2023學(xué)年第一學(xué)期高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.

2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上,

在試卷上作答一律不得分.

3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1?6題每題4分，7?12題每題5分）

1.不等式的解是.

2

2.雙曲線尤2一匕=1的焦距是

4

3.若復(fù)數(shù)z=;/_4+（"7+2）i（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)初的值為.

4.已知等比數(shù)列｛冊｝首項(xiàng)可=1,公比q=2,則$5=.

5.,+的展開式中/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

6.已知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,則該圓錐的母線長為.

7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（L-2,3）到xOy平面的距離為.

8.如圖是小王同學(xué)在籃球賽中得分記錄的莖葉圖，03578

1012004

則他平均每場得分.

（第8題圖）

9.已知事件N與事件8相互獨(dú)立，如果P（A）=0.4,P（B）=0.7,則尸瓜沙）=

10.用易拉罐包裝的飲料是超市和自動售賣機(jī)里的常見商品.如圖，是某品牌的易

拉罐包裝的飲料.在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商總希望包裝材料的成

本最低，也就是易拉罐本身的質(zhì)量最小.某數(shù)學(xué)興趣小組對此想法通過數(shù)學(xué)建

模進(jìn)行驗(yàn)證.為了建立數(shù)學(xué)模型，他們提出以下3個假設(shè)：（1）易拉罐容積相

同；（2）易拉罐是一個上下封閉的空心圓柱體；（3）易拉罐的罐頂、罐體和罐

底的厚度和材質(zhì)都相同.

你認(rèn)為以此3個假設(shè)所建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況相符嗎？若相符，請?jiān)谝韵聶M線上填寫“相符”；若

不相符，請選擇其中的一個假設(shè)給出你的修改意見，并將修改意見填入橫線.

第1頁

11.已知不平行的兩個向量a,6滿足同=1,a-b=^3.若對任意的/eR,都有，-同22成立，則網(wǎng)

的最小值等于.

12.已知正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足"-"+1=0,c2+d2=l,則當(dāng)（。-。了+仍-1^取得最小值時，

ab=.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13?14題每題4分，15?16題每題5分）

【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得

零分.】

13.已知集合A={x|-2〈尤W3},B={x|x>0},則()

A.[-2,3]B.[0,3]C.(0,+oo)D.[-2,+co)

14.若尤＞y＞。，則下列不等式正確的是（）

D.亨"

4B.3C.

15.已知點(diǎn)M為正方體ABCD-A與￡4內(nèi)部（不包含表面）的一點(diǎn).給出下列兩個命題:

%：過點(diǎn)朋■有且只有一個平面與A4,和gG都平行;

%：過點(diǎn)M至少可以作兩條直線與A4,和4c所在的直線都相交.

則以下說法正確的是

A.命題6是真命題，命題%是假命題B.命題必是假命題，命題%是真命題

C.命題1,%都是真命題D.命題名，%都是假命題

16.若存在實(shí)數(shù)a,數(shù)對任意實(shí)數(shù)xe[0,1],使得不等式丁-mWar+匕在爐+:九恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是（）

4盧+「8百?

D?-------,+C.----,+00L).----,+00

99

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）

【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】

17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分）

如圖，四棱錐P—ABCD中，平面ABC。，AB//CD,PA=AB=AD=2,CD=I,

ZADC=90°,E、F分別為PB、AB的中點(diǎn).

（1）求證：CE〃平面B4D；

（2）求點(diǎn)3到平面PCF的距離.

第2頁

18.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分)

在△ABC中，a=5,b=6.

4

(1)若cosB=-g,求/和△ABC外接圓半徑R的值；

(2)若△A8C的面積5=蟲互，求c的值.

4

19.(本題滿分14分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分)

交通擁堵指數(shù)(777)是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，用TPI表示,"7越大代表擁堵程度越高.某

實(shí)際行程時間

平臺計(jì)算TPI的公式為：TIP=厚工口露，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分如下表所示的

暢通仃程時間

4個等級:

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶?/p>

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下圖:

0.5----------------------------------------------------------------------------------

°'12月29日'12月30日'12月31dl月1日‘1月2日‘1月3日‘1月4日'

?-?2023年---2022年

(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；

(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日7P/

高的天數(shù)記為X,求所有X的可能值及其發(fā)生的概率.

第3頁

20.(本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第⑵小題滿分6分，第(3)小題滿分8分)

2

已知拋物線r\：y2=4x,r2:y=2x,直線/交拋物線71于點(diǎn)/、D交拋物線「2于點(diǎn)8、C,其中點(diǎn)/、

2位于第一象限.

(1)若點(diǎn)/到拋物線"焦點(diǎn)的距離為2,求點(diǎn)力的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(4,4),且線段/C的中點(diǎn)在x軸上，求原點(diǎn)。到直線/的距離；

(3)若AB=2CD,求△AOD與△8OC的面積之比.

21.(本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8

分)

已知了(%)=770：+$111_￥(〃2€1^且加力0).

