等邊三角形；(2)若⊙O的半徑為2，求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AP=2【分析】（1）連接OA，利用圓的切線(xiàn)性質(zhì)得到OA⊥MA，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠OAD=30°，根據(jù)等邊三角形的判定即可證明；（2）先根據(jù)勾股定理求出AD，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）證明：連接OA，設(shè)AB與ON的交點(diǎn)為D，

∵M(jìn)A，MB分別切⊙O于A，B∴OA⊥MA，MA=MB，∵弦AB垂直平分半徑ON，∴OD=1∴∠OAD=30°，∴∠BAM=60°，又MA=MB，∴△ABM是等邊三角形；（2）解：由題意得，OA=OP=2，由（1）可知OD=1，∴AD=OA2在Rt△APD中，AP=【點(diǎn)睛】本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例9】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線(xiàn)段AB=8，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線(xiàn)段BD，連接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF

【答案】3【分析】連接CF，BF，BF，CD交于點(diǎn)P，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得BF垂直平分CF，∠ABF=60°為定角，可得點(diǎn)F在射線(xiàn)BF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)【詳解】解：連接CF，BF，BF，∵∠DCE=90°，點(diǎn)F為∴FC=FD，∵∠E=30∴∠FDC=60°,∴△FCD是等邊三角形，∴∠DFC=∠FCD=60°；∵線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線(xiàn)段BD∴BC=BD，∵FC=FD，∴BF垂直平分CF，∠ABF=60°，∴點(diǎn)F在射線(xiàn)BF上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF最小，此時(shí)∠FAB=90°?∠ABF=30°，∴BF=1∵∠BFC=1∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，∴BC=1∵PB=1∴由勾股定理得PC=B∴CD=2PC=23∴S△BCD

故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線(xiàn)性質(zhì)，勾股定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．【變式9-1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連接AD，BE=3,BD=35．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為

【答案】230或【分析】連接OD，勾股定理求出半徑，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，求出CD的長(zhǎng)，勾股定理求出AC和AD的長(zhǎng)，分AP=AD和AP=PD兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接OD，

∵以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥BC，OA=OE=OD，∴∠ODB=90°設(shè)OA=OE=OD=r，則OB=OE+BE=3+r，在Rt△ODB中：OD2解得：r=6，∴OA=OE=OD=6，∴OB=9，AB=15，AE=12，∵∠C=∠ODB=90°，∴OD∥AC，∴OBOA∵DB=35∴CD=25∴BC=DB+CD=55∴AC=A∴AD=A∵△ADP為等腰三角形，當(dāng)AD=AP時(shí)，AP=230當(dāng)PA=PD時(shí)，∵OA=OD，∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，∴AP=OA=6，

不存在PD=AD的情況；綜上：AP的長(zhǎng)為230或6故答案為：230或6【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，勾股定理，等腰三角形的定義．熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，確定點(diǎn)P的位置，是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】3+33/【分析】根據(jù)題意，證明△CBE≌△CAF，進(jìn)而得出F點(diǎn)在射線(xiàn)AF上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接DC'，設(shè)CC'交AF于點(diǎn)O，則∠AOC=90°，則當(dāng)D,F,C'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，【詳解】解：∵E為高BD上的動(dòng)點(diǎn)．∴∠CBE=∵將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴CE=CF,∠ECF=∠BCA=60°,BC=AC∴△CBE≌△CAF∴∠CAF=∠CBE=30°，∴F點(diǎn)在射線(xiàn)AF上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，

作點(diǎn)C關(guān)于AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接DC'，設(shè)CC'交AF在Rt△AOC中，∠CAO=30°，則CO=則當(dāng)D,F,C'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，F(xiàn)C+FD∵CC'=AC=6，∴△ACO≌△∴∠在△C'DC∴△CDF周長(zhǎng)的最小值為CD+FC+CD=CD+DC故答案為：3+33【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)求線(xiàn)段和的最值問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為?8，6，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線(xiàn)y=?2x?6與AB交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段BC上，動(dòng)點(diǎn)N在直線(xiàn)y=?2x?6上，若△AMN是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M

【答案】M?8,6或【分析】如圖，由△AMN是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得N在以AM為直徑的圓H上，MN=AN，可得N是圓H與直線(xiàn)y=?2x?6的交點(diǎn)，當(dāng)M,B重合時(shí)，符合題意，可得M?8,6，當(dāng)N在AM的上方時(shí)，如圖，過(guò)N作NJ⊥y軸于J，延長(zhǎng)MB交BJ于K，則∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，證明△MNK≌△NAJ，設(shè)Nx,?2x?6，可得MK=NJ=?x，KN=AJ=?2x?6?6=?2x?12，而KJ=AB=8，則【詳解】解：如圖，∵△AMN是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴N在以AM為直徑的圓H上，MN=AN，∴N是圓H與直線(xiàn)y=?2x?6的交點(diǎn)，