(1)若函數(shù)y=/(x)是實(shí)數(shù)集&上的嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列(公差dwO),b“=f(a,J.是否存在數(shù)列｛%｝使得數(shù)列｛勿｝是等差數(shù)列？

若存在，請寫出一個滿足條件的數(shù)列｛%｝,并證明此時的數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列；若不存在，請說明理

由；

(3)若加=1,是否存在直線y=區(qū)+6滿足：①對任意的xeR都有/'(x)》fct+b成立，

②存在x°eR使得〃xo)=5+b?若存在，請求出滿足條件的直線方程；若不存在，請說明理由.

第4頁

評分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題

1.(1,3)；2.2A/5；3.2；4.31；5.10；6.72；

7.3；8.9；9.0.42；10.假設(shè)2中，易拉罐的頂部類似于圓臺；假設(shè)3中，易拉罐的罐頂和罐

底材質(zhì)比罐體的材質(zhì)厚；11.V7；12.—+1.

2

二、選擇題

13.D；14.C；15.A；16.4

三、解答題

17.解(1)證明：取PA中點(diǎn)G,連接GE、GD,則GE//AB,GE=-AB>

2

由于CD=-AB-所以GE〃CD,GE=CD,

2

所以四邊形CDGE是平行四邊形，所以CE〃G￡>,...................4分

由于CE不在平面PAD上，OGu平面PA。，

所以CE〃平面PAD；...........................................7分

(2)設(shè)點(diǎn)5到平面尸兇的距離為/2,

由題意，CPLAB,又P4_L平面ABC。，所以

在RTZXR4/中，PF=也,所以54?”=3。口?尸/=石...........4分

BCF=^B-PCF何§S&BCF.吁產(chǎn)PCF

所以/?=，_,即點(diǎn)8到平面尸仃的距離為....................7分

55

18.解(1)因?yàn)閏osB=-：,Be(O,7T),所以sin5=Jl-cos?B=).....2分

55

由正弦定理，得一L=—2—=2R,即二一=?=2R,..................4分

sinAsinBsinA3

5

所以sinA=L,R=5,

2

因?yàn)閍<b,所以因此A.,R=5.........................6分

、15A/7

I2o2x-----p

(2)由S.=—absinC得sinC=AAgc=-----=—..........2分

△AABC2ab5x64

________o

于是cosC=±Vl-sin2C=±—..........4分

4

33

當(dāng)cosC=一時，由余弦定理，^c2=52+62-2X5X6X-=16..........6分

44

第5頁

當(dāng)-』時，由余弦定理，得義

cosC=c?=5?+6?-2x5x6106.

4

所以，°=4或。=V106................................................................................................8分

19.解(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路擁堵程度為

“擁堵”;3分

設(shè)7天中任取1天，這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為尸,

2

則尸=]................................6分

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路77，/比2022年同日77，/高的

天數(shù)共有2天，故X=0,1,2.....................2分

C3102C；C一204

P(x=o)=莒P(X=I)

357-35-7

...............................................................................................8分

20.解(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,

因?yàn)辄c(diǎn)A到拋物線口焦點(diǎn)的距離為2,所以點(diǎn)A到拋物線r,準(zhǔn)線的距離為2,

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).....................4分

(2)設(shè)則線段/C的中點(diǎn)坐標(biāo)為(土手，與%)

由題意，^^=0,故%=-4,所以C(8,T).....................2分

所以直線/的方程為：2x+y—12=0.....................4分

所以原點(diǎn)0到直線I的距離d=2j—=經(jīng)四..........6分

A/22+125

(3)由題意，直線/的斜率上顯然存在且左W0,設(shè)直線/的方程為y=Ax+Z?

設(shè)A&,%),D(X2,y2),B(X3,y3),C(x4,y4)

由A5=2C￡),得力—%=2(%-乂)①，..........2分

k4b

由,v2=4x，得：-y2-y+b=0,所以％+%=?4，%%=絲

[y=kx+b4'--l2k-12k

…22b八

同理，%+%=7，%%=丁..........4分

kk

第6頁

所以％+%=2(%+%)②，％%=2匕＞4③

由①，②得：乂二—%」弋入③得%二人乂/弋入②得:3^二分,

_9_4

所以S4Ag=%-%=__3^_=12.............................

S&BOC為一月一：為一％7

21.解(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是實(shí)數(shù)集R上的嚴(yán)格增函數(shù)，

所以尸(x)=m+cos尤＞0對任意的xeA都成立..............2分

因?yàn)楹瘮?shù)y=%+cosx的最小值為根一1,所以，”＞1.........4分

(2)bn=sman+man,若也｝是等差數(shù)列，則4+&2=2%i對一切正整數(shù)”成立，

即sinan+man+sinan+2+man+2=2sinan+l+2man+l,

將an+a〃+2=2a“+i代入化簡得sinan+sinan+2=2sinan+1,

即sin(%-d)+sin(a“+i+d)=2