當(dāng)M,B重合時(shí)，∵B?8,6，則H∴MH=AH=NH=4，符合題意，∴M?8,6當(dāng)N在AM的上方時(shí)，如圖，過(guò)N作NJ⊥y軸于J，延長(zhǎng)MB交BJ于K，則∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，

∵AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，設(shè)Nx,?2x?6∴MK=NJ=?x，KN=AJ=?2x?6?6=?2x?12，而KJ=AB=8，∴?2x?12?x=8，解得：x=?203，則∴CM=CK?MK=22∴M?8,綜上：M?8,6或M故答案為：M?8,6或M【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．【題型10探究等腰/等邊三角形中線(xiàn)段間存在的關(guān)系】【例10】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過(guò)面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題．(1)如圖一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G.利用面積證明：DE+DF=CG．(2)如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在B'處，點(diǎn)G為折痕EF上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的長(zhǎng)．(3)如圖三，在四邊形ABCD中，E為線(xiàn)段BC上的一點(diǎn)，EA⊥AB，ED⊥CD，連接BD，且ABCD=AEDE，BC=51，CD=3【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)4(3)35【分析】（1）根據(jù)題意，利用等面積法SΔABC=SΔ（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到∠AFE=∠CFE，結(jié)合矩形ABCD中AD∥BC得到∠AFE=∠FEC，從而有∠CFE=∠FEC，從而確定ΔEFC是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到GM+GN（3）延長(zhǎng)BA、CD交于F，連接EF，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥FC于G，根據(jù)ABCD=AEDE，EA⊥AB，ED⊥CD，得到ΔABC是等腰三角形，從而由（1）知ED+EA=BG，在RtΔBCG中，BG=BC2?C【詳解】（1）證明：連接AD，如圖所示：∵在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，∴由SΔABC=∴DE+DF=CG；（2）解：連接CG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于H，如圖所示：根據(jù)折疊可知∠AFE=∠CFE，在矩形ABCD中，AD∥BC，則∠AFE=∠FEC，∴∠CFE=∠FEC，即ΔEFC在等腰ΔEFC中，F(xiàn)C=EC，EF邊上有一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于H，由（1）可得GM+GN在RtΔABE中，∠B=90°，BE=3,AE=EC=BC?BE=8?3=5，則在四邊形ABHF中，∠B=∠BAF=∠FHB=90°，則四邊形ABHF為矩形，∴FH=AB=4，即GM+GN=FH=AB=4；（3）解：延長(zhǎng)BA、CD交于F，連接EF，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥FC于G，在四邊形ABCD中，E為線(xiàn)段BC上的一點(diǎn)，EA⊥AB，ED⊥CD，則∠BAE=∠CDE=90°，又∵ABCD∴ΔABE～∴∠ABE=∠C，即ΔABC∴由（1）可得ED+EA=BG，設(shè)GD=∵∠EDC=∠BGC=90°，BC=51，CD=3在RtΔBCG中，在RtΔBDG中，BD=6，∴512?3+x經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程的解用符合題意，∴BG=62?【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線(xiàn)段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握（1）中的證明過(guò)程與結(jié)論并運(yùn)用到其他情境中是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對(duì)邊，a>b．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S①若S1=9，②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索【答案】(1)①6；②見(jiàn)解析(2)S2【分析】（1）①將面積用a，b的代數(shù)式表示出來(lái)，計(jì)算，即可②利用AN公共邊，發(fā)現(xiàn)△FAN∽△ANB，利用FAAN=ANNB，得到（2）等邊△ABF與等邊△CBE共頂點(diǎn)B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，得到：AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，從而得到∠FEC＝30°，再利用Rt△CFE，cos30°=FECE=b【詳解】（1）∵S1=9∴b＝3，a＝4∵∠ACB＝90°∴S=②由題意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，∵FH⊥AB∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB∴△FAN∽△ANB∴FA∴a+ba得：ab+∴2S+S即S（2）S2∵△ABF和△BEC都是等邊三角形∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB∴△ABC≌△FBE（SAS）∴AC＝FE＝b∠FEB＝∠ACB＝90°∴∠FEC＝30°∵EF⊥CF，CE＝BC＝a∴b∴b=∴S=由題意得：S1=∴S∴S【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運(yùn)算，本題難點(diǎn)是圖二中的相似和圖三中的手拉手全等【變式10-2】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE

(1)如圖1，連接EC，則線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接EC，寫(xiě)出此時(shí)線(xiàn)段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在四邊形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=13,CF=5，請(qǐng)直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)．【答案】(1)BD=CE，BD⊥CE(2)2AD(3)AF=6【分析】（1）證明△BAD≌△CAE（2）證明△BAD≌△CAE，得到（3）如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明△BAF≌△CAG，得到CG=BF=13，證明【詳解】（1）在Rt△ABC中，AB=AC∴∠B=∠ACB=90°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠BCE=45°+45°=90°，故答案為BD=CE，BD⊥CE；（2）2AD

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC∠BAD=∠CAE∵△BAD≌∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴DE∵AD=AE，∴DE＝∴2AD（3）如圖3，將AF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AG，連接CG、

則△FAG是等腰直角三角形，∴∠AFG=45°，∵∠AFC=45°，∴∠GFC=90°，同理得：△BAF≌∴CG=BF=13，Rt△CGF∵CF=5，∴FG=12，∵△FAG是等腰直角三角形，∴AF＝【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．(1)如圖1．若∠AOB=∠COD=40°，則AC與BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；∠AMB(2)如圖2，若∠AOB=∠COD=90°，判斷AC與BD之間存在怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，當(dāng)∠ABC=60°，且點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出OD與OA之間存在的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AC=BD，40°(2)AC=BD，AC⊥BD，理由見(jiàn)解析(3)OD=3?1【分析】（1）設(shè)OA、BD相交于H，證明△AOC≌△BOD得到AC=BD，∠OAC=∠OBD，再利用的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等求解即可；（2）同（1），證明△AOC≌△BOD得到AC=BD，∠OAC=∠OBD，再利用的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等求解即可；（3）由題意，B、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，有兩種情況，分別畫(huà)出圖形，利用（2）中結(jié)論和含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=12AB，AC=32【詳解】（1）解：如圖1，設(shè)OA、BD相交于H，∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，∴∠BOD=∠AOC，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMB+∠OAC=180°?∠AHM，∠AOB+∠OBD=180°?∠OHB，∠AHM=∠OHB，∴∠AMB=∠AOB=40°，故答案為：BD=AC，40°；（2）解：AC=BD，AC⊥BD，理由為：設(shè)OA、BD相交于H，∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，∴∠BOD=∠AOC，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMB+∠OAC=180°?∠AHM，∠AOB+∠OBD=180°?∠OHB，∠AHM=∠OHB，∴∠AMB=∠AOB=90°；（3）解：由題意，B、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，有兩種情況：①如圖3，∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC=45°，AB=2OA，由（2）知△BOD≌△AOCSAS∴∠ACO=∠BDO=45°，AC=BD，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=90°，即∠ACB=90°，∴∠BAC=90°?∠ABC=30°，∴BC=12AB∴CD=BD?BC=AC?BC=3則2OD=∴OD=3②如圖四，同上，AB=2OA，CD=2OD，∠ACB=90°，∴CD=BD+BC=AC+BC=3則2OD=∴OD=3綜上，OD=3?12【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)，利用類(lèi)比的方法，先根據(jù)題（1）中的特例感知解決問(wèn)題的方法，且得出重要的結(jié)論，在此結(jié)論基礎(chǔ)上深入探究，結(jié)合此結(jié)論解決問(wèn)題．【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題】【例11】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，連接AP，若AP的長(zhǎng)恰好為整數(shù)，則稱(chēng)點(diǎn)P為BC邊上的“整點(diǎn)”．如圖2，已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為6，則底邊上的“整點(diǎn)”個(gè)數(shù)為；如圖3，在△ABC中，AB=25，AC=29，且BC邊上有6個(gè)“整點(diǎn)”，則BC的長(zhǎng)為【答案】59【分析】設(shè)整點(diǎn)與等腰三角形的頂點(diǎn)的連線(xiàn)的距離為l，l為整數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出1≤l<10，問(wèn)題得解；設(shè)整點(diǎn)與三角形頂點(diǎn)A的連線(xiàn)的距離為l，l為整數(shù)，得出當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D也為“整點(diǎn)”時(shí)，在CD上的“整點(diǎn)”與在BD上的“整點(diǎn)”有一個(gè)重合點(diǎn)，即此時(shí)的“整點(diǎn)”的數(shù)目之和必為偶數(shù)，再據(jù)此得出符合條件的h【詳解】設(shè)整點(diǎn)與等腰三角形的頂點(diǎn)的連線(xiàn)的距離為l，l為整數(shù)，根據(jù)勾股定理可得，底邊的高為1，如圖，即有：1≤l<10根據(jù)l為整數(shù)，可知l可以為1、2、3，結(jié)合上圖，根據(jù)等腰三角形的對(duì)稱(chēng)性可知，“整點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5；如圖，BC邊上的高為h，設(shè)整點(diǎn)與三角形頂點(diǎn)A的連線(xiàn)的距離為l，l為整數(shù)，即當(dāng)“整點(diǎn)”在BD